XX Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций (1081437), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Перейдем к рассмотрению конкретных критериев, наиболее широко используемых при принятии решений в условиях неопределен ности. Критерий Лапласа. Для обоснования этого критерия, широко используемого в задачах принятия решений в условиях неопределенности, воспользуемся следующими соображениями, отражающими основную суть тхра«т4«тэп «едостаапзоч«оно обое«оеа«мл'. Поскольку вероятности пребывания изучаемой системы 5 в каждом ее возможном состоянии 5, 1 = 1, тп, не известны, то отсутствует и необходимая информация для вывода о том, что этн вероятности различны.
В противном случае имела бы место ситуация принятия решений в условиях риска. Поэтому мы можем предположить равные вероятности реализации любых возможных состояний системы 5. 'Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решений 7дк Одпаэтаппые процедуры прппдтца ретпептп1 в условиях риска, когда выбирают решение Х Е С = (Х;1о ы обеспечивающее наибольший ожидаемый выигрыш, т.е. Здесь учтено, что вероятности пребывания системы 5 в состоя- ниях 5, у = 1, тп, одинаковы и равны 1/тп. Сформулированный критерий называют «рмтттерием Латьдаса. Пример 7.8. Предприятие должно определить уровень предложения услуг таким образом, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течение предстоящих праздников. По предварительным прогйозам число клиентов может принять одно из следующих значений: 51 = 200 5з = 2501 5з = 300 54 = 350. Для каждого из этих возможных значений существует наилучшии с точки зрения возможных затрат уровень предложений Х;, и совокупность этих уровней образует множество С из четырех элементов.
Отклонения от уровней Х< приводят к дополнительным затратам либо из-за неполного удовлетворения спроса, либо из-за превышения предложения над спросом. йлатрица потерь в условных денежных единицах приведена ниже: В данном случае та = Ж = 4, а и; = и(Х;,5 ) — потери при уровне предложений Х; и реализации состояний 5 .
1' 305 Имеем -(5+10+18+25) = 14,5, 1 4 шах ппп и(Х;, о .). Х;ЕС Л 1 — (8+ 7 + 8+ 23) = 11,5, 1 4 — (21+ 18+ 12 + 21) = 18, шахи(ХО 51) = и(Хна) = 25, 1 4 -(30+ 22+ 19+ 15) = 21,5. шахи(Хг, Бз) = и(Хг,54) = 23, лэ шахи(Х„оу) = и(Х4,51) = 30. пйп шахи(Х;,51). Х,ЕС 304 н пРинятие Решений пРи непОлнОЙ инФОРмАции 4 -') и(Х4,5,) 1=1 4 и(Хг, йу) ',=1 — ~ и(Хз, ~э') 1 — и(Х4~ ~у) 1=1 Таким образом, 4 ппп — ~ и(Х;,Я,) = 11,5, х,ес 4 э-1 и наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет Хг. Мнннмаксный (макснмннный) критерий. Этот критерий является наиболее „осторожным", поскольку его реализация предполагает выбор наилучшей из наихудших возможностей.
Пусть С = (Х,)(", — множество допустимых решений, а 1о ), — множество возможных состояний изучаемой системы. Если и(Х„5 ) — потери „лица, принимающего решения", при выборе им решения Х; Е с4 и реализации системой о возможного состояния о, то наибольшие потери независимо от возможных состояний будут равны шахи(Х;,о',), 4 = 1, Ж. 1 По ммм44максному эерапгер44к» выбирают решение Х, Е сэ", обеспечивающее Т, . .4.
Одноэталлые лроледуры приллгъщ лещ д А налогично, если и(Х;,о' ) — выигрыш, то по макс миммо яранэераю выбирают решение Х, Е с4, обеспечивающее Пример 7.9, Вернемся к примеру 7.8. Так как в этом сл чае и~Х о 1 у (,, ) отражают затраты, то воспользуемся минимаксным критерием. Для каждого допустимого решения Х, найдем максимальные затраты: ( з») =и(Хз,~4) =и(Х3,~4) =21, Затем из полученных значений найдем минимальное: ппп шахи(Х;,5 ) = и(Хз Я ) — и(Х с ) э Итак, оптимальным является решение Хз. Критерии Сзвнджа Минимаксныи (максиминныи) кри терий является настолько пессимистичным", о , что может приводить к нелогичным выводам.
Необходимость использования менее „пессимистичного" критерия обычно иллюс трируют задачей принятия решений в условиях неопределенности с матрицей потерь . У(Д ~) ( ) ( (Х ~ )) (11000 90 1 10000 10000 / ' П им р енение минимаксного критерия приводит к б вы ору решения Хг и потерям в 10000 при реализации системой одного 306 7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ из возм41жных состояний 51 или Яз. Но интуитивно напрашивается вывод о целесообразности выбора решения Х1, поскольку не исключается возможность реализации состояния Яз и и(Х1, Яз) = 90. Для устранения отмеченного недостатка минимаксного (максиминного) критерия вместо величины р(Х;,5 ), характеризующей потери (выигрыши) при принятии решения Х; и реализации возможного состояния 51, введем величину 1пах и(Х;,5.) — 1 (Х;, п1) "(Х ц1 доход' г(Х„Я,) = э .
~ ) шьп „(Х, 8',) Р(Х;,51) — потеРи. Х,ЕС Фактически величина г(Х;,5 ) выражает сожаление „лица, принимающего решения", по поводу того, что оно не выбра- ло наилучшее решение относительно состояния зз изучаемой системы. Поэтому матрицу В(СЯ) = (г ) й Мэг К, г; =г(Х',$ ), ш1п тахт(Х,,Я ), Х~ЕС о г(Х;,Я,) = р(Х;,51) — пнп и(Х,,Я,), Х,ЕС 1=1,Х, 1=1,т; б) если р(Х,,з' ) — доход, то решение выбирают из условия шах ппп г(Х;, 51), ХЕС Л, г(Х;,5 ) = 1пахп(Х;,5 ) — и(Х;,Я,), Х,ЕС называют мпэтьр4444еб сожплем446, а минимаксный (максиминный) критерий относительно этой матрицы — эер444тьереееде Сзвееджа.
При использовании этого критерия: а) если и(Х;,з;) — затраты, то решение выбирают из усло- вия Г.4. О н дноэтепные процедуры прннптн ре у 3ОТ В частности в а р ссмотренном выше примере, решение которого с использованием минимаксного критерия приводило к нелогичному выводу, ш1п р(Х;, зз) = 90, рйп и(Х,, Я1) = 10000, и матрица сожалений имеет вид ~ 1000 О '( 0 9910 Таким образом, шахт(Х1, з ) = г(Х1, з1) = 1000 ~э 1 шахт(Хз,5 ) = г(Хз, зз) = 9910 ~э ! ш1п шахт(Х,,5 ) = г(Х, ц,) — 1000 У 1 и по критерию Сэвиджа опти44альны44 является решение Х1. Заметим что этот же ез 1 р ультат мы получим и при использовании критерия Лапласа. Р~~еР .Ы.
Вернемся к примеру 7.8 и запишем мат и сожалений атрицу Й(а,Я) = (г(Х,,81)) = Отсюда получаем шоах (Хз, ~У) = г(Хг, 54) = 8 ~э Э 2~ 4 шахт(Х4,з1) = г(Х4,~~) = 26 э хтт п1ахг(Х;, Яу) = г(Хз, Я~) = 8, шахт(Х1,з ) =г(Х, цз) 10 п1ах г(Хз, 51) = г(Хз, Я ) = 16 э э ~ 1 0 3 10 10 3 0 0 8 16 11 4 6 25 15 11 308 1. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИИ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ и оптимальным по критерию Сзвиджа является решение Хз, которое отличается от оптимального решения по минимаксному критерию (см.
пример 7.9) и совпадает с оптимальным решением по критерию Лапласа (см. пример 7. ). 81 у вица. Этот критерий охватывает ряд Критерий урв подходов к принятию решений в условиях неопределенности от наиболее пессимистичяого до наиболее оптимистичного. Если ?ч'(С,о) = (р(Х;,о )) е Мы (В) — матрица выигрышей (доходов), то наиболее оптимистичному подходу соответствует критерий щах шахр(Хы сз) Х,ЕО Яз Вопросы и задачи 300 пессимизму (а -+ О+ 0). При отсутствии ярко выраженных склонностей о = 0,5 представляется наиболее разумным. Пример 7.11.
Воспользуемся критерием Гурвица для решения задачи из примера 7.8, полагая о = 0,5. Результаты расчетов приведены в табл. 7.4 Таблица ?.д а наиболее пессимистичному — критерий пнп пппр(Х;,51) Х,ЕО Лз Крмзвермб Гурвицп устанавливает баланс между наиболее оптимистичным и наиболее пессимистичным подходами путем взвешивания обоих вариантов принятия решеяий в условиях неопределенности с весами а и 1 — а, гд — ° е 0 < о < 1. Это значит, что если 1ч'(С, о) = (р(Х,,Я )) — матрица выигрышей, то по критерию Гурвица выбирают решение Х.
Е С обеспечивающее шах( асахи(Х;, Я ) + (1 — о) т1п Р(ХО сз)) ' Если же Х(С,о) — матрица затрат, то по критерию Гурвица выбирают решение Х. Е С, обеспечивающее ппп (опипр(Х;,о )+(1 — а)шахр(Х;,о )). Параметр а й (О, 1) называется заомазазгаелела оозгаимизлап. Его значение выбирается „лицом, принимающим решения ', в зависимости от опыта принятия решений в условиях неопределенности и личных склонностей к оптими му ( з (о-+1 — 0) илн Согласно результатам расчетов, оптимальное значение по критерию Гурвица равно 15 и обеспечивается допустимыми решениями Х1 и Хз. Вопросы и задачи 7.1. Что объединяет задачи принятия решений в условиях риска и в условиях неопределенности? 7.2, В чем заключается принципиальное различие задач принятия решений в условиях риска и в условиях неопределенности? 7.3.
Укажите основные недостатки критерия ожидаемого значения. В каких ситуациях принятия решений в условиях риска целесообразно использование критерия ожидаемого значения? 7.4. Изложите принципиальную схему обоснования критерия „ожидаемое значение — дисперсия". Почему появилась необходимость в разработке зтого критерия и в чем заключается принципиальная трудность его практического использования при принятии решений в условиях риска? 310 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
