Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

Для баллистического гальванометра начальная скорость рамки также пропорциональна импульсу силы, действовавшей на рамку в течение времени t. Так как сила, действующая на рамку, пропорциональна протекающему по рамке току, то Ft  It  q. В этом случае максимальное отклонение рамки от положения равновесия пропорционально полному заряду q, протекшему через рамку за время t.

В заключение сделаем несколько замечаний о специфике затухающих колебаний в системе связанных осцилляторов. Во-первых, необходимо иметь в виду, что представление о нормальных модах колебаний в случае затухающих колебаний имеет смысл только в условиях малого затухания. Во-вторых, необходимо учитывать, что затухание может быть неодинаковым для разных мод, поскольку, например, пружины в случае механических колебаний или конденсаторы – в случае электрических “работают” для различных нормаль­ных колебаний по-разному. Наконец, очевидно, что небольшое за­тухание никак не может повлиять на фундаментальные свойства нормальных колебаний – соответствие между числом нормальных мод и количеством колебательных степеней свободы.

§5. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, которые происходят под действием внешней периодической силы. Здесь мы ог­раничимся рассмотрением случая, когда “вынуждающая” сила изме­няется со временем по гармоническому закону:

F(t) = F₀cos t. (1.43)

В случае, когда на осциллятор действует любая иная периодическая сила, зависимость F(t) может быть представлена в виде разложения по гармоническим функциям вида (1.43), так что приведённое далее рассмотрение носит достаточно общий характер.

Совершенно ясно, что, как только на систему начнёт действовать посторонняя сила, система будет выведена из положения равновесия и, следовательно, в ней неминуемо будут возбуждаться собственные колебания с частотой _с. Кроме того, система будет вынуждена “подчиняться” внешней силе, действующей в общем слу­чае с иной частотой . Поэтому на начальном этапе колеба­ния системы будут сложными, состоящими из двух колебательных процессов с разными частотами. Однако в системе с затуханием собственные колебания, как это было выяснено в предыдущем параграфе, прекратятся по истечению времени порядка _A = 1/. После этого осциллятор будет совершать только вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы . Этот режим мы будем называть режимом установившихся вынужденных колебаний и в дальнейшем только этот режим и будем рассматривать.

В этом случае в дифференциальном уравнении, описывающем колебательный процесс, в правой части появляется дополнительное слагаемое – вынуждающая сила:

. (1.44)

Это уравнение удобнее привести к виду

, (1.45)

где f₀ = F₀/m ,  = r/2m , = k/m.

А налогичное уравнение справедливо и для электрического контура, представленного на рис.1.11, в котором роль вынуждающего воздействия играет внешняя ЭДС U(t) = U₀cos t. Учитывая, что сумма напряжений на конденсаторе, катушке индуктивности и резисторе равна в рассматриваемом случае внешней ЭДС, получим уравнение (1.45), в котором f₀ = U₀/L,  = R/2L, = 1/LC, а вместо смещения  будет фигурировать заряд на конденсаторе q.

Поскольку установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающей силы , решение уравнения (1.45) будем искать в

виде:  = A cos (t  ). (1.46)

Дифференцируя (1.46), получаем

, (1.47)

. (1.48)

Для решения уравнения (1.45) воспользуемся методом векторных диаграмм – заменим гармонические функции (1.46) – (1.48) векторами, вращающимися против часовой стрелки с угловой скоростью . Длина каждого вектора равна амплитуде соответствующего колебания, а полярный угол – его фазе. Для определения амплитуды вынужденных колебаний А и фазового сдвига  теперь достаточно провести сложение векторов, соответствующих гармоническим функциям в левой части уравнения (1.45). Направим вектор, соответствующий функции (t) по горизонтали вправо. На рисунке 1.12 представлены также векторы, соответствующие функциям 2 и . Как следует из (1.47) и (1.48), они опережают по фазе (t) на /2 и , соответственно.

В итоге получим векторную диаграмму, показанную на рис.1.12. Результат сложения трёх векторов, соответствующих трём членам в левой части уравнения (1.45), должен быть равным вектору, соответ-ствующему пра­вой части. Длина этого вектора равна f₀, угол  – сдвиг по фазе между силой и смещением в соотношении (1.46). По теореме Пифагора имеем

A²[(₀² – ²)² + 4²²] = f₀² . (1.49)

Отсюда получаем амплитуду колебаний, и из рис.1.12 – фазу:

; (1.50)

. (1.51)

Введём понятия «ампли­туда поглощения » и «амплитуда дисперсии » следующим образом:

А_п = A sin, А_д = A cos . (1.52)

Смысл этих терминов станет понятным позднее.

Рассмотрим сначала области низких ( << ₀) и высоких ( >> ₀) частот вынуждающего воздействия. При  << ₀, как легко видеть из соотношений (1.50) – (1.52):

при   0   0, sin  tg  2/₀² и

A  f₀/₀², A_п  2 f₀ /₀⁴  0, A_д  А. (1.53)

Таким образом, на низких частотах смещение успевает следовать за силой без отставания по фазе; механический осциллятор ведёт себя практически так же, как под действием постоянной силы: в частности, при действии максимальной силы F₀ пружина растягивается на максимальную величину . Соответственно, в электрическом контуре амплитуда заряда на конденсаторе на низ­ких частотах q₀ = СU₀, т.е. все внешнее напряжение падает целиком на конденсаторе.

На высоких частотах ( >> ₀) амплитуда A стремится к нулю при   , а сдвиг фаз между силой и смещением при этом приближается к  (tg  –2/). Амплитуды поглоще­ния и дисперсии также асимптотически стремятся к нулю (A_п  2f₀/³, A_д  –f₀/²  0). В этих условиях осциллятор вообще не успевает следовать за внешней силой, отсюда – малая амплитуда и отставание по фазе на .

Найдём теперь условия, при которых достигается максимальная амплитуда колебаний (т.е. наблюдается «резонанс смещения » ). Дифференцируя подкоренное выражение в (1.50) и приравнивая про­изводную нулю, получаем частоту, на которой наблюдается резо­нанс:

. (1. 54)

Подставляя (1.54) в (1.50) и (1.51), получаем амплитуду смещения и тангенс угла сдвига фаз между смещением и силой при резонансе:

; (1.55)

. (1.56)

В условиях очень малого затухания ( << ₀) справедливы следующие приблизительные выражения:

; (1.55,а)

. (1.56,а)

Из соотношений (1.53) и (1.55,а) следует, что отношение амплитуды колебаний при резонансе к амплитуде на низкой частоте с высокой степенью точности равно добротности (“четвёртое” определение добротности):

. (1.57)

Для электрического контура величина добротности равна отношению амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения:

. (1.58)

Из (1.52) видно, что при резонансе амплитуда дисперсии близка к нулю, а амплитуда поглощения приблизительно равна полной ампли­туде.

Поскольку для электрических цепей важно знать частоту, при которой достигается максимальная амплитуда тока в цепи (а ток в электрическом контуре – аналог скорости для механического осцил­лятора), найдем условие максимальной скорости («резонанса скорости»). Учитывая, что ампли­туда скорости, в соответствии с (1.47), равна А_ = А, получаем из (1.50):

. (1.59)

Отсюда видно, что резонанс скорости (или тока в цепи, состоящей из последовательно соединённых катушки индуктивности, конденсатора и резистора) наблюдается при частоте .

Обсудим теперь вопрос о мощности, затрачиваемой внешним источником на поддержание вынужденных незатухающих колебаний. По определению, мгновенная величина мощности есть произведение дей­ствующей силы на скорость тела

. (1.60)

Подставляя в (1.61) соотношения (1.44) и (1.47), имеем:

P (t) = F₀cos(t) Acos(t   + /2) =

= F₀A[cos(2t   + /2) + cos(  /2)]. (1.61)

Из (1.61) следует, что мгновенная мощность, затрачиваемая внеш­ней силой на поддержание вынужденных колебаний с частотой , изменяется со временем с удвоенной частотой 2. Средняя по времени величина затрачиваемой на поддержание колебаний мощно­сти равна

. (1.62)

Таким образом, величина оказывается пропорцио-нальной амплитуде поглощения А_п – отсюда и происхождение этого термина.

Для электрической цепи соотношение (1.62) легко трансформировать к виду

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги