Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

Дополнительные главы

ГЛАВА VI. ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ И ИМПУЛЬСЫ

§ 1. Модулированные волны

Обсудим теперь вопрос об использовании волновых процессов для передачи информации на расстояние. В гармонической волне колебание в каждый последующий период в точности повторяет предыдущее, поэтому с помощью таких волн осуществлять передачу информации нельзя. Для этой цели нужно в процессе испускания волн изменять один из параметров, характеризующих волну – амплитуду, частоту или начальную фазу. Соответственно, существует три вида модуляции волн – амплитудная, частотная и фазовая.

При амплитудной модуляции исходная гармоническая волна (рис.6.1,а), называемая иногда «несущей», видоизменяется с помощью т.н. «модулирующего» сигнала (рис.6.1,б) таким образом, что амплитуда результирующей волны изменяется во времени, повторяя форму этого модулирующего сигнала – рис.6.1,в. Частный случай амплитудной модуля­ции – испускание достаточ­но коротких импульсов волн на несущей частоте – т.н. «радиоимпульсов» – см. рис.6.1,г.

В случае частотной мо­дуляции во время подачи модулирующего сигна­ла изменяется частота «несу­щей», амплитуда волны оста­ется неизменной ­– рис.6.1,д.

Н аконец, при фазовой модуляции в определенные моменты времени, задаваемые модулирующим сигналом, “сбивается” начальная фаза коле­баний – см. рис.6.1,е (амплитуда и частота при этом не меняются).

Подчеркнём, что при всех способах модуляции испускаются ограниченные во времени и в пространстве “цуги” гармонических колебаний, которые не являются монохроматическими волнами (мо­нохроматическая волна – бесконечная синусоида). Поэтому очевид­но, что любой способ передачи информации с помощью волн требует использования набора монохроматических волн разных частот. В том случае, когда используется суперпозиция плоских монохрома­тических волн с близкими значениями частот и волновых векто­ров , принято называть такое волновое образование «волновым пакетом» .

§2. Характеристики волнового пакета

Р ассмотрим прямоугольный волновой пакет – дискретный набор плоских монохроматических волн одинаковых амплитуд, частоты которых равномерно распределены в интервале от ₁ до ₁ + ; соответствующие волновые числа – k₁  k₁ + k (волне с частотой ₁ соответствует волновое число k₁). Будем полагать, что всего имеется N волн, так что разница частот и волновых чисел “со­седних” волн  = /(N – 1) и k = k/(N – 1), соответ­ственно – см. рис.6.2. Волна с «номером» n – описывается соотноше­нием:

. (6.1)

Здесь a – амплитуда волны (в прямоугольном пакете одна и та же для всех волн),

(6.1,а)

Наша задача – выяснить, что получится в результате суперпозиции всех волн пакета:

. (6.2)

В оспользуемся для этого методом векторных диаграмм. Пусть в некоторый момент времени вектор длиной а, соответствующий колебанию в первой волне для какой-то точки пространства, расположен горизонтально (см. вектор АВ на рис.6.3). Этот вектор должен вращаться в плоскости рисунка против часовой стрелки с угловой скоростью ₁. Вектор, соответствующий колебаниям в той же точке, возбуждаемым второй волной (₂ = ₁ + , k₂ = k₁ + k), на рисунке нужно повернуть относительно первого на вели­чину сдвига фаз между ₁ и ₂:  = t – kx. Направление этого сдвига (опережение или отставание по фазе) зависит от величин t и kx. Для определенности мы будем считать, что  < 0 (колебания ₂ отстают по фазе от колебаний ₁), соответственно, вектор ВС повернут относительно АВ по часовой стрелке на угол . Суммируя аналогичным образом колебания от всех волн, получим равносторонний многоугольник (число сторон равно N, стороны равны благодаря тому, что равны амплитуды колебаний разных частот). Опуская перпендикуляры из середин от­резков AВ, ВС, ... находим центр окружности (точка O), в которую вписан многоугольник. Радиус этой окружности, как легко видеть – рис. 6.3, равен

. (6.3)

Здесь угол  между радиусами ОА и ОВ точно равен углу между векторами АВ и ВС, т.к. треугольник ВОС может быть полу­чен поворотом треугольника АОВ на угол .

Обозначим амплитуду результирующего колебания (длину век­тора АD) через А, из равнобед­ренного треугольника АОD получаем

. (6.4)

Сопоставляя (6.3) и (6.4), получаем выражение для амплитуды результирующего колебания, пригодное для прямоугольного пакета, состоящего из любого количества монохроматических волн

. (6.5)

Сдвиг фаз между результирующими колебаниями и колебаниями, возбуждаемыми первой волной пакета, равен углу ВАD на рис.6.3 (обозначим этот угол ₀). Поскольку угол ОАB равен ( – )/2, а угол ОАD равен ( – N)/2, получаем

. (6.6)

Отметим, что при N >>1 (6.6,а)

где Δ – сдвиг фаз между колебаниями “крайних” волн пакета.

Выразим теперь результирующее колебание , учитывая, что первая волна описывается уравнением (6.1) c n = 1, а сдвиг по фазе между  и ₁ – соотношением (6.6):

. (6.7)

В уравнение волны (6.7) введены средние для волнового пакета частота и волновое число :

. (6.8)

С ущественно, что амплитуда результирующей волны А, которая описывается равенством (6.5), непостоянна как во времени, так и в пространстве, поскольку величина N/2 = ₀ (см. 6.6,а) зависит от t и x. Проведем анализ этой зависимости для случая, когда полное число волн N в пакете достаточно велико (N >> 1), а фазовый сдвиг между отдельными волнами – мал ( << 1). В этих условиях в знаменателе (6.5) синус малого угла можно заменить его радианной мерой /2, а в числителе – вместо N/2 использовать ₀ (см. (6.6,а)). В итоге соотношение (6.5) переписывается в следующей форме:

. (6.9)

Зависимость амплитуды А от угла ₀ при N >> 1 показана на рис.6.4.

Интенсивность результирующей волны может быть рассчитана так:

. (6.9,а)

При ₀ = 0 амплитуда максимальна и равна Nа. Физический смысл этого результата очевиден – при таком условии фазы всех колеба­ний совпадают ( = 0 – см. (6.6,а)) и “ломаная” векторная диаграмма, показанная на рис.6.3, превращается в прямую линию, длина которой Na. Ясно, что в некоторой точке пространства х₀ амплитуда результирующего колебания достигает максимального значения только в момент времени t₀, когда выполняется условие:

 = t₀ – kx₀ = 0. (6.10)

В другие моменты времени синфазность колебаний ₁, ₂, ..., _N нарушена и амплитуда колебаний меньше максимальной. При постепенном увеличении разности фаз  между колебаниями “соседних” волн пакета растет также ₀ – угол поворота результирующего вектора АD (см. рис.6.3). Когда ₀ достигает , вектор АD изменяет направление на обратное (по сравнению с его положением при ₀ = 0). Обратим внимание, что при этом разность фаз между колебаниями “крайних” волн пакета Δ = N = 2π.

Н а рис.6.5 показана зависимость амплитуды результирующего колебания в некоторой фиксированной точке х₀ от времени t. Максимальная амплитуда колебаний будет зарегистрирована наблюдателем, находящимся в точке х₀, в момент t₀ = х₀ k/ (см. 6.10). Выполнению ус­ловий ₀ = ±  соответствуют моменты времени . (За время (t₁ – t₀) между колебаниями “крайних” волн пакета “набегает” разность фаз Δ = 2π).

Поскольку переносимая волной энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, практически вся энергия волнового пакета будет зарегистрирована наблюдателем в период времени от t₀ до t₀ – рис.6.5. Таким образом, наблюдатель зарегистрирует импульсный сигнал на несущей частоте – см. соотношение (6.8). Принимая условно за длительность импульса t поло­вину протяженности центрального максимума, т.е. полагая , получим, что длительность импульса и частотный диапазон, занимаемый волновым пакетом, связаны соотношением

или . (6.11)

Это соотношение часто называют теоремой о ширине частотной полосы. В соответствии с этой теоремой импульсный сигнал длительностью t получается сложением пакета волн, частоты ко­торых лежат в диапазоне . Чем более короткий импульс требуется получить, тем шире должен быть частотный интер­вал, занимаемый волновым пакетом. Одной монохроматической волне соответствует  = 0 и, следовательно, t   (бесконечно большая длительность сигнала).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги