Диссертация (1104059), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Для этого умножим обе частидифференциального уравнения из (5) на R и проинтегрируем по t , получим: R2 2 c ln R  C1,(6)где C1 − постоянная величина. Учитывая начальное условие R  0   0 ,получим C1  2 c ln R0 . В результате выражение (6) примет вид:6512 cdR dt ,R0lnR(7)интегрируя (7) и учитывая начальное условие R  0   R0 , получаем2 ct2 R0ln  R0 R R erf  ln 0  .2R el dl 20(8)Уравнение (8) задает характеристики, оно является аналогом уравнения ((9),§1 глава 2) для сферически симметричного случая. Для записи уравненияхарактеристик (8) в виде ((13), §1) введем обозначенияc  R  2 c  R 2R, Fc  x  1erf  ln  .2x(9)Используя обозначения (9), выражение (8) примет вид: R.R 0c  R0  t  Fc (10)По аналогии с сферически симметричным случаем введем функцию Pc ,являющуюся обратной к Fc , то есть Pc  Fc   x .

Окончательно выражение (10)для характеристик примет вид:R  t   R0 Pc  c  R0  t .(11)Вывод формулы для функции плотности заряда сделаем аналогичносферически симметричному случаю для заряженного шара.66M  2r rR2  t x0  x  dx 2R1  t rx  x, t  dx  20  r  r r    r 2 .(12)Для величины R справедливо соотношение:R  t   R2  t   R1  t    r  r  Pc  c  r  r  t   rPc  c  r  t   rdxPc  c  x  t dxx r(13)   r 2  .Подставляя выражения (13) и (12) в соотношение20  r  rM dMR 0 RddRxP  c  x  t dxlimM, получим:R20  r  rP  c  r  t   rP  c  r  t  c  r  t.(14)x rУчитывая выражение M  R  t    2R t    x, t  xdx , можно получить:0dM 2  R, t  R  t .dR(15)Подставляя формулу (15) в выражение (14) и учитывая (11), получаемвыражение для плотности заряда:67 c  R, t  20  r  r12 R  t  Pc  c  r  t   rPc  c  r  t  c  r  t0  r 1Pc  c  r  t   P    r  t   rP     r  t     r  t ccc c c(16),где в соответствии с (11) c  R, t   c rPc  c  r  t  , t .Найдем производные Pc  F  и c  r  .

Для нахождения Pc  Fc необходимо знать Fc x  .Fc  x   e1 ln x11 ln   xx12 lnx2 1  ln    x112 lnPc.(17)В результате производная Pc  Fc  представима в виде:Pc  Fc  11 2 ln.PFFc  x cc(18)Учитывая выражение (9) для c  r  , находим производную c  r  :c  r   2 c c.2r 22r 2 c(19)Так как производная  c  r  имеет вид: c  r  r0680  r  ,(20)то для c  r  окончательно получаем выражение:c  r  2 c  r  1  0  r 1r.c22rr  40c  r 2 c  r  2rr 0  r 0(21)Подставляя выражения (21) и (18) в (16) получим окончательную формулуфункции плотности массы для цилиндрического случая: c  R, t  0  r 1Pc  c  r  t   0  r 1r Pc  c  r  t   2t lncPrt4rcc 0 c ,(22)где в соответствии с (11) c  R, t   c rPc  c  r  t  , t .Формула (22) задает эволюцию функции плотности массы с начальнымраспределением0  r приусловии,чтоцилиндрическиеслоинепересекаются.Рассмотрим частные случаи начальных распределений плотностимассы 0  r  и получим для них эволюцию функции плотности c  r , t  .4.2 Случай постоянной начальной плотности распределениямассыПусть плотность 0  const .Найдем c  r  при c  r ,0   0  const ,(здесь учтено, что R t 0  rPc  c  r  t t 0 r ) получим69M  r  0 r0 r 2 c r  xdx ,20 0 00 2c  r  2 c  r 2r(23)0.40(24)Из выражения (24) видно, что c  r  не зависит от r , то есть являетсяпостоянной величиной.

Подставив (24) в (22), получим:c  r , t  0  r  0 Pc 2 t40.(25)Полученное выражение (25) задает эволюцию функции плотностимассы бесконечного цилиндра с начальным распределением 0  const . Каквидно из (25), плотность массы внутри цилиндра остается однородной(постоянной), то есть не зависит от координаты, а зависит только от времени.На рис.1 показана эволюция плотности массы (25).Уравнение (11) можно переписать без функции P в виде:0R terf  ln 0  .402R (26)Графики характеристик (26) для случая однородно бесконечногоцилиндра представлены на рис.2.

На рис.2 видно, что существует некоторыймомент времени T0 24000, когда все слои соберутся на оси0цилиндра. До момента T0 слои между собой не пересекаются и решение (25)имеет смысл.70Рис.1Эволюцияфункцииплотностидляслучаяоднороднобесконечного цилиндра.Рис.2 Характеристики для случая однородно бесконечного цилиндра4.3 Логнормальное начальное распределение плотности массыРассмотрим распределение плотности массы по закону:0  r  M total1 n  2r  ,  n  r  e22 r271 ln r   2 22,(27)где  ,  , M total − постоянные величины. Заметим, что распределение (27)отличается от распределения ((32) §3) множителем1. Найдем M  R0  . Дляrэтого проинтегрируем выражение (27), получим:R0M  R0   2  x0где erf  x  M total2 x 221e2 ln 2 x   2 22dx  ln  2 R0     M total 1  erf  ,2 2(28)xl e dl .

Используя (28) получим выражение для c  r  :20c  r  2 c  r 2r ln  2r     M total 1erf .80 r 2 2(29)Подставляя выражения (29) и (27) в формулу (22), получим окончательноевыражение,описывающееэволюциюфункциюплотностимассыбесконечного цилиндра с начальным распределением плотности массы ввиде нормального логарифмического распределения (27).Уравнение характеристик (11) примет вид: ln  2r     M total R 1  erf erf  ln 0  . t 2 80 r 2R   2 (30)На рис.3 представлены графики характеристик (30).

Из сравнения рис.2и рис. 3 виден разный характер поведения характеристик. На рис.3характеристики пересекаются не на оси цилиндра, а на некотором радиусе.На рис.4 представлены графики плотности массы в различные моменты72времени. Пересечение характеристик приводит к бесконечному увеличениюплотности массы на некотором цилиндрическом слоеРис.3 Характеристики для случая нормального логарифмическогораспределения. Цилиндрическая областьРис.4 Эволюция функции плотности для случая нормальногологарифмического распределения.

Цилиндрическая область.Решение(22),полученноевпредположениионепересечениицилиндрических слоев имеет смысл до момента возникновения пересеченияхарактеристик (см. рис.3).73§5 Общий случай электрического и гравитационного поляРассмотрим эволюцию функции плотности заряда/массы в областишараилицилиндравзаимодействия.сучетомЗапишемэлектрическоговторойзаконигравитационногоНьютонадлясферического/цилиндрического слоя:Rtt   seg1,R2(1)Rtt   ceg1,R(2)где seg   se   sg ,(3) ceg   ce   cg ,(4) seg  Qs  R0  M s  R0  M s  R0  2   02  ,4 0404 0(5) ceg  Qc  R0  M c  R0  M c  R0  2   02  ,2 0202 0(6)0 0.0(7)Нижний индекс «s» соответствует сферической области, а «c» −цилиндрической области. Верхний индекс «e» − указывает на электрическоеполе, а «g» − на гравитационное.

В результате уравнение (1) соответствуетсферической области, а уравнение (2) – цилиндрической области. При записивыражений (5) и (6) было учтено, что  константы0−этоq Q  R0 . Физический смыслm M  R0 «точка равновесия» между электрическим игравитационным взаимодействием.74Если рассматривается вещество с соотношением заряда к массе    0 ,тогда величина  eg  0 и соответственно задача Коши для уравнения (1) или(2) будет соответствовать задаче с электрическим взаимодействием,рассмотренной выше и имеющей решение в виде ((25) §1) – сферическаяобласть и ((22) §2) – цилиндрическая область. В такой ситуации действиеотталкивающейсилыКулонапревышаетсилуНьютоновскогогравитационного притяжения.В случае, когда    0 , величина  eg  0 , получаем задачу Коши дляуравнений (1) или (2), соответствующую задаче с гравитационнымвзаимодействием, также рассмотренной выше и имеющей решение (27) – длясферической области и (22) – для цилиндрической области.Если величина    0 , получаем состояние равновесия системы.

В этомслучае уравнения (1) и (2) дадут задачу Коши: Rtt  0, Rt t 0  0, R t 0  R0 .(8)Решение задачи Коши (8) имеет решение:R  t   R0 .(9)Из (9) как раз и следует равновесие системы, то есть система будетнеподвижна.75ГЛАВА 2 ЭФФЕКТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДАДля учета эффекта пространственного заряда пучка используютсяразличные модели. Среди них метод крупных частиц, метод моментов,решение уравнения Власова. Каждый из этих методов имеет своипреимущества и недостатки.

Характеристики

Список файлов диссертации