Диссертация (1104059), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Так как сферические слои непересекаются, то заряд, содержащийся в шаре радиуса R0  R  t  0  , остаетсянеизменным на протяжении всего движения. Величина такого заряда можетбыть найдена по формуле:R0Q  R0   4    x,0  x dx  420R t    x, t  x dx.20Учитывая (3), выражение (2) перепишется в виде:24(3)Rtt q Q  R0 .m 0 4 R 2(4)В результате получаем задачу Коши для функции R  t  :1 R,sR2 R t 0  R0 , R t 0  0,где  s q4 0 m(5)Q  R0  постоянная величина.РешениеНайдем решение задачи (5) для этого умножим обе частидифференциального уравнения из (5) на R и проинтегрируем по t , получим: R2 C1   s2,R(6)где C1 - постоянная величина. Учитывая начальное условие R  0   0 ,получим C1   s2. В результате выражение (6) примет вид:R012 sdR dt ,1 1R0 Rинтегрируя (7), получаем25(7)R03 2t  C2 2 sгде x x  x  1  arcch x ,(8)R.

Учет начального условия R  0   R0 приводит к выражению,R0задающему неявно зависимость радиуса сферического слоя от времени: RRR .t  1  arcchRRR2 s  R0   0  0 03R0 2(9)С другой стороны, выражение (9) может быть рассмотрено какуравнение характеристик, соответствующих разным начальным условиям R0 , s  R0  . При этом полученное решение имеет смысл, если характеристики непересекаются, что соответствует непересекающимся сферическим слоям.Каждый сферический слой характеризуется стартовым положением R0 ,количеством заряда Q  R0    s  R0 4 0 m, содержащемся внутри сферыqрадиуса R0 и характеристикой (9), описывающей его движение со временем.Введем обозначение:Fs  x   x  x  1  arcch x .Функцию, обратную к функцииFs  x  , обозначим(10)Ps  Fs   x , тогдавыражение (9) перепишется в виде:t2 s  R0 R03 226 R t   Fs ,R0(11)2 s  R0 R t , s  R0  ,R  0R03 2Ps  s  R0  t  (12)илиR  t   R  0  Ps  s  R0  t .Для нахождения эволюции функции плотности оценим величину(13)Q.

Q −Rэто заряд между двумя сферическими слоями с радиусами r и r  rсоответственно. С течением времени слой с начальным радиусом r перейдетв слой с радиусом R1  t   rPs  s  r  t  , а слой с радиусом r  r перейдет вслой с радиусом R2  t    r  r  Ps  s  r  r  t  в соответствии с формулой(13).

В силу того, что слои не пересекаются, то величина Q должнаоставаться постоянной со временем, следовательно:Q  4r rx 0  x  dx 42rR2  t R1  t x 2   x, t  dx  40  r  r 2r    r 2 .(14)Для величины R справедливо соотношение:R  t   R2  t   R1  t    r  r  Ps  s  r  r  t   rPs  s  r  t   rdxPs  s  x  t dxx rПодставляя выражения (14) и (15) в соотношение40  r  r 2Q dQlimR 0 RdR dxPs    x  t dx(15)   r 2  .Q, получим:R40  r  r 2.Ps    r  t   rPs   r  t     r  tx r27(16)Учитывая выражение Q  R  t    4R t    x, t  x dx , можно получить:2s0dQ 4 s  R, t  R 2  t .dR(17)Подставляя формулу (17) в выражение (16) и учитывая (13), получаемвыражение для плотности заряда: s  R, t  14 R  t 240  r  r 2Ps  s  r  t   rPs  s  r  t  s  r  t0  r 1Ps 2  s  r  t   P    r  t   rP     r  t     r  t sss s s(18),где величина R  t   rPs  s  r  t  в соответствии с (13).Найдем производные Ps  Fs  и s  r  .Ps  Fs   x  Ps  Fs  Fs x   1  Ps  Fs  1,Fs  x (19)учитывая (10), находим Fs  x Fs  x  2x  12 x  x  112 x 1 xxx  x  1В результате производная Ps Fs  представима в виде:28.(20)Ps  Fs  x 1x1Fs  x Ps  Fs   1.Ps  Fs (21)Учитывая выражение (12) для s  r  , находим производную s  r  :s  r   s  r 1322 s  r  r3 2 s  r .2 r5 2(22)Так как производная  s  r  имеет вид:r2q s  r    0  r  ,   ,0m(23)то для s  r  окончательно получаем выражение: r 2 0  r  1 3 2 s  r  1  0  r  3s  r  r.s322 r5 2r   0s  r  2 0 2 s  r  r(24)Подставляя выражения (24) и (21) в (18), получим окончательную формулудля плотности заряда: s  R, t  0  r 1Ps 2  s  r  t  Ps  s  r  t   1  0  r  3 Ps  s  r  t   t s  r   Ps  s  r  t    0s  r  2 где в соответствии с (13) s  R, t   s rPs  s  r  t  , t .29, (25)Формула (25) задает эволюцию функции плотности заряда с начальнымраспределением 0  r  при условии, что сферические слои не пересекаются.Впунктах1.2-1.3рассмотренычастныеслучаиначальныхраспределений плотности заряда 0  r  и получены для них эволюциифункции плотности s  R, t  .1.2 Случай постоянной начальной плотности распределениязарядаПусть плотность 0  r   const .

Найдем s  r  при s  R,0   0  const ,(здесь учтено, что R t 0  rPs    r  t t 0 r ) получимQ  r  q 0 q r 20  r 3 s r  x dx ,4 0 m  0 m 00 3s  r  2 s  r r322 0.3 0(26)(27)Из выражения (27) видно, что   r  не зависит от r , то есть являетсяпостоянной величиной. Подставив (27) в (25), получим: s  R, t  0. 2 0 3Ps t30(28)Полученное выражение (28) задает эволюцию функции плотностиоднородно заряженного в начальный момент шара.

Как видно из (28)плотность заряда внутри шара остается однородной (постоянной), то есть не30зависит от координаты, а зависит только от времени. На рис.1 показанаэволюция плотности заряда (28).Рис.1Эволюцияфункцииплотностидляслучаяоднороднозаряженного шара.Графики характеристик (9) для случая однородно заряженного шарапредставлены на рис.2. Характеристики не пересекаются, что соответствует,сделанномупредположениюонепересечениисферическихслоевзаряженного шара.Уравнение (28) можно переписать без функции P в виде:111     13  0  6 2 0   0  3   0  3 t        1  arcch     F   0   .  s  3 0 s     s     s (29)Выражение (29) дает в явном виде зависимость между временем иплотностью заряда шара.31Рис.2 Характеристики для случая однородно заряженного шара1.3Случайлогнормальногоначальногораспределенияплотности зарядаРассмотрим распределение плотности заряда по закону:Q10  r   total2 n  2r  , n  r  e2 r2 r ln r   2 22,(30)где  ,  , Qtotal − постоянные величины.

Найдем Q  R0  , для этогопроинтегрируем выражение (30) по объему шара радиуса R0 , получим:R0Q  R0   4  x 20Qtotal2 x 212 2 xe ln 2 x   2 22dx 32 ln  2 R0     Qtotal 1erf , (31)2 2где erf  x  2xl e dl . Используя (31) получим выражение для s  r  :20s  r  2 s  r r3 2 ln  2r      Qtotal 1erf .4 0 r 3   2 (32)Подставляя выражения (32) и (30) в формулу (25) получим окончательноевыражение, описывающее эволюцию функции плотности заряда, для случаяначальногораспределенияплотностизарядаввиденормальногологарифмического распределения.Уравнение характеристик (9) примет вид: RRR .1arcchRRR0 ln  2 R0       0  0 Qtotal 1  erf  4 0  23tR0 2(33)На рис.3 представлены графики характеристик (33).

Из сравнения рис.2и рис. 3 видно принципиальное отличие в поведение характеристик, а именнона рис.3 характеристики пересекаются. На рис.4 представлены графикиплотности заряда в различные моменты времени. Пересечение характеристикприводит к бесконечному увеличению плотности заряда и к возможномупоявлению ударной волны.33Рис.3 Характеристики для случая нормального логарифмическогораспределенияПоэтому решение (25), полученное в предположении непересечениясферических слоев (или характеристиками (9)), имеет смысл до моментавозникновения пересечения характеристик (см.

рис.3).Рис.4 Эволюция функции плотностилогарифмического распределения34дляслучаянормальногоНа рис.5 приведено сравнение распределений плотности заряда, полученныхпо формуле (25) для логнормального распределения, и найденные численнометодом описанным в главе 1. Для каждого момента времени построено дваграфика. Один - полученный по формуле (25), второй − численным методом.Как видно из рис.5, имеется хорошее совпадение численного расчета итеоретического результата.Рис.5 Сравнение теоретических и расчетных распределений1.4 Скорость распространения волныНайдемскоростьраспространениясферическойволны.Продифференцируем выражение (13) по времени:P  t  1dR  t   V  t   R0s s s.dtPs  st 35(34)Определим максимально возможную скорость распространения фронта.Особый интерес представляют начальные распределения плотности заряда,не приводящие к пересечению характеристик, например, однороднозаряженный шар.

В этом случае полученное выражение (13) будетсправедливо всюду. Функция Ps  x  является монотонно возрастающей.Минимальным значением функции Ps  x  является значение 1 в точке 0, тоесть Ps  0   1. Поэтому рассмотрим предел от выражения (34) при t   .Vmax  lim V  t   R0s limt  R0s lim 1 t t 1P  st Ps  st   1Ps  st (35) R0s .В результате формулу (34) можно переписать в виде:V  t   VmaxPs  st   1.Ps  st (36)Из формулы (35) следует, что существует ограниченная максимальнаяскорость распространения фронта волны Vmax .Выразим из (36) функцию Ps через V и Vmax , получимPs  st  1V, .21 VmaxПодставив выражение (37) в (13) получим:36(37)R t  R0.V 2 t 1 2Vmax(38)Отметим, что максимально возможную скорость можно определитьисходя из закона сохранения энергии. В начальный момент времени системанаходится в состоянии покоя, поэтому существует только потенциальнаяэнергия электрического поля заряженной системы.

Характеристики

Список файлов диссертации