Диссертация (1104059), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Вторые производные:2p,0divpvp,vp000  div  0  p  D0  p   t 20 div  div  0  p  v0  p   v0  p     div 0  p  v0  p  , Be  p   ,(13) 2vp,0    v0  p  ,   v0  p  ,  v0  p  D  p  ,  v0  p  2 t0 0  v0  p  , Be  p   ,  v0  p    v0  p  ,    v0  p  ,   v0  p  v0  p  ,   D0  p     v0  p  ,   v0  p  , Be  p    Dt  p,0  002 D0  p  , B  p     2  v0  p  , B  p   , B  p   .   v ,   v , B  0 117Величина Dt − определяется из решения краевой задачи:Dt  p, t    0ut  p, t t  p, t up,t t0u  w  p, t  t(14)здесь величина t известна из соотношения (12), а величина w  p, t  − задаетизменение потенциала u  p, t  на границе.

В случае, если потенциал награнице не меняется, то есть граница находится под постояннымпотенциалом, тогда w  p, t   0 . Если потенциал меняется, например, границанаходится под ВЧ потенциалом, тогда w p, t   U m cos RF t    , где U m −амплитуда потенциала, RF − ВЧ частота,  − начальный сдвиг фазы.В результате коэффициенты разложения (5) выражаются черезпроизводные по координатам от начальных условий.118§4Численноерешениезадачиспроизвольнымраспределением плотностиВ данном параграфе описано построение алгоритма длячисленного решения ρV-задачи, рассмотрен вопрос устойчивости разностнойсхемы, а также приведены примеры численного решения модельной задачи.4.1 Разностная схемаПо аналогии с DV постановкой, для ρV постановки также можнопостроить разностную схему второго порядка аппроксимации по времени.

Ноучитывая, что по координатам придется использовать первый порядокаппроксимации из-за учета направления потока, можно ожидать, как и впредыдущем случае, ухудшения точности. Однако, в данной постановке длянахождения скалярного потенциала u  p, t  и вектора электрического поляD  p, t  можно использовать второй порядок аппроксимации по координатампри решении краевой задачи для уравнения Пуассона из ((4) §3 глава 2).Итак, для аппроксимации решения будем использовать второй порядокпо времени, то есть:  p, tn1     p, tn     t  p, tn  v  p, tn1   v  p, tn     vt  p, tn  2222tt  p, tn  ,(1)vtt  p, tn .Зная распределение плотности заряда   p, tn  в момент времени tn , можнонайти распределение скалярного потенциалаu  p, t n путем решенияуравнения Пуассона из постановки ((4) §3 глава 2).

Вычисляя градиент от119потенциала u  p, tn  , получим распределение собственного электрическогополяпучкаDs  p, tn  .Врезультатеполучаетсяследующаяпоследовательность действий:  p, tn   u  p, tn   Ds  p, tn .(2)Поле Ds  p, tn  необходимо для определения величины vt  p, tn  , котораявходит в разложение (1). Таким образом, на первом шаге можно вычислитькоэффициенты при первой степени  в соответствии с формуламиt  p, tn   div    p, tn  v  p, tn   ,vt  p, tn     v  p, tn  ,   v  p, tn   sD  p, t n   D e  p, t n   0(3)  v  p, tn  , B e  p   .Зная t  p, tn  путем решения краевой задачи ((14) §3 глава 1), можноопределить ut  p, tn  , а вычисляя от нее градиент, найти Dts  p, tn  .

Получаемследующую последовательность действий:t  p, tn   ut  p, tn   Dts  p, tn .ДалееопределяемDt  p, tn   Dte  p, tn   Dts  p, tn  .(4)ВеличинаDte  p, tn считается известной, так как определяется внешними полями. Теперь можнонайти коэффициенты при второй степени по  в разложении (1):tt  p, tn   div  t  p, tn  v  p, tn   div    p, tn  vt  p, tn 120(5)vtt  p, tn     vt  p, tn  ,   v  p, tn    v  p, tn  ,   vt  p, tn   sDt  p, tn   Dte  p, tn     vt  p, tn  , B e  p   ,0здесь величины t  p, tn  и vt  p, tn  уже найдены с предыдущего шага поформулам (3).В силу того, что в ρV- постановке используется уравнениенепрерывности,былобыинтересносделатьприближеннуюоценкуустойчивости разностной схемы.

Пусть V0 скорость движения пучка какцелого, а u скорость, вызванная эффектом пространственного заряда, илискорость в собственной системе координат пучка. Имеет место следующеесоотношение:v  V0  u ,V0  u  v  V0 ,(6)где v − суммарная скорость.

Будем считать, что V0  V0 ,0,0 . Тогдауравнение для плотности заряда можно переписать в виде:t  div  v   t   div  v   v  t  V0  x ,(7)соответственно будем рассматривать уравнениеt  V0  x  0.(8)Далее рассмотрим узел конечноразностной сетки и предположим, что потокзаряда движется слева направо. Тогда разностная схема первого порядка дляуравнения (8) примет вид:121mn1  mn V0hnm mn 1  ,(9)здесь индекс m − относится к номеру узла координатной сетки, а индекс n −соответствуетвременномушагу.Представимпогрешностьввиде mn  0 neim , тогда из выражения (9) получим mn1V 1  C 1  ei  , C  0 .nmh(10)Как следует из выражения (10), для того, чтобы погрешность неувеличивалась, необходимо, чтобы величина C была меньше единицы, тоесть C  1.

Таким образом, данное условие накладывает ограничение насоотношение шагов по времени и по координате, в зависимости от скорости.4.2 Пример численного решения модельной задачиВ этом пункте рассмотрим численное моделирование ρV-постановки напримере модельной задачи. Возьмем распределение плотности заряда в виделогарифмического распределения Гаусса ((8) §2 глава 2).

Как было видно впункте 2.3 главы 1 за счет понижения порядка аппроксимации со второго напервый по пространственной переменной, необходимо было увеличиватьразмерность пространственной сетки (см. рис.14а,б). В силу того, чтопостановка ρV отличается от постановки DV поиском электрического поляD через решение уравнения Пуассона со вторым порядком точности, то естьнадежда, что не потребуется существенное увеличение размерностипространственной сетки.122Рис.1 Распределение плотности заряда в начальный и конечный моментвремени.На рис.1 показан результат расчета ρV задачи на пространственнойсетке 100x100x100.

Как видно на рис.1. упомянутых ранее проблем (рис.14а,б, пункт 2.3 главы 2) здесь нет. На рис.2 дано распределение плотности вразличные моменты времени вдоль оси OX. Стрелкой на рис.2 показанонаправление движения пучка.Рис.2 Эволюция функции плотности123Далее увеличим скорость движения пучка как целого путем заданиябольшего значения начальной скорости V0 , и посмотрим, как при этомизменится картина распределения. Результат такого расчета представлен нарис. 3.

Как видно на рис.3 наблюдается асимметрия в распределенииплотности, то есть в направлении движения пучка величина плотности«проседает».Причина такой асимметрии выявляется при анализе графиков,показанных на рис. 4. Потеря точности происходит в точках максимумараспределения. Как видно на рис.4а, на пик максимума распределенияприходится 1-2 узла разностной сетки. В этом случае естественно ожидать,что при увеличении скорости движения за фиксированный момент временибудет существенное изменение по пространству, а в силу грубостипространственной сетки будет происходить потеря точности.Рис.3 Изменение профиля распределения при увеличении скорости.Во втором случае рис.4б сетка более мелкая, что дает более точноеописание распределения плотности.124Рис.4а,б Сравнение точности аппроксимации функции плотности.Нарис.5показанрезультатвычисленийсулучшеннойаппроксимацией функции плотности вдоль направления движения пучка. Каквидно на рис.5, провал плотности на пике распределения существенносократился.

То есть основная идея состоит в том, что в тех местах, гдефункция плотности меняется сильно, необходимо разностную сетку делатьболее мелкой, то есть использовать в некотором смысле адаптивноеразбиение области.Следующим интересным моментом является вопрос устойчивостичисленного алгоритма.

Как было сказано ранее в пункте 4.1, приопределенном соотношении между шагом разбиения по времени и покоординате и величиной скорости потока возможна неустойчивость125разностной схемы. На рис. 6а,б показаны два случая, соответствующиеразличным значениям числа С (число Куранта - Фридриха - Леви).Рис. 5 Распределение плотности для случая уменьшенного шага покоординате.На рис. 6а показан случай, когда число C  1, тогда комплексное число mn1имеет модуль, лежащий за пределом единичного круга. В результате mnнаблюдается накопление погрешности, которое приводит к неустойчивости ввиде быстро осциллирующей функции. На рис.6б показан случай, когда mn1число C  1, для которого модуль числалежит внутри единичной mnокружности, и наблюдается устойчивость алгоритма.126С = 1.74С = 0.853Рис.6 а,б Поведение решения при разных значениях C.

а) неустойчивость б)устойчивость127ЗАКЛЮЧЕНИЕОсновные результаты, полученные в диссертации1. Методом характеристик получено точное аналитическое решение дляэволюцииплотностизарядачастиц  r, t длясферическойицилиндрической областей в виде бесконечного цилиндра.2. Методом характеристик получено точное аналитическое решение дляэволюцииплотностимассычастиц  r, t длясферическойицилиндрической областей в виде бесконечного цилиндра.3.

Показано существование решений в виде ударной волны для задачэволюцииплотностизаряда  r, t всферическойобластиицилиндрической области.4. Показано существование решений в виде ударной волны для задачэволюцииплотностимассы  r, t всферическойобластиицилиндрической области.5. Предложена постановка начально-краевой задачи относительно вектораэлектрического поля D и скорости v в гидродинамическом приближениидля описания эффекта пространственного заряда ( D v - задача)6. Произведено сравнение точных и численных решений ( D v - задачи),которое показывает хорошее совпадение теоретических и численныхрезультатов.7.

Предложена постановка начально-краевой задачи относительно векторафункции плотности  r , t  и скоростиvв гидродинамическомприближении для описания эффекта пространственного заряда (  v задача)8. Произведѐн численный расчѐтv- задачи, который сравнѐн сполученными точными аналитическими решениями. Получено хорошеесовпадение.128ЛИТЕРАТУРА1. Н.Н.Боголюбов,Избранныетрудыпостатистическойфизике.Издательство Московского университета, 19792.

Характеристики

Список файлов диссертации