Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

, (6.32)

В последних равенствах учтено, что ₀Т₀ = 2, а величина интеграла на интервале, равном одному периоду от искусственно сформированной периодической функции f(t) точно равна интегралу в интервале времени от – до + от одиночного непериодического импульса (t).

Резюмируя вышесказанное, запишем представление непериодической функции времени в виде т.н. “интеграла Фурье”:

, (6.33)

где коэффициенты А() и В() определяются равенствами (6.32).

Мы уже неоднократно убеждались в полной идентичности описания функций времени и пространства, поэтому очевидно, что “пространственный импульс” – зафиксированная в какой-то момент картина распространяющегося по оси Х одиночного сигнала – также может быть представлена в виде совокупности гармонических волн, аналогично (6.33), только t при этом нужно заменить на kx.

Соотношения (6.32), таким образом, позволяют определять спектральный состав сигналов произвольной формы. Процедура, опи­сываемая формулами (6.32), называется Фурье–анализом сигнала или волнового пакета. В следующем параграфе мы проиллюстрируем возможности Фурье–анализа на примере нескольких сигналов, с которыми довольно часто приходится встречаться на практике.

§ 5. Фурье-анализ волновых пакетов и импульсов

Начнем Фурье-анализ сигналов с рассмотрения простейше­го волнового пакета, характеризуемого “прямоугольным” частотным спектром, который мы уже анализировали, пользуясь методом векторных диаграмм (см. гл. VI, § 2).

Пусть функция А() равна нулю во всем спектральном диапазоне, а функция В() задана соотношениями:

В() = ()^–1; ₁ <  < ₁+;

В() = 0;  < ₁,  > ₁+. (6.34)

Постоянное значение функции В() в интервале частот от ₁, до ₂ задано таким, чтобы удовлетворять условию нормировки:

. (6.35)

Воспользовавшись равенством (6.33) и учитывая, что А() = 0, получаем:

. (6.36)

Представляя разность синусов в виде удвоенного произведения косинуса полусуммы углов на синус полуразности, имеем:

. (6.37)

Таким образом, мы пришли к уже известному нам результату: прямоугольный волновой пакет дает импульс, представляющий собой “быстрое” колебание со средней частотой <>, а амплитуда импульса сравнительно медленно изменяется со временем по закону:

. (6.38)

Равенство (6.38) аналогично (6.9). Физический смысл величин N (в соотношении (6.9)) и t (в (6.38)) одинаков – в обоих случаях это разность фаз между “крайними” составляющими прямоугольного пакета. Максимальные значения функций (6.9) и (6.38), конечно, отличаются, поскольку для функции В() принято условие нормировки (6.35). Максимум (6.38) достигается при t = 0 и равен единице.

Заметим, что в задаче с дискретным частотным спектром прямоугольного волнового пакета (§2) аналогом интеграла является сумма амплитуд а всех N компонент пакета, т.е. произведение Nа, которое равно максимальной амплитуде импульса А_m, (см. рис.6.4). Поэтому условие нормировки функции В(), полностью эквивалентное задаче, рассмотренной в § 2, таково:

. (6.39)

Условию (6.39) соответствует постоянная величина амплитуды “не­прерывного” пакета, равная А_m()^-1 при ₁ <  < ₂ = ₁+.

П роведем теперь Фурье-анализ прямоугольного импульсного сигнала (t) – см. рис.6.15. Пусть t₀ – время, соответствующее центру импульса. Для удобства сравнения с задачей о “непрерывном” прямоугольном частотном спектре “пронормируем” сигнал:

. (6.40)

Из (6.40) следует, что амплитуда импульса равна:

(t) = (t)^-1 при (t₀ – t /2) < t < (t₀ + t/2). (6.41)

Из рис.6.15 видно, что (t) – чётная функция (t – t₀), поэтому интеграл Фурье для этой функции можно записать в форме:

, (6.42)

а спектральный состав гармоник соответствующего пакета находим по формуле (6.32):

. (6.43)

Интегрируя (6.43), получаем

. (6.44)

На рис. 6.16 сопоставлены: прямоугольный частотный спектр (а) и амплитуда соответствующего сигнала (в) в разные моменты времени, а также прямоугольный импульсный сигнал (в) и соответствующий частотный спектр (г).

Отрицательные значения амплитуды означают, что в соответствующих частотных диапазонах на рис.6.16,б фаза колебания на несущей частоте <> изменяется на . Аналогично, в спектре частот на рис. 6.16,г присутствуют гармоники, которым соответствуют отрицательные величины B(). Начальные фазы соответствующих гармоник сдвинуты на .

И з рис.6.16 видно, что имеется однозначное соответствие меж­ду функциями B() и (t) – представляя одну из этих функций в виде интеграла Фурье, получаем другую. Такие пары функций при­нято называть «Фурье-образами» друг друга, а переход от одной к другой – «Фурье-преобразованием».

Проследим теперь трансформацию, которую претерпевает спектр ча­стот гармоник периодической функции по мере увеличения периода Т и в пределе превращения этой функции в одиночный сигнал. Для та­кого анализа удобно выбрать последовательность импульсов по­стоянной длительности t, период повторения которых Т₁.

Начнем мы с “прямоугольной волны”, которую рассматривали в начале § 4 (см. рис.6.12), и будем постепенно трансформировать функцию, увеличивая период повторения импульсов в два раза ( ). В конце концов, мы придём к одиночному прямоугольному импульсу – см. рис.6.17(а–г). Отсчет времени t = 0 начнём с середины одного из импульсов, так что наша периодиче­ская функция – четная, поэтому ряд Фурье для неё должен состоять только из косинусов:

. (6.45)

Поскольку “прямоугольная волна”, показанная на рис.6.17,а, несимметрична (ср. с рис.6.12), коэффициент В₀ для неё отличен от нуля. Но этот постоянный член разложения (6.45) интересовать нас не будет, потому что по мере увеличения периода он будет по­степенно уменьшаться, стремясь к нулю. В данном случае мы скон­центрируем внимание только на гармонических составляющих ряда (6.45).

Амплитуды гармоник В_n находим, используя (6.30):

. (6.46)

Полагая, что амплитуда импульсов равна а, а период повторения их Т₁, получаем:

. (6.47)

Если амплитуда импульсов постоянна, совершенно очевидно, что при “удалении” половины из них амплитуды гармоник уменьшаются пропорционально величине отношения . Так как мы анализируем только спектральный состав сигналов, на графиках рис.6.17(д–з) будем изображать коэффициенты , величины которых не зависят от отношения . Вид функциональной зависимости показан на рис.6.17,з и перенесён пунктирной линией на рис.6.17(д–ж). Ось частот на этих рисунках проградуирована в единицах, соответствующих частоте первой гармоники сигнала F(t), изображённого на рис.6.17,а.

Положение первого (самого низкочастотного) “узла” на зависимостях , показанных на рис.6.17 (д–ж), определяется ус­ловием – см. 6.47:

. (6.48)

Обозначая  = n₁ и учитывая, что для “прямоугольной волны” (рис.6.17,а) t = Т₁/2, получим частоту, соответствующую первому узлу функции на рис.6.17,д:  = 2₁. Из рис.6.17,д видно, что амплитуды всех чётных гармоник в разложении “прямоугольной волны” в ряд Фурье равны нулю, так как попадают в узлы функции . Амплитуды всех нечётных гармоник ( = ₁, 3₁, 5₁ и т.д.) попеременно меняют знак (см. также pиc.6.12).

Удалим из последовательности импульсов, показанных на рис.6.17,а, каждый второй. В результате получим периодическую функцию , период которой , а самая низкая частота в разло­жении (6.45):

. (6.49)

Отсюда следует, что расстояние между соседними гармониками по оси частот ряда Фурье для Функции будет в два раза мень­ше, чем для функции – ср. рис.6.17(д, е).

Снова проведём “прореживание” последовательности импульсов, оставляя каждый второй – см. рис.6.17,в. Период функции опять увеличивается в два раза, а самая низкая частота – уменьшается в два раза аналогично (6.49). В итоге спектр частот ряда Фурье для функции стал ещё в два раза “гуще” – см. рис.6.18,ж.

Очевидно, что, продолжая эту процедуру много раз, мы придём по существу к одиночному импульсу (pиc.6.17,г), который описывается бесконечно большим количеством гармоник – т.е. непрерывным распределением гармоник по частотам – рис.6.17,з. Вместо ряда Фурье в этом случае необходимо использовать интеграл Фурье для представления функции в виде совокупности гармоник – см. соотношения (6.29) и (6.31).

Как уже обсуждалось ранее, чем меньше длительность импульса t, тем шире спектр частот гармоник, составляющих этот импульсный сигнал (см. рис.6.17,г).

Проведём Фурье-анализ затухающего колебательного процес­са, происходящего по закону (см. (1.34), рис.1.8):

. (6.50)

Функция (6.50) – непериодическая, поэтому может быть представлена в виде интеграла Фурье:

. (6.51)

Коэффициенты Фурье определяются соотношениями:

. (6.52)

. (6.53)

Используя табличные интегралы

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги