XX Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций (1081437), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пусть С(м) — число очков на верхней грани игральной кости при ее произвольном бросании. Если предположить, что игральная кость является правильной (т.е. является однородной, имеет форму куба и не может встать на ребро 9.2. Моделирананне случайных величин и случайных событий 371 или вершину), то С(м) — дискретная случайная величина с мно- жеством возможных значений (1, 2, 3, 4, 5, 6) и вероятностями событий Р [с(ы) = й] = 1/6, й = 1, 6. Значит, функция распреде- ления этой случайной величины имеет вид О, х < 1; 1/6, 1<х<2; 2/6, 2<х<3; 3/6, 3<х<4; 4/6, 4<х<5; 5/6, 5<х<6; 1, 6 < х, Р~ (х) = Р [~(и) < х] = и является кусочно постоянной.
Поэтому непосредственное использование равенства (9.1) для определения реализации хь случайной величины С(м) по известной реализации уь случайной величины ц(м) становится проблематичным. Вместе с тем [й †! И Р ~ — < у1(ы) < — ~ = — =Рффи) =й], й=1,6, Ый — ! й~ откуда следует, что если уа б ~:, — /, то хь = й, й= 1,6. Так, например, если уь = 0,4, то хь = 3. 41 В ряде случаев для определения реализации хь случайной величины С(м) с заданной функцией распределения Рб(х) бывает удобнее использовать ее вероятностно-статистические свойства, а не равенство (9.1). В первую очередь это относится к случайной величине С(м), распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием т и дисперсией п~, для моделирования которой может быть использована центральная предельная теорема.
Действительно, если и (ю),! = 1,п,— независимые равномерно распределенные на отрезке [О, Ц ыучайные величины, то М[трй(м)] = 1/2, П[трй(м)] = 1/12, 2 = 1, и, и при достаточно больших п случайная величина 372 9. ВВЕДЕНИЕ В ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 9лв Моделирование случайных величин и случайных событий 373 будет распределена по закону, близкому к нормальному с параметрами т и оэ [ХЧ].
При моделировании нормально распределенных случайных величин с использованием центральной предельной теоремы обычно выбирают и > 12. Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий использование вероятностно-статистических свойств функции распределения р~(з) случайной величины дм) для определения ее реализаций. Пример 9.8. Предположим, что необходимо определить реализации дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона с заданным параметром р = Л1.
Эта задача весьма актуальна в имитационном моделировании процессов массового обслуживания [ХЧР П. Известно, что если частота реализаций случайных событий имеет распределение Пуассона, то время между появлениями отдельных событий имеет экспоненциальный закон распределения [ХЧПЦ.
Для случайной величины ((м), распределенной по закону Пуассона с параметром р = Л1, реализация — зто число событий и > О, происходящих за период времени 1. Поэтому для реализации случайной величины Ясе), распределенной по закону Пуассона с параметром р = Лг, необходимо получить столько реализаций случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону с параметром Л, чтобы сумма их минимального числа первый раз превысила 1.
В этом случае реализацию случайной величины Дм) берут равной числу реализаций экспоненциально распределенной случайной величины минус единица,. Например, если Л = 3 и 1 = 1,4, то (см. пример 9.6) реализация 1ь экспоненциально распределенной с параметром Л случайной величины определяется равенством 1ь = — Л 1!пуь. Замена 1 — уь Р [О, Ц на уь 6 [О, Ц произведена для удобства вычислений, а ее законность следует из определения равномерного закона распределения. Используя реализации у„из табл. 9.5, получаем результаты, приведенные в табл. 9.6. Из табл. 9.6 находим, что искомая реализация равна и = 6 — 1 = 5.
4 Таблица 9.6 Моделирование случайного вектора осуществляют путем последовательного моделирования его координат. При этом первую координату моделируют в соответствии с ее безусловным законом распределения, а каждую последующую — в соответствии с условным распределением при полученных ранее значениях всех предыдущих координат.
Для моделирования случайного события А с вероятностью реализации р достаточно моделировать случайную величину ц(м), равномерно распределенную на отрезке [О, Ц. При попадании реализации случайной величины ц(ь) в отрезок [О, р] считают, что случайное событие А произошло, а при ее попадании в полуинтервал (р, Ц считают, что случайное событие А не произошло. Пример Э.Э.
В игре с монетой первый игрок выигрывает у второго одно очко, если выпадает герб (событие А) и проигрывает ему одно очко, если монета падает противоположной стороной (событие В). При этом предполагается, что монета является правильной и не может встать на ребро, т.е. Р [А] = Р [В] = 0,5. Поскольку числа уь, й = 1,30, в табл. 9.5 являются реализациями случайной величины ц(ы), равномерно распределенной на отрезке [О, Ц, то можно предложить следующее правило для 374 9. ВВедение В имитАциОннОе мОделирОВАние моделирования итога игры: если уь Е (О, 0,5], то прн й-м бросании монеты реализуется событие А; если уь Е (0,5, 1], то при й-м бросании монеты реализуется событие В.
Предположим, что игроки договорились о трех партиях, ка; ждая из которых состоит из десяти бросаний монеты. В соответствии с правилом для определения итога игры воспользуемся таблицей псевдослучайных чисел (см. табл. 9.5). Итог первой партии определяется псевдослучайными числами уь, й = 1, 10, н его можно представить в виде строки ВВВААВАВАА. Видно, что игроки набрали по пять очков. Итог второй партии определяется псевдослучайными чыслами уь с номерами й = 11,20, и ему соответствует строка ВАААВАААВВ. Первый игрок выигрывает у второго два очка. Итог третьей партии определяется псевдослучайными числами уь с номерами й = 21,30, и ему соответствует строка ВАААВВВВАВ, Первый игрок проигрывает второму два очка. Для моделирования полной группы событий Аь с вероятностями Р(Аь] = рь, й= 1, У, где р1+рз+ "+р~ч = 1, достаточно смоделировать равномерно распределенную на отрезке (О, 1] случайную величину п(м) и считать, что событие А1 произошло, еслы реализация случайной величыны В(м) попала в отрезок (О, р1]; событие Аэ произошло, если реализация случайной величины В(ш) попала в полУинтеРвал (Рь Р1+Рз] и т.д.
Событие Ан соответствует попаданию реализации случайной величины п(м) в полуинтервал (р1+р2+ ... +ру ь 1]. 9,3. Имитационное моделирование как вычислительный эксперимент При использовании компьютаерного имитационного моделирования для решения практических задач часто упускают из виду, что оно по своей сути представляет собой вычислительный эксперимент, результаты которого должны интерпретироваться с позиций математической статистыки (ХИ1]. При 9,а Моделирование нак вычислительный эксперимент 375 этом необходимо помнить о том, что в соответствии с законом больших чисел результаты компьютерного имитационного моделирования начинают проявлять свойство устойчивости лишь после многократного повторения вычислительного эксперимента.
Таким образом, для того чтобы результаты компьютерного имитационного моделирования действительно давали представление о том, что же реально можно ожидать в будущем, вычислительный эксперимент должен быть повторен достаточно большое число раз. Ответ на вопрос, что представляет собой „достаточно большое число раз", зависит от типа моделируемой системы и начальных условий вычислительного эксперимента.
Результаты имитационного моделирования игры в монету, приведенные в примере 9.9, нельзя считать неожиданными. Естественно, что, воспользовавшись другими таблицами псевдослучайных чисел, мы моглн бы получить и другие варианты исхода игры. Для иллюстрации приведенных выше рассуждений рассмотрим еще один пример. Пример Э.10. Пусть требуется определить площадь круга К с центром в точке (1;2) и радиусом т = 5 (рис. 9.1). Для решения задачи воспользуемся методом Моите-Карло, Впишем исходный круг в ква- х драт, который разобьем на элементарные квадраты, площадь каждого иэ которых равна единице (см. рис. 9.1).
Применение случайных выборок при использовании метода Монте-Карло основано на предположении о 6 х равноправности всех точек квадрата [ — 4,6] х( — 3,7] с точки зре- -3 ния возможностей их реализа- Рис. 9.1 9.3. Моделирование как вычислительный эксперимент 377 Таблица 9.7 Номер экспери- мента Оценка площади круга при фиксированном и п=10000 п=5000 п= 2000 и=500 п=1000 и=200 а=100 ,1е(Х1, Х2) = 2е1(Х1) Дэ(Х2), где 1 0,1, Х2 с [-3,7]; О, х2 ф [ — 3,7]. ] 01, х16[ — 4,6]; [[ О, х1ф[ — 4,6]; 78,42 78,57 78,56 Среднее 78,2 78,64 78,3Т 7Т,1 0,22 0,23 0,66 2,4 Дисперсия 18,3 3,5 3,1 Если полагать, что т = 3,14159, то т(К) = тг2 = 78,5398.
Исходя из анализа результатов вычислительных экспериментов, представленных в табл. 9.7, можно утверждать следующее. 1. С ростом используемого числа реализаций случайного вектора 11(ь1) оценка площади круга в среднем приближается к ее истинному значению. 2. Десять вычислительных экспериментов, отличающихся друг от друга лишь использованными наборами псевдослучайных чисел, дают различные значения оценок площади круга при одном и том же значении и. Каждый вычислительный эксперимент можно рассматривать как наблюдение в процессе имитационного моделирования. 3.
При усреднении результатов по всей серии вычислительных экспериментов улучшается качество получаемых результатов. Уменьшение выборочной дисперсии в зависимости от числа испытаний и, т.е. в зависимости от используемого чи- тп(К) = 100Р[11(о1) Е К], 376 9. ВВЕДЕНИЕ В ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ции. Формально это означает, что координаты случайного вект тора 11(м) = (111(1о) 112(а1)) являются независимыми случайными величинами, распределенными равномерно на отрезках [ — 4,6] и [ — 3, 7] соответственно, т.е.
В этом случае, если К = ((х1, х2): х21+ х2 2( 52), то Р [11(а1) Е К] = Д(х1,Х2) ах1ах2 = 0,1 ах1ах2 = 0,01т(К), К К где т(К) — площадь круга К. Таким образом, где коэффициент 100 выражает площадь квадрата, в который вписан круг К. С учетом принятых допущений определим и реализаций случайного вектора ц(ь1), которым будут соответствовать и точек в искомом квадрате, из которых т принадлежат кругу К.
В этом случае [ХЧ1] т т Р [11(а1) Е К] и —, т(К) = 100 Р [11(ь1) Е К] - 100 —. В табл. 9.7 приведены результаты использования метода Монте-Карло для определения площади рассматриваемого круга для различных значений п. Кроме того, для каждого фиксированного и было проведено 10 вычислительных экспериментов с использованием различных наборов псевдослучайных чисел из отрезка [0,1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 78 ТО 80 70 Т9 81 77 Т8 82 Т5 79,5 Т7,0 Т9,5 77,0 77,0 76,0 78,0 79,5 Т6,5 82,0 Т7,4 81,0 77,2 77,0 79,4 79,2 79,0 80,2 80,4 75,6 76,2 76,2 Т9,0 79,Т 77,0 Т8,8 77,3 80,2 79,5 79,8 78,80 78,70 78,15 78,70 79,45 77,65 78,40 77,05 Т9,Т5 79,00 Т8,22 78,60 77,72 77,76 79,00 78,68 79,08 78,54 78,34 78,22 78,77 78,23 78,88 78,63 78,21 78,27 78,64 78,27 78,67 78,16 378 9, ВВЕДЕНИЕ В ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 9ля Построение н эксилуатацнл имитационных моделей 379 сла реализаций случайного вектора п(ог), имеет нелинейный характер, что необходимо учитывать при планировании объ ема испытаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
