Диссертация (1104059)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВАФизический факультетРепникова Надежда ПавловнаНЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИСпециальность 01.04.02 – теоретическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Иноземцева Н.Г.Москва, 2015СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ4ГЛАВА 1 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ИГРАВИТАЦИИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УДАРНОЙ ВОЛНЕ23§1 Задача электродинамики для сферической области1.1 Постановка задачи и ее общее решение1.2 Случай постоянной начальной плотности распределения заряда1.3 Случай логнормального начального распределения плотности заряда1.4 Скорость распространения волны2323303235§2 Задача электродинамики для цилиндрической области2.1 Постановка задачи и ее общее решение2.2 Случай постоянной начальной плотности распределения заряда2.3 Случай логнормального начального распределения плотности заряда2.4 Скорость распространения волны4040454750§3 Задача гравитации для сферической области3.1 Постановка задачи и ее общее решение3.2 Случай постоянной начальной плотности распределения массы3.3 Случай логнормального начального распределения плотности массы52525961§4 Задача гравитации для цилиндрической области4.1 Постановка задачи и ее общее решение4.2 Случай постоянной начальной плотности распределения массы4.3 Логнормальное начальное распределение плотности массы64646971§5 Общий случай электрического и гравитационного поля74ГЛАВА 2 ЭФФЕКТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА76§1 Модель сплошной среды со сферически симметричнымраспределением заряда1.1 Постановка начально-краевой задачи относительно вектораэлектрического поля и скорости1.2 Рассмотрение в системе центра масс1.3 Структура решения1.4 Модель однородно заряженного шара77§2 Численное решение в модели сплошной среды2.1 Порядок аппроксимации решения2.2 Разностная схема с первым порядком аппроксимации9696972788386902.3 Разностная схема со вторым порядком аппроксимации109§3 Модель сплошной среды для задачи учета пространственного зарядав случае произвольного распределения плотности3.1 Начально-краевая задача относительно плотности заряда и скорости3.2 Построение решения113§4 Численное решение задачи с произвольным распределениемплотности4.1 Разностная схема4.2 Пример численного решения модельной задачи119ЗАКЛЮЧЕНИЕЛИТЕРАТУРА1281293113115119122ВВЕДЕНИЕВ последние полвека большое внимание в различных областяхматематической и теоретической физики [1], [2], а также в прикладнойматематике [3], [4] уделялось подходам, обеспечивающим математическистрогие результаты: поиску точно решаемых моделей, строгой формулировкеисходных уравнений этих моделей, исходя из первых принципов.В предлагаемой работе рассматривается построение точных модельныхрешений проблем из области ускорительной физики.Одна из них − это проблема учета эффекта пространственного зарядапучка при моделировании динамики пучка в ускорителях, например, такихкакциклотрон.Уравнения,описывающиевлияниесобственногоэлектрического поля пучка на его динамику, являются нелинейными,поэтому наличие для моделирования точных модельных решений весьмаактуально,особеннодлярассмотренияпучковчастицсвысокойинтенсивностью (Space Charge Dominated Beam).

С другой стороны,потенциалы электрического и гравитационного поля имеют одинаковуюстепенную зависимость от расстояния. Поэтому наряду с модельнымирешениями электродинамики рассматриваются и модельные решения изобласти гравитационного взаимодействия.Следует отметить, что рассматриваемые поля создаются системамимногих взаимодействующих частиц. Например, пространственный зарядпучка частиц в ускорителе создается числом частиц порядка 1015 . При этомусловия эксплуатации ускорителя требуют расчета параметров пучка сточностью, при которой существенны потери пучка на структурныхэлементахустановки.Поэтомурассматриваемыесистемымногихвзаимодействующих частиц имеет фактически переменное число частиц, что4требует рассмотрения исходя из первых принципов, так как не во всехслучаях возможно сокращение описания.Математическая постановка задачи пространственного заряда.Опишем математический аппарат, используемый при моделированиидинамики пучка в циклотроне.

Начнем с описания модели пучка.Существуют несколько моделей пучка, и каждая такая модель приводит ксоответствующей математической постановке задачи. Поэтому рассмотримтакие модели последовательно.Физически пучок состоит из большого количества частиц, это числочастиц может достигать величины порядка 1015. Конечно, такое количествочастиц (будем называть такие частицы микрочастицами) невозможноиспользовать при реальном моделировании на компьютере. Заметим, что дляхранения в памяти компьютера 3-х мерных координат частиц в этом случаепотребуется:1015  3  4 Байт  12 000 ТБ ,здесь считается, что координата имеет одинарную точность (float) и требуетсоответственно в памяти 4 Байта. Понятно, что 12 000 ТБ оперативнойпамяти на сегодняшний день – технически недоступная величина.

Заметим,что это всего лишь координаты частиц, а при вычислении необходимоиспользовать для каждой частицы и вектор скорости, а также множествовспомогательных данных, таких, как карты электрических и магнитныхполей, параметры геометрической структуры установки и различныепараметры установки. Также стоит отметить, что при использовании двойнойточности (double) это приведет к дополнительному удвоению размератребуемой памяти.Выходом из такой ситуации является представление пучка в виде,приемлемом для компьютерного моделирования числа макрочастиц [5-20].5Каждая макрочастица является, по сути, объединением некоего количествамикрочастиц.

Так, например, если в исходном физическом пучке числомикрочастиц составляет 1015, а при моделировании такому пучку ставится всоответствие пучок из 106 макрочастиц, то из этого следует, что каждаямакрочастица содержит 109 микрочастиц. И заряд, и масса такоймакрочастицы равны 109 mmicro и 109 qmicro соответственно, где mmicro и qmicroмасса и заряд микрочастицы.В результате пучок обладает набором следующих параметров: ri , pi , t  , i  1N,где N – число макрочастиц, ri и pi − вектор координат и импульса i –макрочастицы в момент времени t. Отметим, что ri и pi в свою очередьмогут быть определены, как усредненные значения по всем микрочастицам,содержащимся в i – макрочастице.Далее встает вопрос об уравнениях движения, которыми описываетсядвижение таких макрочастиц.Уравнения движения макрочастиц пучка записываются в виде:ddpi  mi  i vi   Fi , i  1 N ,dtdt(1)где Fi − сила, действующая на i – макрочастицу.

Такая величина представимав виде суперпозиции следующих сил:Fi  qi Eext  ri , t   Es  ri , t   vi , Bext  ri  ,6(2)где Eext  ri , t  и Bext  ri  − внешние электрические и магнитные поля,действующие на макрочастицы пучка. Распределение таких полей считаетсяизвестным. Отметим, что внешнее электрическое поле Eext  ri , t  в отличие отвнешнего магнитного поля Bext  ri  , помимо пространственной координатнойзависимости, еще имеет временную зависимость.Поле Es  ri , t  − является электрическим полем, созданным системойзарядов макрочастиц. Такое поле не задано и требует своего определения вкаждый момент времени.

Связано это с тем, что частицы в каждый моментвремени меняют свое положение, соответственно меняется распределениеэлектрического поля Es  ri , t  . Вопрос о вычислении Es  ri , t  нетривиален, идля его решения используются различные подходы. Такие подходыобъединеныподобщимназваниемзадачиобучетеэффектаработезадачах,пространственного заряда [21-43].Отметим,чтоврассматриваемыхвданнойпредполагалось, что собственное магнитное поле пучка пренебрежимо малопо сравнению с внешним магнитным полем Bext  ri  .Для решения уравнений движения (1) необходимо дополнить ихначальными и краевыми условиями.

Одним из вариантов таких условийявляется знание начальных координат ri 0и скоростей vi0макрочастиц впучке. Такое предположение дает стандартное условие Коши:ri t 0  ri   , vi t 0  vi  , i  1 N .00(3)Другим, часто встречающимся вариантом, является знание распределениямакрочастиц «по ВЧ фазе». Такой подход используется в случаях, когдапучок начинает постепенно выходить из некоторой щели источника илиизвестно, что каждая «i» макрочастица пучка пересекла некую поверхность в7некоторый свой момент времени ti . Математически такое начальное условиевыглядит следующим образом:ri t t  ri   , vi t t  vi  , i  1 N .00i(4)iПолучается, что для каждой макрочастицы задано еще время ti , в моменткоторого для макрочастицы известно еѐ положение ri 0и вектор скоростиvi  .

Это условие отличается от предыдущего тем, что в первом все0координаты и скорости известны в один и тот же момент времени для всехмакрочастиц пучка. Во втором случае координаты и скорости известны длякаждой i - ой макрочастицы пучка только в соответствующие ей моментывремени ti .Теперь зададим «краевые условия». Кавычки для слов «краевыеусловия»,здесьупотребляютсявсилунеполнойэквивалентности,используемого в математике понятия краевого условия.

Здесь под «краевымиусловиями» будем понимать ограничения по координатам на положениечастиц. Другими словами, существует некоторая область V 3, в которойищутся координаты частиц ri , i  1 N в каждый момент времени t. Если врезультате решения уравнений движения получается, что  j : rj V , тогда j аямакрочастица«выкидывается»макрочастиц,участвующихмакрочастицыназываютсявизрассмотрения.движениипотеряннымипучка,наТоестьчислоуменьшается.Такиеструктурныхэлементахустановки.

Следует отметить, что этот факт приводит к изменениюраспределения электрического поля Es  ri , t  . Граница области V задаетгеометрию установки, тем самым определяя область, в которой можетдвигаться пучок. Считается, что область V задана. Следует отметить, что длязадачи оптимизации центральной области циклотрона требуется как разнайти «наилучшую» область V.8Итак, приходим к следующей постановке задачи: dmi dt   i vi   qi Eext  ri , t   Es  ri , t   vi , Bext  ri   ,  1 1   2 ,   vi ,ii ic0000ri t ti  ri , vi t ti  vi , или ri t 0  ri , vi t 0  vi ,1  i  N , ri V ,(5)где mi − масса покоя i - ой макрочастицы, а c − скорость света в вакууме.Какуказывалось ранее,даннуюпостановку необходимодополнитьпроцедурой нахождения поля Es  ri , t  .Рассмотрим постановку задачи о поиске собственных полей пучка.Запишем систему уравнений Максвелла:divEs ,0rotEs   Bs ,trotBs  0 J s divBs  0,1 Es ,c 2 t10 0(6)c ,2где  − плотность заряда в пучке; Es − собственное электрическое полепучка, то есть электрическое поле, которое создает заряд пучка с плотностью ; Bs − собственное магнитное поле пучка.

Поле Bs − появляется вследствиедвижения пучка. В случае, когда все частицы покоятся плотность тока пучкаJ s  0 , а поле Es стационарно, то есть Bs  0 . Поэтому для корректного учетаэффекта пространственного заряда необходимо в выражение для силы (2)добавить вклад от Es и Bs пучка, то естьFi  qi Eext  ri , t   Es  ri , t   vi , Bext  ri   Bs  ri , t  .9(7)Собственные поля могут быть найдены из уравнений (6), если к нимдобавить граничные условия. Оценим влияние магнитного поля напоперечнуюфокусировкупучка.Дляэтогорассмотриммодельцилиндрического продольно однородного непрерывного пучка.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации