Диссертация (1149863), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Т.е ряды теории возмущенийв модели φ3 имеют нулевой радиус сходимости.Теперь рассмотрим вклады конрчленов в (1.13)1g(Zφ2 − 1) (∇φ)2 + (Zφ3Zg − 1)µε/2 φ3.23!(1.14)В однопетлевом приближении они имеют следующую структуруZφ2 − 1 =d2 2g ,εZφ3Zg − 1 =d3 2g ,ε(1.15)где d2 = −1/(384π3), d3 = −1/64π3 – числовые множители, возникающиепри вычислении диаграмм для одетого пропагатора и одетой вершины, соот-ветственно. После перехода к переменным φ̄, ḡ в (1.14) с учётом сделанных22ранее растяжений (1.12) получим2−ε1ḡ 3 d3 ḡ 2 (µy)−ε2 d2 ḡ (µy)(∇φ̄)+ φ̄.2ε3!ε(1.16)Как видно данный вклад оказывается порядка O(1) при N → ∞ и в ходереализации метода перевала может быть рассмотрен как медленная предэкспонента, в которой полагаем φ̄ = φ̄c .
Старшие петлевые поправки к контрчленам (1.15) дают вклад порядка O(1/N ) в ведущую асимптотику, поэтому отброшены. Выделим сингулярность по ε в (1.16) с помощью тождества(µy)−ε/ε = [(µy)−ε − 1]/ε + 1/ε, последний полюсной член здесь не зависитRот y, поэтому соответствующий множитель можно вынести за знак dy вформуле (1.13). Окончательно он имеет видe−(r2s +r3s )/ε ,(1.17)где r2s = −6/5 и r3s = 24/5.
Данный вклад, как показано ниже, сокращаетУФ расходимости однопетлевых диаграмм, возникающих при петлевом разложении детерминанта квадратичной формы S2, к вычислению которого мыи переходим.1.2Вычисление флуктуационного интегралаРассмотрим вычисление функционального интеграла D по отклонениямδφ от инстантонного решения φ̄c = φ̄c (x). Напишем его в явном виде D (см.Приложение А)1D=√2πZZ−S2 dD(δφ)eδ|ḡc |2Zddx φ̄2c δφx Z|ḡc |d22δd x φ̄c δφ ln |x| ,2(1.18)23S2 квадратичная часть действия на фоне инстантонного решения2Z|ḡ|ḡφ̄11ccc(δφ)2 +dd x φ̄2c δφ .S2 = (∇δφ)2 +222 2(1.19)Для вычисления флуктуационного интеграла используется замена переменной δφ = 4Y (z)/(1 + |x|2)2 [30], где z – координаты на единичной сфе-ре в 7-мерном пространстве: z = 2x/(1 + |x|2 ) и z0 = (|x|2 − 1)/(|x|2 + 1).PДалее флуктуации Y (z) раскладываются Y (z) =λm Cλm yλm (z) в базисесферических функций yλm (z), являющихся ортонормированными собствен-ными функциями оператора Лапласа на единичной сфере, которым соответствуют собственные числа λm = m(m + 5), m = 0,1,2 .
. . , с кратностьюNm = (m + 4)!(2m + 5)/(m!5!). Это позволяет перейти от функциональногоRRQинтегрирования к обычному многомерному DY →λm dCλm .Дельта-функции в (1.18), возникшие в следствии применения методаФадеева-Попова, призваны корректно учесть вклад нулевых мод. Рассмотримпоследние. Инстантон φ̄c (1.10), зависящий от произвольных параметров x0и y, удовлетворяет вариационному уравнениюδS = 0.δφ̄ φ̄=φ̄c(1.20)Продифференцируем его относительно вектора x0 и параметра y при x0 = 0иy=1∂ φ̄cδ2 S = 0,δφ̄2 φ̄=φ̄c ∂x0∂ φ̄cδ2S = 0.δφ̄2 φ̄=φ̄c ∂y(1.21)Таким образом имеется шесть трансляционных нулевых модx∂ φ̄c= −4φ̄c= −2φ̄c z∂x01 + |x|2(1.22)24и одна диллатационная∂ φ̄c|x|2 − 1= 2φ̄c= 2φ̄c z0 .∂y1 + |x|2Данным нулевым модам соответствует член Cλ1 yλ1 (z) =(1.23)PC iy (i) в разложе-нии флуктуаций по сферическим гармоникам (i = 0, .
. . 6, y (i) собственныефункции отвечающие одному собственному числу λ1). Мера интегрированияс учётом дельта-функций имеет видZ YdCλm δ6 (C i)δ(C 0).(1.24)λmВ итоге интегрирование по нулевым модам m = 1 снимается, что даёт вкладв (1.18)!∞121X.Nm ln 1 −D ∼ exp −2 m=2λm + 6(1.25)Расходимость ряда в этом выражении связана с УФ расходимостями диаграмм, которые возникают при петлевом разложении детерминанта формы S2(отметим, что последний член в (1.19) нетривиален лишь для моды m = 0,поэтому к расходимости ряда отношение не имеет)exp+++...!,(1.26)где сплошная линия соответствует пропагатору свободной теории (−∇2)−1, аволнистая – выражению ḡc φ̄c ; множитель при диаграмме n-ого порядка равен(−1)n/(2n).
Изображенные графы содержат УФ расходимости, все прочие –25конечны. Разложение по сферическим функциям приводит к выражениям∞1X12– для первой диаграммы,Nm2 m=0λm + 62∞12Nm1X– для второй,Nm4 m=0λm + 63∞1X12Nm– для третьей.Nm6 m=0λm + 6После их вычитания из суммы в 1.25 получим вклад от конечных диаграммво флуктуационный интеграл∞1X12exp −−(1.27)Nm ln 1 −2 m=2(m + 3)(m + 2)!∞23X111212121++Nm−2 m=0(m + 3)(m + 2) 2 (m + 3)2(m + 2)2 3 (m + 3)3(m + 2)31D′ = 42π127 27≈ 1.33 · 10−5.Заметим, что вычтенные диаграммы содержат как УФ расходящуюся часть,так и конечные вклады. Вычитание расходящейся части этих графов и естьрезультат учёта однопетлевых контрчленов в предэкспоненте (1.17).
В конечную часть в схеме MS дают вклады только вторая и третья диаграммы, вотличии от модели φ4 , где необходим лишь граф типа второго. Для сингулярных частей, второго и третьего графика имеем: r2s = −6/5 и r3s = 24/5. Ко-нечные части найдены численно: r2 ≈ −0.936 и r3 ≈ −1.27 (см. ПриложениеБ).
Таким образом, для флуктуационного интеграла окончательно получимD = D′ er2 +r3 ≈ 1.47 · 10−6. Тогда выражение (1.13) может быть написано (в26импульсном представлении) в форме(N )Gk=(N )Ck DZ∞εdyχk (y,p1,...,pk )y 2k−7(µy)N ε/2e−αεN e−(r2s +r3s )((µy)−1)/ε,0kXyK1 (|p1|y) yK1(|pk |y)pl = 0),χk (y,p1,...,pk ) =...,(|p1||pk |l=1!N√√15(N )√Ck = 2(i)N N N/2 N k/2+3e−N/2(2 30π3)k ,48 2π3(1.28)здесь K1 – функция Макдональда (см.
Приложение Б); множитель e−αεNсвязан с зависимостью от ε функционала S(φc , gc) + ln(|gc |) в точке перевалапри d = 6 − ε и равенα=∂S6−ε∂εZ∞0"5−ε12∂|x|+d|x||x|5−ε − φ̄c ∂|x|2|x|#!φ̄c +3!ḡc φ̄3c= (1.29)ε=011− ln(π) + Ψ(3),44где Ψ(y) – логарифмическая производная Гамма-функции Γ(y), Sd =2πd/Γ(d/2) – площадь единичной сферы. Формула для АВП коэффициентовразложения k-хвостой функции Грина по константе связи позволяет перейтик нахождению АВП разложений ренормгрупповых функций.1.3АВП ренормгрупповых функцийВ схеме MS РГ функции – коэффициенты уравнения РГ [2; 55] – связаны с вычетами в простом полюсе по ε констант ренормировки (1.3) соотношениямиεg+ γg .γi = − ∂g {Zi }, β = −g22(1.30)27Функции γi – аномальные размерности параметра i, β – бета-функция заряда.Пусть вычет {Zi} определяется рядом{Zi } =XN(N )g N {Zi},(1.31)тогда из соотношений (1.30) получим коэффициенты разложения РГ функцийпо g(N )γi=−N (N ){Z },2 iβ(N ) = −N (N −1){Z}.2 g(1.32)Для вычисления АВП вычета в простом полюса констант ренормировкииспользовалься подход развитый в работе [31] для модели φ4 .
Сингулярныйпри малых y и ε член exp[(r2s +r3s )((µy)ε −1)/ε] в (1.28) рассматриваются какотрезок разложения экспоненты вплоть до N -ого порядка. Таким образом,в результате вычисления асимптотики частично-ренормированной (произведены вычитая УФ-расходимостей вплоть до порядка N − 1) трёх-точечнойфункции Грина находим(N )G3=(N )C3 DZ∞dy(µy)N ε/2χ3 (y,p1,...,p3)e−αN εy0"#jN/3−εX1(µy) − 1,− (r2s + r3s)j!εj=0(1.33)После растяжения переменных y → ỹ = y exp(−2α) в выражении (1.33) по-лучим(N )G3=Z∞dỹ(µỹ)N ε/2χ3(ỹe2α ,p1,...,p3)ỹ0"#jN/32α −εX(µỹe ) − 11.− (r2s + r3s )j!εj=0(N )C3 D(1.34)28Члены в формуле (1.34), содержащие ненулевые степени ((µỹ)−ε − 1)/ε, даютвклад лишь в высшие полюса по ε и не влияют на простой полюс, как ив модели φ4 (1.28).
Это видно, если учитывая свойства функции χ: χ3 →const при ỹ → 0 и χ3 экспоненциально убывает при ỹ → ∞ – провестиинтегрирование по частям, предварительно написав2α −ε(µỹe2α)−ε − 1 (µỹ)−ε − 1−1−ε (e )=+ (µỹ).εεε(1.35)Далее, используя приближение (e−2αε − 1)/ε ≈ −2α при ε → 0 получим(N )выражение для вычета в простом полюсе функции G3(N )2 (r2s +r3s )2α 1{G3 }(N )≈ C3 De.εNεp21 p22p23(1.36)Аналогичное выражение можно получить и для парного пропагатора,где k = 2. В соответствии с общей формулой (1.28) коэффициент коррелятора(N )G2содержит интегралZ∞dyχ2 (y, p)(µy)N ε/2y −3,(1.37)0который имеет полюса первого и второго порядков. После растяжения переменной y → y/|p| и интегрирования по частям получим интегралZdy ln y(µy)N ε/2−1K1(y|p|).Представляя логарифм ln y в виде производной ∂(N ε/2) y N ε/2 , выделяя сингулярности по ε и пользуясь асимптотикой в нуле функции МакдональдаK1(y) =1 y+ (ln y − ln 2 + Ψ(1) + 1/2) + O(y 3 ln y),y 2y → 0,(1.38)29(N )мы получим вклад в вычет в простом полюсе коэффициента G2"#(N ){G2 }2(N )= C2 De(r2s +r3s )2α − ln |p| + ln 2 + Ψ(1) + 1/2 + 2α.
(1.39)εN εp2Ренормированные функции Грина G′2 и G′3 УФ-конечны, поэтому теперьможно найти АВП вычета первого порядка соответствующих констант ренормировки Zφ и Zg , требуя сокращения простых полюсов в N -ом порядке.Разложения для ампутированной вершинной функции Грина G′3G′3=Zφ32N +1 (2N +1)−gZg + · · · + ZgG3(1.40)приводит к следующей асимптотике(2N +1){Zg(2N )} = −{G3(1.41)}.Поскольку разложение констант ренормировки в модели φ3 реально идёт(N )по g 2 , то обычно вводят новый заряд u = g 2 /(64π3) [2], тогда {Zu } =(2N ){Zg}(64π3)N , что даёт асимптотическое равенство{Zu(N ) }=(2N +1)−{G3}(64π3)N(2N +1)где внешние импульсы в {G3(2N +1)≈−C3N(64π3)N De(r2s +r3s )2α ,(1.42)} естественно опущены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
