Диссертация (1104059), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Такой пучокдвижется вдоль оси OZ. В этом случае излучением электрического поляможно пренебречь. В результате уравнения (6) примут видrotBs  0 J , divDs   ,(8)учтем, чтоJ   v , Ds   0 , Bs  rotA,(9)где  − скалярный потенциал собственного электрического поля пучка, а A− векторный потенциал собственного магнитного поля пучка. Скоростьчастиц в пучке можно представить в виде:v   cez   v ,где предполагается, что  v(10) c , то есть продольная скорость во много разбольше поперечной. В этом случае, учитывая (8) можно найти распределениесобственных полей:rot rotA  0  v ,  A   0  v  ,Ds   0 ,zz1divDs   0   , 0 0  2 ,cAc10 ez .(11)(12)В результате сила, действующая на пучок от собственных полей, принимаетвид: Fs  q Es  v , Bs   q      cez , rot   ez    c  q     2   ,(13)то есть    Fs  q  2 ez .z  (14)Из формулы (14) следует, что эффект собственного магнитного поля состоитв поперечной самофокусировке пучка.

Выше было отмечено, что врассматриваемых в этой работе задачах можно пренебречь влияниемсобственного магнитного поля Bs . Такое утверждение делается на основаниитого факта, что энергии пучков, которые рассматриваются в этой работе,удовлетворяют условию 2  1.Врезультате,задачасводитсятолько(15)котысканиюсобственногоэлектрического поля Es .Существуют два основных способа нахождения Es . Первый это метод«частица на частицу» (PP: Particle to Particle) [41, 44]. Второй – метод«частица в ячейке» (PIC: Particle In Cell) [10, 45-47]. Опишем каждый поотдельности, начнем с метода "частица на частицу".11Методы решенияМетод «частица на частицу» (PP, Particle to Particle)Данный подход основан на представлении электрического поля Es ввиде суперпозиции полей макрочастиц, содержащихся в пучке, то есть:Es  ri  14 0qjNj iri  rj3r  r ,ii 1 N .j(16)При вычислении по формуле (16) надо обращать внимание на величинуri  rj .

Если указанное значение будет очень маленьким, то можно получитьсингулярность в расчете электрического поля. Для решения этой проблемыиспользуют представление макрочастицы в виде облака с радиусом R [41]. Вслучае, когда облако i - макрочастицы пересекается с облаком j - оймакрочастицы поле, которое действует на i -ую макрочастицу вычисляется поформулеEs  j  i  Увеличениерадиуса1qj4 0 R3r  r ,облакаijri  rj  R .приводитк(17)ослаблениюэффектапространственного заряда, поэтому выбор оптимального размера облакапредставляет отдельную тему для исследования. Стоит отметить, чтосильный рост электрического поля вблизи макрочастицы приводит кнеобходимости использования достаточно мелкого шага интегрирования повремени уравнений движения макрочастицы (5).

Вычислительная ѐмкостьформулы (16)-(17) порядка O  N 2  , что приводит к значительным затратам12по времени. Для уменьшения количества операций используют метод NFFT[48-51], что дает число операций O  N ln N  .Формулы (16)-(17) задают электрическое поле системы зарядов безучета граничных условий. Как правило, пучок движется в некоторомограниченном пространстве, что требует дополнить формулы (16)-(17)граничнымиусловиями.Введениеграничныхусловийприводиткдополнительному усложнению вычислительного процесса, так как в этомслучае помимо вычислений по формулам (16)-(17) приходится решатьграничное интегральное уравнение (ГИУ) или краевую задачу для уравненияЛапласа.Видно, что приведенный подход обладает достаточно высокойвычислительной ѐмкостью, чтобы подумать о существовании другихметодов, основанных на более «легковесных» алгоритмах. Тем более, чтоуказанную задачу о нахождении собственного электрического поля Esтребуется решать на каждом шаге интегрирования по времени.Метод «частицы в ячейках» (PIC, Particle In Cell)PIC метод обладает рядом преимуществ по сравнению с описаннымвыше методом PP.

В данном подходе с целью понижения вычислительныхзатрат по нахождению поля Es используется решение краевой задачи дляуравнений Максвелла. Идея состоит в том, что размерность разностнойсетки, используемой при решении краевой задачи, существенно меньше, чемчисло O  N 2  , а численный метод решения краевой задачи достаточноэффективен. Благодаря этим двум фактам удается получить выигрыш вскорости.Опишемподробнееданныйподход.Пустьимеетсянекоераспределение макрочастиц в пространстве V.

