Диссертация (1104059), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Функция Pc  x  является монотонно возрастающей.Минимальным значением функции Pc  x  является значение 1 в точке 0, тоесть Pc  0   1. Поэтому рассмотрим предел от выражения (30) при t   .Vmax  lim V  t   2 R0c lim ln Pc  ct   .t Из(31)следуетt неограниченностьмаксимальнойскорости(31)дляцилиндрической волны.

На рис.5 показаны зависимость скорости от временидля различных цилиндрических слоев.Выражение(31)принципиальноотличаетсяотаналогичноговыражения для сферической области ((34), §1). Сферическая область имеет50скоростьспадасуществованияускорения~1,R2ограниченностичтоскоростиявлялосьдостаточнымраспространенияволны.цилиндрической области ускорение спадает с меньшей скоростью ~является,повсейвидимости,недостаточнымдлядляВ1, чтоRсуществованияограниченности скорости распространения волны в двумерном случае.Порядок ~11~илив свою очередь определяется размерностьюRR2пространства, в котором решается задача.

Для цилиндрической областизадача фактически решается для двумерного пространства.Рис. 5 Скорости цилиндрических слоев для однородно заряженногоцилиндра.51§3 Задача гравитации для сферической области3.1 Постановка задачи и ее общее решениеРассмотрим систему, состоящую из частиц с массой m . Пусть известнаначальная плотность распределения массы 0  r  такой системы. Начальнаяскорость частиц в системе считается равной нулю.Будем решать задачу об эволюции функции плотности массы s  r , t указанной системы. Индекс «s» соответствует сферически симметричномуслучаю.В силу симметрии рассматриваемой системы на частицы, обладающиемассой, оказывает влияние только гравитационная сила притяжениянаправленная по радиусу.

При решении задачи будем предполагать, чтомассовые сферические слои с течением времени между собой непересекаются. Запишем аналог теоремы Гаусса для гравитационного поля.В качестве напряженности гравитационного поля будет выступатьускорение g .divG    ,G  0 g , 0 (1)1,4 k gгде k g − гравитационная постоянная Ньютона (обычно еѐ обозначают G).Интегрируя (1) по объему V с поверхностью S и применяя теоремуОстроградского-Гаусса, получим теорему Гаусса для гравитационного поля: Gds    d  M ,SV52(2)где M − масса, содержащаяся в объеме V , ограниченном поверхностью S .

Вслучае сферически симметричного распределения плотности массы s  r , t векторGбудет перпендикулярным к сферической поверхностиS,ограничивающей некоторую массу M . В результате формула (2) примет вид:r1Gs  r , t   2   s  x, t  x 2dx .r 0(3)Запишем второй закон Ньютона для массы m , находящейся на поверхностишара радиуса R :Rtt  Gs  R, t 0R1 x, t  x 2dx.2  s0 R 0(4)Знак «-» указывает на движение к началу координат. Так как сферическиеслои не пересекаются, то масса, содержащаяся в шаре радиуса R0  R  t  0  ,остается неизменной на протяжении всего движения. Величина такой массыможет быть найдена по формуле:R0M  R0   4   s  x,0  x dx  420R t    x, t  x dx.2s(5)0Учитывая (5), выражение (4) перепишется в виде:Rtt  M  R0  1.40 R 2В результате получаем задачу Коши для функции R  t  :53(6)1 R,sR2 R t 0  R0 , R t 0  0,где  s (7)M  R0 постоянная величина.40РешениеНайдем решение задачи (7).

Для этого умножим обе частидифференциального уравнения из (7) на R и проинтегрируем по t , получим: R2 C1   s2,R(8)где C1 − постоянная величина. Учитывая начальное условие R  0   0 ,получим C1   s2. В результате выражение (8) примет вид:R012 sdR dt ,1 1R R0(9)интегрируя (9), получаемt  C2 R03 22 sx 1  x   arccos x ,54(10)где x R. Учет начального условия R  0   R0 приводит к выражению,R0задающему неявно зависимость радиуса сферического слоя от времени: RRR .t1    arccosR0 2 s  R0   R0  R0 3R0 2(11)С другой, стороны выражение (11) может быть рассмотрено какуравнение характеристик, соответствующих разным начальным условиям R0 , s  R0  . При этом полученное решение имеет смысл, если характеристики непересекаются, что соответствует непересекающимся сферическим слоям.Каждый сферический слой характеризуется стартовым положением R0 ивеличиной массы M  R0    s  R0  40 , содержащейся внутри сферы радиусаR0 и характеристикой (11), описывающей его движение со временем.Введем обозначение:Fs  x   x 1  x   arccos x .Функцию, обратную к функцииFs  x  , обозначим(12)Ps  Fs   x , тогдавыражение (11) перепишется в виде:tPs  s  R0  t  2 s  R0 R03 2 R t   Fs ,R02 s  R0 R t , s  R0  ,R  0R03 2(13)(14)илиR  t   R  0  Ps  s  R0  t .55(15)Для нахождения эволюции функции плотности оценим величинуM.

M −Rэто масса между двумя сферическими слоями с радиусами r и r  rсоответственно. С течением времени слой с начальным радиусом r перейдетв слой с радиусом R1  t   rPs  s  r  t  , а слой с радиусом r  r перейдет вслой с радиусом R2  t    r  r  Ps  s  r  r  t  в соответствии с формулой(15). В силу того, что слои не пересекаются, величина M должнаоставаться постоянной со временем, следовательно:M  4r rx 0  x  dx 42rR2  t R1  t x 2   x, t  dx  40  r  r 2r    r 2 .(16)Для величины R справедливо соотношение:R  t   R2  t   R1  t    r  r  Ps  s  r  r  t   rPs  s  r  t   rdxPs  s  x  t dxx r(17)   r 2  .Подставляя выражения (16) и (17) в соотношение40  r  r 2M dMlimR 0 RddRxPs    x  t dxM, получим:R40  r  r 2.Ps    r  t   rPs   r  t     r  tx rУчитывая выражение M  R  t    4R t    x, t  x dx , можно получить:2s056(18)dM 4 s  R, t  R 2  t  .dR(19)Подставляя формулу (19) в выражение (18) и учитывая (15), получаемвыражение для плотности заряда: s  R, t  14 R  t 240  r  r 2Ps  s  r  t   rPs  s  r  t  s  r  t0  r 1Ps 2  s  r  t   P    r  t   rP     r  t     r  t sss s s(20),где величина R  t   rPs  s  r  t  в соответствии с (11).Найдем производные Ps  Fs  и s  r  .Ps  Fs   x  Ps  Fs  Fs x   1  Ps  Fs  1,Fs  x (21)учитывая (12), находим Fs  x Fs  x  1  2x2 x 1  x 11x.1 x 2 xx 1  x (22)В результате производная Ps Fs  представима в виде:Ps  Fs  1  Ps  Fs 11 x.xPFFs  x ss57(23)Учитывая выражение (14) для s  r  , находим производную s  r  :s  r   s  r 1322 s  r  r3 2 s  r .2 r5 2(24)0  r  ,(25)Так как производная  s  r  имеет вид: s  r  r20то для s  r  окончательно получаем выражение:r 2 0  r  13 2 s  r  1  0  r  3s  r  r.s322 r5 2r 0s  r  20 2 s  r  r(26)Подставляя выражения (26) и (23) в (20), получим окончательную формулудля плотности массы: s  R, t  0  r 1Ps  s  r  t  1  Ps  s  r  t   0  r  3 Ps  s  r  t   t s  r   Prtrs s   0 s  2 2, (27)где в соответствии с (11) s  R, t   s rPs  s  r  t  , t .Формула (27) задает эволюцию функции плотности массы с начальнымраспределением 0  r  при условии, что сферические слои не пересекаются.Рассмотрим частные случаи начальных распределений плотностимассы 0  r  и получим для них эволюцию функции плотности s  r , t  .583.2 Случай постоянной начальной плотности распределениямассыПусть плотность 0  const .

Найдем s  r  при s  r ,0   0  const ,(здесь учтено, что R t 0  rPs  s  r  t t 0 r ) получимM  r  0 r 20 r 3 s r  x dx ,40 0 00 3s  r  2 s  r r32(28)2 0.3 0(29)Из выражения (29) видно, что   r  не зависит от r , то есть являетсяпостоянной величиной.

Подставив (29) в (27) получим:s  r, t  0  r  2 0 Ps 3 t30.(30)Полученное выражение (30) задает эволюцию функции плотностимассы шара с начальным распределением 0  const . Как видно из (30)плотность массы внутри шара остается однородной (постоянной), то есть независит от координаты, а зависит только от времени. На рис.1 показанаэволюция плотности массы (30).59Рис.1 Эволюция функции плотности для случая однородного шара.Графикихарактеристик(11)дляслучаяоднородногошарапредставлены на рис.2. На рис.2 видно, что существует некоторый моментвремени T0 30, когда все слои соберутся в центре шара.

До момента T02 2 0слои между собой не пересекаются и решение (30) имеет смысл.Уравнение (30) можно переписать без функции P в виде:111     13  0  6 2 0   0  3   0  3 t     1   arccos     F   0   .  s  3 0 s     s     s  (31)Выражение (31) дает в явном виде зависимость между временем иплотностью массы шара.60Рис.2 Характеристики для случая однородного шара3.3Случайлогнормальногоначальногораспределенияплотности массыРассмотрим распределение плотности заряда по закону:M10  r   total2 n  2r  , n  r  e2 r2 rгде  ,  ,M totalпостоянные величины. Найдем ln r   222,(32)M  R0 для этогопроинтегрируем выражение (32) по объему шара радиуса R0 , получим:R0M  R0   4  x 20M total2 x 212 2 xe ln 2 x   2 22dx 61 ln  2 R0     M total 1erf , (33)2 2где erf  x  2xl e dl .

Используя (14) получим выражение для s  r  :20s  r  2 s  r r3 2 ln  2r     M total 1erf .40 r 3   2 (34)Подставляя выражения (34) и (32) в формулу (27) получим окончательноевыражение, описывающее эволюцию функции плотности заряда, для случаяначального распределения плотности в виде нормального логарифмическогораспределения.Уравнение характеристик (11) примет вид: RRR .1arccosRRR0 0 ln  2 R0       0 M total 1erf 40  23tR0 2На рис.3 представлены графики характеристик (35).Рис.3Характеристикидлялогарифмического распределения62случаянормального(35)Из сравнения рис.2 и рис. 3 виден разный характер поведения характеристик.На рис.3 характеристики пересекаются не в центре шара, а на некоторомрадиусе.

На рис.4 представлены графики плотности массы в различныемоменты времени. Пересечение характеристик приводит к бесконечномуувеличению плотности массы на некотором сферическом слое.Рис.4 Эволюция функции плотностилогарифмического распределениядляслучаянормальногоПоэтому решение (27), полученное в предположении непересечениясферических слоев, имеет смысл до момента возникновения пересеченияхарактеристик (см. рис.3).63§4 Задача гравитации для цилиндрической области4.1 Постановка задачи и ее общее решениеРассмотрим бесконечно длинный заполненный массой цилиндр. Будемпредполагать, что функция плотности распределения массы имеет видc  r , t  , то есть имеется азимутальная симметрия и вдоль оси цилиндра нафиксированном радиусе плотность постоянна.

Индекс «с» соответствуетцилиндрическому случаю.Гравитационное поле такой системы будет обладать азимутальнойсимметриейинаповерхностяхконцентрическихцилиндровбудетнаправлено по нормали и иметь постоянное значение модуля. В результатепо теореме Гаусса можно получить:r1Gc  r , t    c  x, t  xdx.r0(1)Запишем второй закон Ньютона для массы, находящегося на поверхностицилиндра радиуса R :Rtt  Gc  R, t 0R1  x, t  xdx.0 R 0 c(2)Если предположить, что цилиндрические слои не пересекаются, то масса,содержащаяся в цилиндре радиуса R0  R  t  0  , например, единичнойдлины, остается неизменной на протяжении всего движения. Величина такоймассы может быть найдена по формуле:64R0M  R0   2    x,0  xdx  20R t    x, t  xdx.(3)0Учитывая (3) выражение (2) перепишется в виде:Rtt  M  R0  1.20 R(4)В результате получаем задачу Коши для функции R  t  :1 R,cR R t 0  R0 , R t 0  0,где  c (5)M  R0 − постоянная величина.20РешениеНайдем решение задачи (5).

Характеристики

Список файлов диссертации