Диссертация (1104059), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Это даст ту же схему, что и (5), только сдобавлением члена rot V0 , D  xs xxxDi, js,k ,n1  Di, js,k ,n   rot V0 , D  i , j ,k ,nVi , j ,sk,n .i , j ,k ,n(11)Размер разностной сетки возьмем, как и раньше (10), а промежуток времениувеличим. При этом будем брать разное число разбиений шагов по времени.Иными словами будем менять шаг по времени от большого к малому. И взависимости от величины шага по времени посмотрим, как изменяетсяточность решения. Величину начальной скорости возьмем следующую:V0  10,0,0m,s(12)что соответствует движению вдоль оси OX. Временной интервал выберемT  2 102 сек, а число шагов по времени NT будем менять в диапазоне: 50,100, 200, 400, 800.

На рис.8 показан результат конечного распределения106плотности с количеством шагов по времени NT=50. Как видно из рисунканаблюдается сильная асимметрия распределения в сторону направлениядвижения.NT = 50Рис.8 Конечное распределение с NT=50Естественно данный результат не является корректным, так какнарушается симметрия распределения. Поэтому шаг по времени необходимоуменьшить.

На рис. 9 приведена последовательность таких распределений,соответствующая уменьшающемуся временному шагу. Стрелкой показанонаправление скорости V0 .Из рис.9 видно, что первый порядок аппроксимации требуетсущественного, то есть больше чем на порядок, уменьшения шага по временидля достижения необходимой точности. В этой связи будет интересносделать аналогичный расчет со схемой второго порядка аппроксимации повремени.107NT = 100NT = 200NT = 400NT = 800Рис.

9 Уменьшение погрешности функции плотности за счет уменьшенияшага по времени.1082.3 Разностная схема со вторым порядком аппроксимацииИсходя из выводов предыдущего пункта, рассмотрим второй порядокаппроксимации по времени, используя соотношения из пункта 2.1. На рис.10показано распределение функции плотности, посчитанной по разностнойсхеме (1), как видно при числе разбиений по времени NT=50 получаетсярезультат, сравнимый с числом NT=800 для схемы первого порядка повремени.

Такой результат существенно сокращает время счета.NT = 50РРис.10 Распределение плотности заряда для схемы со вторым порядкомаппроксимации по времени.Однако, есть и другие проблемы, связанные с точностью разностнойсхемы. Одна из них это несохранение полного заряда. Рассмотрим болеевнимательно распределение плотности заряда вдоль направления движениясистемы. На рис.12 показано распределение плотности заряда в различныемоменты времени вдоль белой линии, изображенной на рис. 11.109Рис. 11 Белой линией показано положение сечения графика,изображенного на рис.12.Как видно из рис.12, существует область, в которой наблюдаютсяосцилляции функции плотности заряда. На рис.12 показаны две областизаключенные в прямоугольники, в которых наблюдается нарушение законасохранения заряда/массы. Первая область находится внизу, на рисунке онавынесена отдельным увеличенным фрагментом. Из рис.12 видно, чтофункция плотности меняет свой знак.

Знак меняется из-за того, что в даннойобласти само значение плотности должно быть равным нулю. Во второйобласти функция плотности отлична от нуля, и здесь наблюдаетсяувеличение значения плотности на «границе волны».Такое поведение решения в обоих случаях является некорректным.Хотя в разностной схеме используется второй порядок аппроксимации покоординате и второй порядок по времени, никаким уменьшением шагаданная проблема принципиально не разрешается.

Описанная проблема неявляется новой для схем подобного рода и может быть решена посредствамвведения схемы, учитывающей направление потока заряда. Иными словами,взависимостиотнаправленияпотокааппроксимация производной.110беретсяразнаяразностнаяРис.12 Увеличенный фрагмент распределения функции плотности.Итак, если в узле поток направлен слева направо, то производная будетаппроксимироваться выражением:um um  um1,h(13)если поток в узле направлен справа налево, то производная запишется так:um um1  um.h(14)В этом случае порядок схемы по координате будет первый вместовторого, но зато будет решена проблема осцилляции плотности заряда.

Послеиспользования аппроксимаций (13) и (14) график, изображенный на рис.12,примет вид рис.13. Как видно на рис.13, проблема несохранения зарядаразрешилась, причем в обеих областях.111Рис.13 Эволюция функции плотности со временемРис. 14 а,б на разных сетках: а) 100x100x100, б) 150x150x150Однако, пришлось пожертвовать точностью разностной схемы покоординате. Такая потеря точности не прошла даром. Как видно из рис.14а,справа и слева от движущегося сгустка появились провалы в плотностизаряда, хотя раньше со вторым порядком по координате их не было.

Поэтомудля компенсации этого эффекта ничего не остается, как увеличитьразмерность сетки, например, вместо сетки 100x100x100 возьмем сетку150x150x150. В результате, на рис. 14б видно исчезновение провалов вплотности заряда.112§3Модельсплошнойпространственногосредыдлявслучаезарядазадачиучетапроизвольногораспределения плотностиВпредыдущем§2быларассмотренаDV-постановказадачипространственного заряда. Данная постановка была рассмотрена длясферически симметричных распределений плотности заряда. Реальныераспределения заряда, с которыми приходится работать при моделированиидинамики пучка в ускорителях, имеют гораздо более сложную структуру.Поэтому в этом параграфе рассматривается модифицированная DVпостановка задачи, которая была названа ρV- постановкой задачи учетаэффекта пространственного заряда.3.1 Начально-краевая задача относительно ρ и vОсновнойтрудностьюиспользованиядляDV-постановкипроизвольного несимметричного распределения частиц в пучке являетсявычисление собственного магнитного поля пучка (4), которое в случаесимметричного распределения принимает простую форму (5).

Для работы снесимметричными распределениями требуется заменить первое уравнение вDV-постановке на уравнение, не зависящее от собственного магнитного поляпучка. Такое уравнение получается путем взятия оператора div от первогоуравнения в постановке ((14) §1 глава 2), что в результате дает уравнениенепрерывности для функции плотности заряда  :t  div   v   0.113(1)С точки зрения численных расчетов такое уравнение решать проще,хотя бы потому, что уравнение записано для скалярной, а не для векторнойвеличины, к тому же отсутствие роторной компоненты в правой частиуравнения упрощает задачу.Однако с появлением новой неизвестной величины  необходимоусложнить задачу, чтобы постановка задачи была замкнутой относительнонеизвестных величин. То есть необходимо соотношение для связи между Dи  . С этой целью рассмотрим следующую дополнительную краевую задачу:D   0 E   0u,(2)u    ,0u  u 0 , (3)здесь u − функция скалярного электрического потенциала; величина u 0 −задает значение потенциала на границе  , ограничивающей область  , вкоторой и будет решаться краевая задача.

В каждый момент временипотенциал на границе u 0 может также менять свое значение, например, еслипучок проходит через ускоряющее поле, где потенциал на электродахменяется со временем. Также отметим, что не обязательно использовать длянахождения потенциала u именно задачу Дирихле, можно рассматривать изадачу Неймана или смешанное краевое условие. Выбор условия на границеопределяется типом физической задачи, для которой делается расчет.В результате, постановка краевой задачи для учета пространственногозаряда принимает вид:114 t   p, t   div    p, t  v  p, t    0, p ,  v  p , t    v  p , t  ,   v  p , t    D  p , t   D  p , t    v  p , t  , B  p   ,ee t0 s Ds  p, t    0u  p, t  ,u  p, t      p, t  ,00u   u  p, t  ,  t 0  0  p  , v t 0  v0  p  .(4)Данную постановку краевой задачи (4) будем называть постановкойотносительно ρ и V или просто ρV- постановкой.

Отметим, что здесь нигдене налагаются условия на симметричность распределения заряда, то естьпредполагается произвольное распределение.3.2 Построение решенияКак и для DV постановки, можно по аналогии показать, что ρVпостановка тоже допускает решения в виде разложения в степенной ряд, аименно:t2k tk  p, t     p,0   t  t  p,0   tt  p,0   ...   k  p,0  ,2k!k 0 tt2kvtkv  p, t   v  p,0   t  vt  p,0   vtt  p,0   ...   k  p,0  .2k!k 0 t(5)В проверке решения для скорости v необходимости нет, так как уравнениедля скорости не изменилось. Проверим решение первого уравнения для115плотности заряда. Подставим представление для плотности заряда из (5) впервое уравнение постановки (4), получим:  k k t k 1t k  m tm p,0 div  k  p,0   m  p,0    0,k k ! m0 tm!  k  1!k 1 t k 0 t(6)соберем члены при одинаковых степенях по t, получимt 0 : t  p,0   div    p,0  v  p,0   0,(7)данное равенство является верным тождеством, так как соответствуетпервому уравнению в (4) в момент времени t  0 .

Далееt1 : tt  p,0   div    p,0  vt  p,0   div  t  p,0  v  p,0   0,(8)перепишем выражение (8) в виде:t1 : t  p, t   div    p, t  v  p, t   ,t t 0(9)в силу (4) выражение в квадратных скобках равно нулю при любом t ,следовательно, и производная от него тоже будет равна нулю, то естьполучили верное тождество. Распишем для второй степени t :t2 :ttt2!div   vtt  div  t v t div  tt v  0,2!1!1!2!или116(10)1  tt  div   v t  div  t v   2! t t 0(11)1 2 t  div   v   ,2! t 2 t 0как и прежде, выражение в последних квадратных скобках равно нулю прилюбом значении t , поэтому получаем верное тождество. Аналогичныерезультаты получатся и для остальных степеней по t .Построение решения, как ранее, тоже может быть полученорекуррентнымисоотношениямидлякоэффициентовразложений(5).Например, первые производные имеют вид: p,0   div  0  p  v0  p  ,tv p,0     v0  p  ,   v0  p   D0  p    v0  p  , Be  p  ,t0(12)где D0  p   Ds  p,0   De  p,0  .

Характеристики

Список файлов диссертации