В_Связанные осцилляторы (1120517), страница 2
Текст из файла (страница 2)
, (1.22)
. (1.23)
С учётом того, что 
, 
и принимая во внимание условие сохранения электрического заряда*):
q1 + q + q2 = 0, (1.23,а)
эти уравнения преобразуются к виду
, (1.24)
. (1.25)
Как и ранее, почленно вычитаем и суммируем эти уравнения, получая в итоге
, (1.26)
. (1.27)
Здесь введены нормальные координаты: qI = q1 – q2 , qII = q1 + q2. Соответствующие нормальные частоты
I = 
, II = 
. (1.28)
вполне аналогичны соотношениям (1.20).
При возбуждении в рассматриваемой системе первой моды одинаковые по величине токи I1 и I2 в обоих контурах в любой момент времени направлены либо по часовой стрелке, либо против неё, поэтому ток через конденсатор C1 вообще не протекает. Напротив, при возбуждении второй нормальной моды сила тока через конденсатор C1 в любой момент времени равна удвоенному току I1 (или I2). Таким образом, очевидна полная аналогия колебательных явлений в системах, показанных на рис.1.4 и рис.1.7.
В заключение подчеркнем, что простой способ определения нормальных координат и нормальных мод – сложение и вычитание исходных дифференциальных уравнений, описывающих каждый осциллятор системы, “работает” только для симметричных систем связанных осцилляторов. В случае несимметричных систем нормальные координаты следует искать в виде 
, где n – постоянный коэффициент, значение которого для каждой нормальной моды своё. Каждому значению коэффициента n будет соответствовать определенная частота нормальных колебаний. Другой способ поиска частот нормальных колебаний базируется на том обстоятельстве, что при возбуждении в системе какой-либо одной нормальной моды все осцилляторы совершают колебания с одинаковой частотой, причём либо в фазе, либо в противофазе. Поэтому можно в исходной системе дифференциальных уравнений задать координаты осцилляторов в виде гармонических функций (например, в случае двух связанных осцилляторов ξ1 = Acosωt и ξ2 = Bcosωt). В результате решения получившихся алгебраических уравнений легко определить частоты нормальных мод и соответствующие значения отношения амплитуд колебаний двух осцилляторов А/В для каждой моды.
*) Для упрощения последующих математических выкладок мы приняли исходный заряд конденсаторов равным нулю.
17
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
