Диссертация (1104059), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Например, решение кинетического уравненияВласова дает общую картину поведения пучка, однако приводит кнеобходимости решать сложную вычислительную задачу в шестимерномфазовом пространстве. Метод крупных частиц имеет широкое применение исодержит большое число моделей частиц. Однако основная трудность этогометода заключается в правильном выборе модели частицы, а также вопределении достаточного числа крупных частиц, которые используются вмоделировании, и в частности, для корректного определения функцииплотности частиц. В силу того, что пучок меняет свою форму со временем (впроцессе движения), то трудно быть уверенным в хорошей аппроксимациифункции плотности.

Следует отметить, что в современных ускорителяхплотность частиц может быть достаточно высока ~1015 , и существуетпотребность в моделировании таких пучков, например, для задачи учета«гало» пучка.В этой связи здесь предложен новый подход в решении задачи учетаэффектапространственногозаряда.Предлагаемыйметодзанимаетпромежуточное положение между методом крупных частиц и уравнениемВласова для функции распределения.Идея метода состоит в последовательной работе с функцией плотностизаряда частиц.При этом функция плотности определена в эйлеровых координатах, инигде в процессе вычислений не происходит переход к самим частицам, тоестьклагранжевымкоординатам.Этопозволяетуменьшитьвычислительную нагрузку для нахождения функции плотности.

То есть с76одной стороны предложенный метод не использует модель частиц, как и вметоде самосогласованного поля Власова, с другой стороны, используемыеуравнения не обладают большой вычислительной емкостью в отличие отиспользования уравнения Власова, что позволяет существенно ускоритьпроцесс расчетов. В ряде случаев предложенный метод позволяет получитьаналитическое решение.Итак, будем рассматривать движение заряженного пучка частиц внеоднородном магнитном Be  p  и электрическом De  p, t  поле, при этомвнешнее электрическое поле может меняться по времени.

Здесь p  точкаобласти  движения пучка.Собственное магнитное поле H s пучка, возникающее из-за егодвижения, будем считать существенно меньшим, чем внешнее магнитноеполе H e  p  . Эффект собственного поля H s на фокусировку пучка будемсчитатьнесущественным.СобственноеэлектрическоеполеDs  p, t  ,напротив, играет ключевую роль в эффекте пространственного заряда,приводящего к «разбуханию» пучка за счет кулоновского отталкиваниячастиц.Такие предположения являются адекватными для моделированияпроцесса инжекции пучка в циклотроне, где релятивистские эффекты не такзначительны из-за невысокой начальной энергии пучка и, как следствие, надинамику пучка оказывает большое влияние пространственный заряд.§1 Модель сплошной среды со сферически симметричнымраспределением зарядаВ этом параграфе рассмотрена постановка начально-краевой задачи дляучета эффекта пространственного заряда.

Рассматриваемая краевая задача77состоит из двух уравнений относительно неизвестных функций: D - вектораэлектрического поля и v - векторного поля скоростей среды. Отсюда ипроисходит название DV-постановка.1.1 Постановканачально-краевойзадачиотносительновекторов D и vРассмотрение начнем с простейшей системы, в которой отсутствуютвнешние поля Be  p  исимметричнуюформувDe  p, t  , а форма пучка имеет сферическикаждыймоментвремени.Отметим,чтосимметричная форма дает симметричное распределение собственногоэлектрического поля.

Далее, запишем одно из уравнений Максвелла:Dt  j  rotH ,(1)здесь D  p, t  − электрическое поле пучка, заданное в каждой точке областии зависящее от времени;j  p, t − плотность тока, вызваннаяперераспределением заряда внутри пучка; H  p, t  − магнитное поле,создаваемое плотностью тока j  p, t  .Плотность тока может быть представлена в виде:j  p, t   e  p, t  v  p, t  ,(2)где e  p, t  − плотность заряда в точке p  в момент времени t , а v  p, t скорость потока заряженных частиц в точке p  , в момент времени t .78Отметим, что в силу симметрии пучка скорость v  p, t  может бытьпредставлена видеv  p, t   V0  u  p, t  ,(3)где V0 постоянная скорость, задающая движение пучка как целого, а u  p, t скорость в системе центра масс пучка.Далее запишем магнитное поле, создаваемое таким пучком.

Всоответствии с законом Био-Савара-Лапласа:1jp,t, d p p rsprsp rsp 1 1 up,tp,t,dVp,t, p 0 e d p .e4  rsp3 4  rsp3 H  s, t  14(4)Первый интеграл в выражении (4) равен нулю в силу сферическойсимметрии пучка ( u || rp , где rp − радиус вектор из центра сферы к точке p )rsp V,p,td p 3   0 ersp rsp1 V0 ,p,tdep   V0 , D  .34rspH  s, t  14(5)Учитывая уравнение Максвелла:divD  eи используя формулы (5), (2) и (1), окончательно получим:79(6)Dt  v  divD  rot V0 , D (7)Полученное уравнение (7) задает связь между электрическим полем Dи скоростью потока заряда v в точке p  в момент времени t .

Данноеуравнение содержит две неизвестных функции, поэтому для его разрешениянеобходимо второе уравнение.Второе уравнение может быть получено из закона сохранения моментаP . Для начала запишем закон сохранения массы M для элемента объемаV .M md ,VM  m d     mvdS    div   mv  d ,t V tSVm div  mv   0,tздесьm−плотностьмассывещества(8)пучка,аинтегрированиепроизводилось по элементарному объему  V , с площадью поверхности  S .Теперь запишем закон сохранения момента в предположении, что внешнихсил нет, а частицы между собой не взаимодействуют. Получим:Pi  v d ,m ii  1,2,3,VPi    mvi  d      mvi  v j dS j     j   mvi  v j d ,t V tSV mvi    j  mvi  v j  0.t(9)80Теперь рассмотрим случай, когда есть внешняя сила. Исходя из второгозакона Ньютона, для одной частицы можно записать:dPi Fi ,dt(10)где F − сила, действующая на частицу с массой m и зарядом q ; Pi − «i»-аякомпонента момента с учетом внешней силы F .Рассмотрим силу, вызванную кулоновским взаимодействием частиц, тоесть F q0D , где D вектор электрического поля.

Проинтегрируем поэлементарному объему  V выражение (10) и учтем уравнение (9), получим: mvi    j  mvi  v j  e Di .t0(11)Запишем выражение (11) с учетом (8):mvi vi m  vi j  mv j   mv j j  vi   e Di ,tt00vi v j j  vi   Fi ,t0где  (12)e q .

Окончательно в векторной форме выражение (12) приметm mвид:v  v ,   v  D.t081(13)В результате получаем систему из двух уравнений (7) и (13)относительно неизвестных функций v  p, t  иD  p, t  с начальнымиусловиями типа Коши: t D  p, t   v  p, t   divD  p, t   rot V0 , D  p, t   , v  p, t    v  p, t  ,   v  p , t   D  p , t  ,0 tD  D p , v  V .0 0t 0 t 0p ,(14)Полученную постановку необходимо дополнить условием на границеS области  , например,VnSD 0 , где n − вектор нормали кn Sповерхности.С физической точки зрения есть некая непрерывная среда, состоящаяиз однотипных заряженных частиц, с отношением заряда к массе, равным  .Для этой среды в каждой точке области p  и в момент времени tопределена функция электрического поля D  p, t  и функция скорости потоказаряда v  p, t  .

Данные функции могут быть найдены из решения краевойзадачи (14). Зная D  p, t  , можно получить плотность заряда в каждой точке влюбой момент времени по формуле (6).Рассмотрим отличительные особенности предложенной постановки(14) по сравнению с известными методами.Во-первых, искомые функции D  p, t  и v  p, t  , входящие в постановкузадачи (14), зависят только от 4 переменных, 3-х пространственных и однойвременной. В то время как, например, для уравнения Власова82fff v  q E  v , B  0,trpфункция распределения f  r , p, t  зависит от 7 переменных: трех координатr  x, y, z , трех компонент момента импульса p   px , p y , pz  и временнойкоординаты t .Во-вторых, система (14) состоит всего из двух уравнений, а длянахождения функцииf  r , p, t  , удовлетворяющей уравнению Власова,требуется решать еще и полевую задачу, то есть уравнения Максвелла дляопределения E и B .Если сравнить предложенный метод с методом крупных частиц, топреимуществом является отсутствие необходимости переходить на каждомшаге по времени от частиц к плотности, а потом после решения краевойзадачи для каждой частицы находить электрическое поле и только потомрешать уравнения движения для нахождения нового положения частиц.Также рассмотрение вместо набора частиц функции плотности даетвозможность моделировать пучки большой плотности.Постановка (14) состоит из дифференциальных уравнений первогопорядка, а сами уравнения являются линейными относительно неизвестныхфункций.1.2 Рассмотрение в системе центра массРассмотрим случай, когда помимо собственного поля Ds на пучокдействует внешнее постоянное электрическое поле De .

В этом случаесистема (14) перепишется в виде:83 D  p, t   v  p, t   divD  p, t   rot V0  t  , D  p, t   , p  , t v  p, t    v  p, t  ,   v  p , t   D  p , t  ,0 t D t 0  D0  p  , v t 0  v0 , V0  t   v0  t De , D  p, t   Ds  p, t   De .0(15)Полученную постановку необходимо дополнить условием на границе Sобласти  , например,VnSD 0 , где nn S− вектор нормали кповерхности S .Как видно из (15) первое уравнение не изменилось, хотя суммарноеэлектрическое поле Dстало суперпозицией собственного Ds  p, t  ипостоянного внешнего De поля:D  p, t   Ds  p, t   De .(16)Внешнее постоянное электрическое поле De не нарушает сферическисимметричного распределения плотности заряда, поэтому выражения (4) –(5) остаются справедливыми и для случая (16).

Далее сформулируемследующую теорему.Теорема 1 Решение задачи (15) имеет вид:v  r , t   u  r , t   V0  t  ,D  r , t   De  D s  r , t  ,r  r   v0t  t 2 eD,2 084(17)где функции u  r , t  и D s  r , t  являются решениями задачи для собственнойсистемы координат: ss Dt  u  divD  0, p , sut   u ,   u  D ,0 D s  D  D e , u  ,0t 0 t 0(18)где  нулевой вектор начальной скорости.ДоказательствоТак как заряженная система находится во внешнем постоянномэлектрическом поле De , то для скорости центра масс системы справедливовыражение V0  t   v0  t eD .

Характеристики

Список файлов диссертации