Далее выделяется некаяподобласть  , содержащая, рассматриваемый пучок, и имеющая границу  ,на которой известны краевые условия типа Дирихле или Неймана для13электростатического потенциала  . В этом случае из уравнений Максвелла(6) легко получить следующую краевую задачу:  pp, p ,0,   , N , D  N   ,D DnN(18)Es  .(19)гдеТакая задача решается на каждом шаге интегрирования по времениуравнений движения частиц. Для решения задачи (18) используютсячисленные методы (метод конечных разностей, метод конечных элементов),то есть такие величины, как потенциал, плотность заряда, векторэлектрического поля определены в узлах некоторой сетки, накинутой наобласть  .

Такую сетку называют Эйлеровой. А положение макрочастиц, накоторыедействуютуказанныеполя,задаетсятакназываемымиЛагранжевыми координатами.В каждый момент времени есть некоторое распределение макрочастиц.Для такого распределения можно построить функцию плотности заряда,заданную в узлах, указанной разностной сетки. Здесь существует массатонких моментов, касающихся способа «раздачи» плотности заряда в узлысетки.

В работе [7,47] описываются различные алгоритмы представленияоблака плотности заряда макрочастицы. В зависимости от параметров облакабудут меняться параметры функции плотности и, соответственно, самогоэлектрического поля.14Метод функции распределенияОписанное представление пучка в виде набора макрочастиц неявляется единственно возможным. Существует представление пучка посредством функции распределения [52-57]f  r , p, t  ,(20)где r − вектор координаты, p − вектор импульса, t − время. Таким образом,функцияf  r , p, t  определена в некотором фазовом пространстве  .Характеристики пучка являются моментами к-го порядка от данногораспределения f  r , p, t  .

Например:m   f  r , p, t d ,(21)  r , t   ext  r , t   q  f  r , p, t  d 3 p,j  r , t   jext  r , t   q  vf  r , p, t  d 3 p,(22)(23)где  − функция плотности заряда в пучке, а j − вектор-функция плотноститока заряда. Интегрирование производится по пространству импульсов.Индекс «ext» соответствует внешним источникам. Сама функция f  r , p, t удовлетворяет уравнению Власова:fff v  q E  v , B  0,trpгде15(24)vpmp m p 1  mc 2(25).Вектор - функции E и B задают распределения электрического имагнитного поля, действующие на распределение частиц.Таким образом, вместо того, чтобы описывать поведение каждойчастицы в отдельности, используется функцияf  r , p, t  , содержащаяинформацию о распределении частиц в целом.

Отметим, что функции E и Bв общем случае меняются в процессе движения пучка, поэтому необходимона каждом шаге по времени находить новые распределения электрического имагнитного поля. С этой целью уравнение (24) необходимо дополнитьсистемой уравнений Максвелла (6). В результате, процедура решения задачиследующая: в начальный момент времени t0 задается функция распределенияf  r , p, t0  , а также начальные распределения электромагнитных полей. из соотношений (22) и (23) находится плотность заряда  и плотностьтока j зная  и j , решается система (6) из которой находятся распределенияэлектромагнитных полей в следующий момент времени. зная поля E и B , из уравнения (24) находится функция распределенияf  r , p, t1  в следующий момент времени t1Такая процедура интегрирования по времени повторяется необходимое числораз.

В результате в каждый момент времени можно получать необходимуюинформацию о параметрах пучка. Однако на практике такой метод требуетдостаточно большого объема вычислительного времени.16Помимо перечисленных здесь подходов существует метод моментов[58-60], который хорошо работает при быстром оценочном дизайнеустановки.Современное математическое моделирование сложных физическихпроцессов требует, как правило, численного решения нелинейных уравненийв частных производных.При использовании численных методов для решения таких задач навычислительной технике встает вопрос о корректности работы программногокода.

Дело в том, что программист фактически работает с «черным ящиком».Так как решаемая задача является нелинейной, то зачастую нелегкопредсказать характер поведения еѐ решения и оценить, правильный лирезультат выдает программа. Иными словами, встает вопрос: «Полученныйчисленный результат − описывает ли он физическую реальность или этотрезультат − следствие ошибки в коде программы, или некорректностичисленных методов, заложенных в ней?»Поэтому, с целью снижения вероятностных ошибок в таких сложныхпрограммах, написанный программный код необходимо протестировать повозможности как можно на большем числе известных модельных решенийподобной задачи.Однако, для нелинейных дифференциальных уравнений в частныхпроизводных, точных аналитических решений имеется не так много.Поэтомупредставляетсявесьмаактуальнымрасширениекругаизвестных точных модельных решений нелинейных задач для использованияихприотладкепрограммногокода,решающегоболеесложнуювычислительную задачу.Данная работа касается вопросов построения точных модельныхрешений нелинейных задач математической физики, возникающих в областиускорительной физики, а также в некоторых областях астрофизики.17Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, двух глав, заключения и спискалитературы.

Характеристики

Список файлов диссертации