Диссертация (1104059), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Такая потенциальнаяэнергия может быть найдена как работа электрического поля по переносузаряда q с минимально расстояния rmin на бесконечность:qQ 1qQ 1qQ 1U  A   Fdr   2dr  ,r44r4rrmin000 minrminrmin(39)где Q − заряд, содержащийся в сфере радиуса R0 . Здесь мы специально взялиrmin  R 0 , по причине, которая будет описана ниже.Приt  кинетическую T вся потенциальная энергия должна переходить в2mqVmax2.

Приравнивая кинетическую и потенциальнуюэнергии, получим формулу для максимальной скорости Vmax , выраженнуючерез начальное минимальное расстояние rmin2mVqQ 1 q max ,4 0 rmin2Vmax qQ.2 0 mq rmin37(40)Рассмотрим вопрос о минимально возможном расстоянии rmin . Вклассической электродинамике есть понятие «классического радиусаэлектрона» (КРЭ). Как известно, эта величина имеет вид:e2r0 ,4 0 mec 2(41)где c − скорость света в вакууме. Формула (41) получается из приравниванияпотенциальной энергии электрического поля электрона к энергии покояэлектрона mec 2 .Если размер сферы R0 , в которой содержится заряд Q , значительнопревышает КРЭ, то есть R0  r0 , то в формуле (40) можно взять rmin  R0 .Рассмотрим случай, когда R0  r0 и Q  q  e , тогда логично в качествеминимального расстояния rmin взять 2r0 , так как минимальное расстояниемежду центрами двух одинаковых сфер является два их радиуса.

Подставляяrmin  2r0 в формулу (40) для максимальной скорости Vmax , получим:Vmax  c.(42)Если формально подставить (42) в (38), то получимRR0V21 2c(43)Конечно, выражение (43) получено в предположениях классики безучета релятивизма.Однако факт существования максимальной скорости распространенияфронта волны является корректным. С физической точки зрения картина38выглядит следующим образом.

В начальный момент времени плотностьзаряда в шаре является максимальной. Если плотность заряда велика, значити электрическое поле, создаваемое ими, также велико. Если электрическоеполе велико, следовательно, и сила Кулона, действующая на зарядымаксимальна. Сила напрямую связана с ускорением через второй законНьютона. Поэтому в начальный момент времени заряженные частицы имеютмаксимальное ускорение.

Ускорение приводит к росту скорости.Помере расширенияшара плотностьзарядав немпадает,следовательно, уменьшается сила Кулона и ускорение стремиться к нулю. Врезультате скорость выходит на постоянное значение Vmax , так ускорения ужепочти нет.На рис. 6 приведены графики скоростей, соответствующих различнымсферическим слоям. Каждый сферический слой имеет свою максимальнуюскорость Vmax , зависящую от количества потенциальной энергии, запасеннойв начальный момент времени в таком шаре.Рис.

6 Зависимость скоростей сферических слоев от времени дляоднородно заряженного шара39§2 Задача электродинамики для цилиндрической области2.1 Постановка задачи и ее общее решениеРассмотримбесконечнодлинныйзаряженныйцилиндр.Будемпредполагать, что функция плотности распределения заряда имеет видc  r , t  , то есть имеется азимутальная симметрия и вдоль оси цилиндра нафиксированном радиусе плотность постоянна. Индекс «с» соответствуетцилиндрическому случаю.Электрическое поле такой системы будет обладать азимутальнойсимметриейинаповерхностяхконцентрическихцилиндровбудетнаправленно по нормали и иметь постоянное значение модуля.

В результатепо теореме Гаусса можно получить:r1Dc  r , t   er  c  x, t  xdx.r0(1)Запишем второй закон Ньютона для заряда, находящегося на поверхностицилиндра радиуса R :Rqq 1Rtt D  R, t  c  x, t  xdx.m 0m 0 R 0(2)Если предположить, что цилиндрические слои не пересекаются, то заряд,содержащийся в цилиндре радиуса R0  R  t  0  , например, единичнойдлины, остается неизменным на протяжении всего движения.

Величинатакого заряда может быть найдена по формуле:40R0R t 00Q  R0   2    x,0  xdx  2   x, t  xdx.(3)Учитывая (3), выражение (2) перепишется в виде:Rtt q Q  R0 .m 0 2 R(4)В результате получаем задачу Коши для функции R  t  :1 R   c R , R t 0  R0 , R t 0  0,где  c q2 0 m(5)Q  R0  − постоянная величина.РешениеНайдем решение задачи (5).

Для этого умножим обе частидифференциального уравнения из (5) на R и проинтегрируем по t , получим: R2 2 c ln R  C1,(6)где C1 − постоянная величина. Учитывая начальное условие R  0   0 ,получим C1  2 c ln R0 . В результате выражение (6) примет вид:4112 cdR dt ,RlnR0(7)интегрируя (7) и учитывая начальное условие R  0   R0 , получаем2 ct2 R0ln  R R0 2el dl.(8)0Уравнение (8) задает характеристики, оно является аналогом уравнения ((9),§1) для сферически симметричного случая.

Для записи уравненияхарактеристик (8) в виде ((13), §1) введем обозначенияc  R  2 c  R 2R, Fc  x  ln  x 2el dl.(9)0Используя обозначения (9), выражение (8) примет вид:R.R 0c  R0  t  Fc (10)По аналогии с сферически симметричным случаем введем функцию Pc ,являющуюся обратной к Fc , то есть Pc  Fc   x . Окончательно выражение (10)для характеристик примет вид:R  t   R0 Pc  c  R0  t .42(11)Вывод формулы для функции плотности заряда сделаем аналогичносферически симметричному случаю.Q  2r rR2  t x0  x  dx 2R1  t rx  x, t  dx  20  r  r r    r 2 .(12)Для величины R справедливо соотношение:R  t   R2  t   R1  t    r  r  Pc  c  r  r  t   rPc  c  r  t   rdxPc  c  x  t dxx r(13)   r 2  .Подставляя выражения (12) и (13) в соотношение20  r  rQ dQR 0 RdR dxPc  c  x  t dxlimQ, получим:R20  r  rPc  c  r  t   rPc c  r  t  c  r  t.(14)x rУчитывая выражение Q  R  t    2R t    x, t  xdx , можно получить:0dQ 2  R, t  R  t  .dR(15)Подставляя формулу (15) в выражение (14) и учитывая (11) получаемвыражение для плотности заряда:43 c  R, t  20  r  r12 R  t  Pc  c  r  t   rPc  c  r  t  c  r  t0  r 1Pc  c  r  t   P    r  t   rP     r  t     r  t ccc c c(16).где величина R  t   rPc  c  r  t  в соответствии с (11).Найдем производные Pc  F  и c  r  .

Исходя из ((19), §1) длянахождения Pc  Fc  необходимо знать Fc x  .Fc  x   eln x2ln x 11.2 ln x 2 ln Pc(17)В результате производная Pc  Fc  представима в виде:Pc  Fc  1 2 ln Pc  Fc .Fc  x (18)Учитывая выражение (9) для c  r  , находим производную c  r  :c  r   2 c c.2r 22r 2 c(19)Так как производная  c  r  имеет вид c  r   r00  r  ,  44q,m(20)то для c  r  окончательно получаем выражение:c  r  2 c  r  1  0  r 1r.c22rr  4 0c  r 2 c  r  2r r 0  r 0(21)Подставляя выражения (21) и (18) в (16), получим окончательную формулуфункции плотности заряда для цилиндрического случая: c  R, t  0  r 1Pc  c  r  t   0  r  c  r    Pc  c  r  t   2t ln Pc  c  r  t   4 0c  r  ,(22)где в соответствии с (11) c  R, t   c rPc  c  r  t  , t .Формула (22) задает эволюцию функции плотности заряда с начальнымраспределением0  r приусловии,чтоцилиндрическиеслоинепересекаются.Рассмотрим частные случаи начальных распределений плотностизаряда 0  r  и получим для них эволюцию функции плотности c  r , t  .2.2 Случай постоянной начальной плотности распределениязарядаПусть плотность 0  const .

Найдем c  r  при c  r ,0   0  const ,(здесь учтено, что R t 0  rPc    r  t t 0 r ) получим45Q  r  q 0 q r0  r 2 c r  xdx ,2 0 m  0 m 00 2c  r  2 c  r 2r0.4 0(23)(24)Из выражения (24) видно, что c  r  не зависит от r , то есть являетсяпостоянной величиной. Подставив (24) в (22), получим: c  R, t  0.0Pc 2 t40 (25)Полученное выражение (25) задает эволюцию функции плотностиоднородно заряженного в начальный момент бесконечного цилиндра.

Каквидно из (25), плотность заряда внутри цилиндра остается однородной(постоянной), то есть не зависит от координаты, а зависит только от времени.На рис.1 показана эволюция плотности заряда (25).Рис.1 Эволюция функции плотности для случая однороднозаряженного бесконечного цилиндра.46Графики характеристик (11) для случая однородно заряженногобесконечногопересекаются,цилиндрачтопредставленысоответствуетнарис.2.сделанномуХарактеристикинепредположениюонепересечении цилиндрических слоев заряженного бесконечного цилиндра.Рис.2 Характеристики для случая однородно заряженногобесконечного цилиндра2.3Случайлогнормальногоначальногораспределенияплотности зарядаРассмотрим распределение плотности заряда по закону:0  r  Qtotal1 n  2r  ,  n  r  e22 r247 ln r   2 22,(26)где  ,  , Qtotal − постоянные величины.

Заметим, что распределение (26)отличается от распределения ((30), §1) множителем1. Найдем Q  R0  . Дляrэтого проинтегрируем выражение (26), получим:R0Q  R0   2  x0где erf  x  Qtotal2 x 221e2 ln 2 x   2 22dx  ln  2 R0     Qtotal 1erf ,2 2(27)xl e dl . Используя (27) получим выражение для c  r  :20c  r  2 c  r 2r ln  2r      Qtotal 1  erf  .2 8 0 r 2(28)Подставляя выражения (28) и (27) в формулу (22), получим окончательноевыражение,описывающееэволюциюфункцииплотностизарядабесконечного цилиндра с начальным распределением плотности заряда ввиде нормального логарифмического распределения (26).Уравнение характеристик (10) примет вид: ln  2r      Qtotal 1erf t 8 0 r 2 2ln  R R0 2el dl.(29)0На рис.3 представлены графики характеристик (29).

Из сравнения рис.2и рис. 3 видно принципиальное отличие в поведении характеристик, аименно, на рис.3 характеристики пересекаются. На рис.4 представленыграфики плотности заряда в различные моменты времени для случаяцилиндрическойобласти.Пересечение48характеристикприводиткбесконечному увеличению плотности заряда и к возможному появлениюударной волны.Рис.3 Характеристики для случая нормального логарифмическогораспределения. Цилиндрическая область.Рис.4 Эволюция функции плотности для случая нормальногологарифмического распределения.

Цилиндрическая область.49Поэтому решение (22), полученное в предположении непересеченияцилиндрических слоев (или характеристиками (10)) имеет смысл до моментавозникновения пересечения характеристик (см. рис.3).2.4 Скорость распространения волныНайдемскоростьраспространенияцилиндрическойволны.Продифференцируем выражение (11) по времени:dR  t   V  t   R0c 2 ln Pc  ct .dt(30)Определим максимально возможную скорость распространения фронта.Особый интерес представляют начальные распределения плотности заряда,не приводящие к пересечению характеристик, например, однороднозаряженный цилиндр. В этом случае полученное выражение (11) будетсправедливо всюду.

Характеристики

Список файлов диссертации