Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§3. Ряд распределения

Составить закон распределения для случайной величины X - числа гербов, выпавших при бросании трех монет.

Случайная величина X - дискретная. Ее возможные значения :

{ 0, 1, 2, 3 }.

Запишем ряд распределения для этой случайной величины, т.е. , каждому из возможных значений сопоставим вероятность того, что случайная величина примет это значение:

p _i = P( X=x _i).

Вероятности будем подсчитывать по классическому определению. Для этого запишем все возможные исходы опыта, заключающего в бросании трех монет.

( герб; герб; герб ) ; ( цифра ; герб; герб ) ;

( герб; герб; цифра ) ; ( цифра ; герб; цифра ) ;

( герб; цифра; герб ) ; ( цифра ; цифра; герб ) ;

( герб; цифра; цифра ) ; ( цифра ; цифра; цифра ) .

Общее число исходов опыта равно 8 . Число благоприятствующих исходов для каждого из возможных значений подсчитываем по приведенному списку.

Ряд распределения оформляем виде таблицы :

Должно выполняться основное свойство ряда : сумма всех вероятностей действительно равна 1 .

Ряд распределения.

(для дискретных с.в.)

Ряд распределения - это перечень возможных значений с.в. и вероятностей этих значений.

Форма представления ряда:

А) таблица

ХI	Х1	Х2		ХN
PI	P1	P2		PN

Р₂=Р(х=х₂)

Б) граик

P_I

P₁

X₁ X_I

В) аналитическая функция: Х: Х₁ Х₂ Х _n p_i=f(i)

Вероятность каждых из этих значений задается одной общей формулой.

Например: с.в. Х – число

ХI	1	2	3	4	5	6
PI	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Х: 1, 2, 3, 4, 5, 6

P_i = 1/6

P_I

1/6

1 2 3 4 5 6

Основное свойство ряда распределения.

С обытия Х=Х₁ Образуют полную группу попарно несовместных

Х=Х₂ событий.

……. Следовательно:

Х=Х_N

Р₁ + Р₂ + … + Р_N = 1 (1)

∑Р_I=1

Например составить закон распределения для суммы очков на двух кубиках:

С.в. Х – сумма очков на двух кубиках (дискретная с.в.)

ХI	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
PI	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

∑Р_I=1

п=36

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

Если закон распределения задан – можно прогнозировать поведение с.в., предсказывать вероятность того, что она попадет в тот или иной интервал.

Например:

ХI	2	5	7	9	11
PI	0,1	0,3	0,3	0,2	0,1

1. Р₃ - ? Р(х=7) = 1-(0,1+0,3+0,2+0,1)=0,3

2. Р(х=3) = 0 = Р(V)

3. Р(х=11)=0,1

4. Р(х<6) = Р((х=2)+(х=5))=Р(х=2)+Р(х=5)=0,4

0 2 5 6 7 8 9 11 х

1. Р(х>8)=Р((х=9)+(х=11))=Р(х=9)+Р(х=11)=0,3

2. Р(П<х<3П)=Р(х=5)+Р(х=7)+Р(х=9)=0,8

Общая формула

Р(α<x<β)=∑p_i

α<X_i<β (2)

Дискретная случайная величина задана рядом распределения.

Необходимо:

1. Записать пропущенную вероятность.

2. Подсчитать вероятности попаданий в указанные интервалы.

3. Записать значения функции распределения в указанных точках.

4. Записать функцию распределения при любых значениях аргумента, построить ее график.

5. Вычислить числовые характеристики случайной величины.

1. Записываем пропущенную вероятность. Используем основное свойство ряда

распределения : . Отсюда получаем :

p ₂ = P(X= -8) = 1 - (0,3+0,05+0,25+0,1+0,2) = 1 - 0,9 = 0,1.

Вписываем это значение в ряд распределения :

1. Подсчитываем вероятности попаданий в указанные точки и интервалы.

P(X=-2); это вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное (-2). Но она может принимать только значения, указанные в таблице : (-11, -8, -4, -1, 2 и 5 ). Значит событие (X=-2) - невозможное, и его вероятность равна нулю : P(X=-2)=0 .

P(X=2) = 0,1 ;

P(X<-2) ; это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее (-2). Это может произойти в случае, если она примет значение , равное (-11) или равное (-8) или (-4) (только эти три возможных значения меньше (-2) ). Таким образом, событие (X<-2) можно представить как сумму трех несовместных событий :

(X<-2) = (X=-11) + (X=-8) + (X=-4).

Соответственно и вероятность этого события равна:

P(X<-2) = P( (X=-11) + (X=-8) + (X=-4)) =

P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) = 0,3 +0,1 + 0,05 = 0,45 .

Рассуждая каждый раз таким же образом, приходим к выводу, что для дискретной случайной величины вероятность попадания в какую-либо область равна сумме вероятностей тех из возможных значений, которые попадают в эту область:

P(X>0) = P(X=2) + P(X=5) = 0,1 + 0,2 = 0,3 .

P(-3<X<4) = P(X=-1) + P(X=2) = 0,25 + 0,1 = 0,35.

P(-5<X<5) = P(X=-4) + P(X=-1) = 0,05 + 0,25 = 0,3 .

3). Записываем значения функции распределения в указанных точках.

По определению, функция распределения - это функция F(x) , которая при каждом значении аргумента X равна вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем аргумент (попадет в область, лежащую слева от аргумента):

Поэтому, F(-3) = P(X<-3) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) =

= 0,3 + 0,1 + 0,05 = 0,45;

F(0) = P(X<0) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) + P(X=-1) =

= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 = 0,7;

F(2) = P(X<2) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) + P(X=-1) =

= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 = 0,7;

F(4) = P(X<4) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) + P(X=-1) + P(X=2) =

= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 + 0,1 = 0,8;

4). Записываем функцию распределения для всех значений аргумента x.

При - < x  -11 F(x) = P(X<x) = 0 ; (слева от таких значений x нет возможных значений случайной величины)

При -11< x  -8 F(x) = P(X<x) = P(X=-11) = 0,3 ; (слева от таких значений x только одно возможное значение , равное (-11) )

При -8<x  -4 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8) = 0,3 + 0,1 = 0,4 ;

При -4<x  -1 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) =

= 0,3 + 0,1 + 0,05 = 0,45 ;

При -1<x  2 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8) + P(X=-4) + P(X=-1) =

= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 = 0,7 ;

При 2<x 5 F(x) = P(X=-11) + P(X=-8)+ P(X=-4) + P(X=-1)+ P(X=1) =

= 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 + 0,1 = 0,8 ;

При 5<x  + F(x) = 0,3 + 0,1 + 0,05 + 0,25 + 0,1 + 0,2 = 1 ;

В последнем случае все возможные значения случайной величины лежат слева от аргумента x . Попадание в область (5<x) - достоверное событие.

Таким образом, с ростом значения аргумента x идет процесс накопления вероятности. Окончательно получаем :

Теперь рисуем график функции распределения F(x):

1. Подсчитываем числовые характеристики случайной величины:

Математическое ожидание m _x (оно же среднее значение случайной величины):

Мода - то из возможных значений, которое имеет наибольшую вероятность

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций