Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика

идентификации колебательных спектров водородсодержащих фрагментов в исследуемом веществе.

3. Определим, как относятся частоты собственных колебаний свободных и связанных гидроксилов (например, гидроксилов, связанных с поверхностными атомами твёрдого тела, либо с большими молекулами). Полагая, что для связанного гидроксила m₂ >> m₁ , m₁ = m_H , получаем:

. (1.13)

С помощью современной аппаратуры легко зарегистрировать отличие в частотах собственных колебаний молекул на сотые, и даже тысячные доли процента, так что разница в 3,1% следующая из (1.13), представляет собой громадный эффект, который уже давно экспериментально обнаружен и наблюдается в соответствующих случаях.

§ 3. Свободные колебания связанных осцилляторов

Разнообразие колебательных явлений обусловлено еще и тем, что в большинстве практически важных случаев приходится иметь дело не с независимыми, а с взаимодействующими между собой осцилляторами. Именно так, очевидно, следует рассматривать колебания молекул в конденсированных средах (жидкость, твердое тело). Электрические цепи тоже часто состоят из нескольких взаимосвязанных контуров. Во всех подобных случаях принято говорить о колебаниях в системе связанных осцилляторов. Вообще говоря, их количество в исследуемой системе может быть очень большим. Однако основные особенности колебаний в системе связанных осцилляторов, как мы покажем далее, становятся понятными, если рассмотреть задачу о простейшей системе такого рода, состоящей всего лишь из двух осцилляторов.

В качестве примера рассмотрим простую мо­дель колебаний двух взаимодействующих между собой одинаковых молекул, масса легкого атома каждой из которых равна m. В соответствующей механической модели, представленной на рис.1.4, пружинки с коэффициентами упругости k моделируют внутримолекулярные связи. Будем полагать, что два лёгких атома каждой молекулы связаны с массивными атомами, которые остаются неподвижными. Тогда в рамках наших модельных представ-лений соответствующие концы пружинок можно считать жестко фиксированными. Связь между молекулами будем моделировать пружинкой с коэффициентом упругости k₁. Напомним, что силовые константы связей – k и k₁ можно найти, если известна зависимость потенциальной энергии взаимодействия между атомами от расстояния между ними ( – см. соотношение (1.2)). Для простоты будем считать, что движение лёгких атомов происходит только по оси X, а силами трения можно пренебречь. Введем величины отклонений лёгких атомов от положений равновесия x₁₀ и x₂₀:

= x₁ – x₁₀ , = x₂ – x₂₀.

Запишем уравнения движения первого и второго ато­мов:

m = – k₁ – k₁(₁ – ₂), (1.14)

m = – k₂ + k₁(₁ – ₂). (1.15)

Соотношения (1.14) и (1.15) не являются уравнениями гармонического осциллятора типа (рис.1.4), т.к. в каждое из этих уравнений входят обе независимые переменные величины – смещения атомов и . Поэтому в общем случае движение каждого атома не является простым гармоническим колебанием. Покажем, однако, что подходящей заменой переменных можно свести сис­тему уравнений (1.14) и (1.15) к двум независимым линейным дифференциальным уравнениям, каждое из которых содержит только одну переменную величину и является уравнением гармонических колебаний. Для этого сначала сложим, а затем вычтем почленно правые и левые части соотношений (1.14) и (1.15). Если ввести после этого новые переменные и , получим новую систему уравнений:

m = – k_I , (1.16)

m = – (k + 2k₁)_II . (1.17)

Введенные нами новые переменные и называются нормальными координатами. Таким образом, нормальные координаты представляют собой линейные комбинации обычных координат ( и ). Введение нормальных координат позволяет свести исходные дифференциальные уравнения, описывающие колебания связанных осцилляторов, к такому же количеству независимых дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит только одну переменную вели­чину и является уравнением гармонических колебаний.

Ясно, что число нормальных координат равно числу исходных уравнений движения, опи­сывающих колебания системы (т.е. количеству колебательных степеней свободы системы).

Общие решения уравнений (1.16) и (1.17) имеют вид, аналогичный (1.5):

, (1.18)

(1.19)

Функции (1.18) и (1.19) описывают так называемые нормальные колебания (нормальные моды) рассматриваемой системы, а ча­стоты:

_I = ,  _II = , (1.20)

называются частотами нормальных колебаний (нормальных мод).

Движение каждого тела связанной системы является результатом сложения нормальных колебаний этой системы. В рассматриваемом случае легко вернуться к исходным переменным, описывающим движение каждого из тел системы:

, . (1.21)

В нашей модели число колебательных степеней свободы и, соот­ветственно, нормальных колебаний равно двум. Нумерацию нормальных мод обычно начинают с низкочастотных (по мере возрастания частоты нормального колебания номер моды увеличивается).

Для полного описания движения системы, состоящей из N связанных осцилляторов, необходимо, помимо частот всех нормальных мод, знать амплитуды и начальные фазы всех нормальных колебаний (всего 2N параметров). В рассмотренном выше приме­ре (N = 2) необходимо определить четыре параметра, входящих в соотношения (1.18) и (1.19): A_I , A_II , _I,  _II. Это мо­жет быть сделано, если заданы четыре начальных условия (обыч­но это начальные координаты и скорости всех тел). В нашем случае нужно задать координаты и скорости двух лёгких атомов в началь­ный момент времени , , , .

Легко убедиться в том, что, если в начальный момент оба атома смещены от положений равновесия в одну и ту же сторону на одинаковую величину (₁(0) = ₂(0)), то амплитуда второго

н ормального колебания окажется равной нулю (т.е. при этом в системе возбуждается только первая, низкочастотная мода колебаний). Поскольку частота этой нормальной моды _I никак не зависит от коэффициента упругости средней пружинки k₁ (см. 1.20), нетрудно догадаться, что первая нормальная мода представляет собой синхрон­ное колебание обоих атомов (средняя пружинка остается ненатянутой в любой момент времени) – рис.1.5,а.

Вторая (высокочастотная) нормальная мода в рассматриваемой системе может быть возбуждена, если в начальный момент времени оба атома отклонить от положений равновесия на одну и ту же величину, но в разные стороны ( =  ). В этом случае решение системы (1.16) и (1.17), напротив, даёт , т.е. в этих условиях не будет возбуждена уже низкочастотная мода. В формуле для частоты второго нормального колебания параметр k₁ средней пружины присутствует с коэффициен­том 2, т.е. эта пружина деформируется в два раза больше, чем крайние. Нетрудно сообразить, что вторая нормальная мода представляет собой противофазное движение двух атомов – см. рис.1.5,б.

Если же в начальный момент времени созданы несимметричные условия для двух атомов (разные начальные отклонения, либо разные начальные скорости), то в системе сосуществуют оба нормальных колебания. При этом движение каждого атома бу­дет представлять собой сумму двух гармонических колебаний с частотами _I и _II. Если связь между двумя осциллятора­ми достаточно слабая (k₁ << k), то частоты _I и _II близки, сложение двух колебаний приведет к известному эффекту «биений »  амплитуда колебаний каждого осциллятора будет претерпевать медленные периодические изменения с частотой, равной разности частот собственных колебаний каждого из осцилляторов – рис.1.6.

П одчеркнём, что если в какой-то момент времени в системе связанных осцилляторов была возбуждена только одна мода колебаний, то и в дальнейшем будет существовать только эта нормальная мода. Если в системе возбуждено несколько нормальных мод, то энергия, “запасенная” каждым нормальным колебанием, сохраняется неизменной. Это отражает важней­шее свойство нормальных мод – их независимость (энергия не мо­жет передаваться от одной моды к другой).

Из (1.20) следует, что по мере ослабления силы взаимодействия между двумя осцилляторами частоты нормальных колебаний двух типов постепенно сближаются и в пределе (при k₁  0) стремятся к одной и той же частоте собственных колебаний изолированного осциллятора.

С овершенно анало­гично ведет себя система двух связанных контуров (см. рис.1.7). Будем предполагать, что два одинаковых электрических контура, состоящих из одинаковых катушек индуктивности L и конденсаторов с ёмкостью С, связаны через общий конденсатор с ёмкостью С₁ (аналог упругой связи двух механических осцилляторов через пружинку с жёсткостью k₁). Потерями энергии на выделение тепла Джоуля-Ленца или перемаг-ничивание сердечника катушек, как и ранее, будем пренебрегать. Для определенности зададим знаки зарядов на конден­саторах и направления токов в контурах I₁ и I₂. Совершая обходы по каждому контуру в направлениях, указанных на рис.1.7 стрелками, получим два уравнения:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги