XX Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций (1081437), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ри этом с учетом априорных вероятностей Р [ ! Н 1 = 0 04 э] —— 0,15 и случайной выборки объема 2 из генеральной совокупности биномиэльно распределенной случайной величины (вид распределения случайной величины вытекает из предложенной схемы контроля), можно вычислить условные вероятности исходов: Р [ее1 ! Н1] = Сзэ 0,96~ ° 0,04о = 0,922 Р [аь ! Нэ] = Сэ~ 0,85з, 0 15о = О 7 Р [еез ! Н1] = С~э 0,96 ° 0,04' = 0,077, Р [ог [Нз] = С~э0,85' 0,15' = 0,256, Р [сез ! Н1 ] = Се 0 96о . 0 04~ 0 002 Р [ехз ! Нэ] = С70,85е. 0,15' = 0,022, Далее по формуле Баиеса [ХЧ1] Р[ал!Н;] Р[Н;] Р[ !Н] Р[Н]+Р[ех„[Н ] Р[Н ]' 1=1,2, 9=1,2,3, могут быть вычислены апостериорные вероятности Р[Н1[а1]=0,960, Р[Н1]еэз]=0,851, Р[Н1!ехз] =0,575, Р[Н [ее~]=0,040, Р[Н !аэ]=0,149, Р[Н ]сез]=0,425.
296 7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ Таким образом, если оба проверенных изделия окажутся доброкачественными, т,е. при реализации случайного события ом то вероятность того, что число бракованных изделий в партии является допустимым, равна 0,96. Если же оба проверенных изделия окажутся бракованными, т.е.
при реализации случайного события сез, то вероятности пригодности (случайное событие Н1) или непригодности партии (случайное событие Нз) являются сопоставимыми. Рассмотренный пример наглядно показывает, что окончательное решение может существенно зависеть от результатов дополнительного контроля, т.е. дополнительной информации экспериментального характера,. 7.3.
Мпогозтап ые процедуры принятия решений в условиях риска Выше (см. 7.1) были рассмотрены одноэтапные процедуры принятия решений в условиях риска на основе различных скалярных критериев. При их реализации предполагают, что решения, принимаемые в будущем, не зависит от решений, принимаемых в настоящий момент времени. Примеры много- этапных процедур принятия решений в условиях риска дают марковские модели принятия решений.
В этом параграфе рассмотрен многоэтапный процесс принятия решений в условиях риска, в котором взаимозависимые решения принимаются последовательно. Подобные процедуры могут быть представлены графически с помощью так называемого дерева решений, использование которого существенно упрощает формализованное описание самого процесса принятия решений в условиях риска. Мы не будем останавливаться на строгом определении понятия дерева решений с позиции теории графов*, так как содержательный смысл и принцип использования дерева решений наглядно показаны в следующем примере.
"См., например: Исследование операций: модели и применение / Под ред. Л. Моудеро и С. Элмогробо. 7.3. Многоэтапные процедуры принятия решений 297 Пример 7.7. Фирма может принять решение о строительстве крупного или небольшого предприятия. Небольшое предприятие впоследствии может быть расширено. Принимаемое решение определяется в основном будущим спросом на продукцию, которую предполагается выпускать на сооружаемом предприятии. Строительство крупного предприятия экономически оправдано при высоком уровне спроса. Однако можно построить небольшое предприятие и через два года принять решение о его расширении.
В рассматриваемом случае процедура принятия решений состоит из двух этапов. На первом этапе принимается решение о строительстве либо крупного, либо небольшого предприятия. Если на первом этапе принято решение о строительстве небольшого предприятия, то иа втором этапе (через два года) принимается или не принимается решение о его расширении. На рис. 7.1 исходная задача представлена в виде дерева решений.
Предполагается, что спрос на продукцию, которая будет выпускаться предприятием, может быть либо высоким (с вероятностью р= 0 75), либо низким (с вероятностью р= 0,25). Дерево решений имеет два типа вершин: решающие вершины, которые изображены в виде квадрата, и случайные вершины, изображенные в виде круга. Разветвлеиие с решающей вершины 1 означает принятие решения относительно размеров вводимого в строй предприятия. Случайная вершина 2 соответствует реализации одного из двух вариантов спроса на выпускаемую продукцию (высокий и низкий), что диктуется ситуацией, сложившейся на рынке.
Каждый из возможных вариантов отмечен значением его вероятности. Случайная вершина 3 реализует аналогичное разветвление для принятого решения о строительстве небольшого предприятия. Естественно, что фирма будет рассматривать вопрос о расширении небольшого предприятия лишь в случае, если по истечении двух лет иа выпускаемую продукцию установится высокий уровень спроса. Решающая вершина 4 отражает это решение, из нее выходят две ветви, соответствующие возмож- 298 7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ 7.Э. Много»танные продедуры принятии решений 299 о т о» я о о о, и эх х и о и й1 Ю о» Ю и и о х 1х 3 Г Ю Ю 3 и 3 й Г- о» 11 11, 8 о о х |х х и о й ю 1» 11 х х щ О1 11 Л и о о к х эх 3 Г Ю о» О1 3 и о н х 3х о Ю й о Г \~ М о» Ю Ю ы о и и о» Ю О1 о х и о х о и о х Г- 3 О И 2 оо нъ »1 О1 » -3 » ~ ох я „" о зх и 9 ДГ я о, зх 3 о и й1 » о. 3, и »я х и х й1 о» Ю О1 Ю Ю О1 О1 Ю Ю Ю й~ й~ »» ~Е Э ОХ о О х О Ю 3 х о к й Г ° 3 ным решениям: „расширять" и „не расширять".
Случайные вершины 5 и 6 имеют по две выходящие ветви и соответствуют двум возможным уровням спроса. Для принятия решений необходима следующая информация; 1) о вероятности реализации каждого из возможных вариантов, изображенных ветвями, выходящими из случайных вершин; 2) о доходах нлн расходах (в денежных единицах), получаемых при реализации каждого допустимого решения. Далее будем предполагать, что для выбора опгпи,идя»кого решения фирма планирует использовать хригиерий суммарного ожидаемого экачекил прибыли за 10 лет.
Анализ рыночной ситуации, возможных доходов и затрат отражен на рис. 7.1. Вычисления начинаем с этапа 2, с последующим переходом к этапу 1. Для последних восьми лет планового периода решения, относящиеся к вершине 4, оценивают следующим образом (в денежных единицах): М1прибыль | расширение) = = (900000 0,75+ 200000 025) . 8 — 4200000= 1600000, М1 прибыль | без расширения) = = (250000 0,75+ 200000 0,25) . 8 = 1 900000.
Таким образом, в вершине 4 выгоднее принять решение о нерасширении предприятия. В этом случае ожидаемая прибыль составит 1900000 денежных единиц. Оставляем одну ветвь, выходящую из решающей вершины 4, которой соответствует ожидаемая прибыль в 1900000 денежных единиц, и переходим к вычислениям, относящимся к решающей вершине 1 (в денежных единицах): М1прибыль | крупное предприятие] = = (1000000 075+300000 025).10 — 5000000= 3250000, М1прибыль|небольшое предприятие)=(250000 075 2+ +1900000+200000 025 10 — 1000000) = 1775000. 300 7.
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ Таким образом, в вершине 1 опгимальным является решение о строительстве крупного предприятия, исключающее необходимость принятия решений в вершине 4. В заключение заметим, что эффективность практического использования деревьев решений в многозтапных процедурах принятия решений в условиях риска заметно возрастает по мере усложнения задачи. Эти усложнения находя г свое отражение в расширении множества допустпимых решений, увеличении числа этапов и числа решающих и случайных вершин дерева решений, а также в увеличении числа ветвей, выходящих из случайных вершин.
Во всем этом нетрудно убедиться, проанализировав содержательные примеры из специальной литературы*. 7.4. Одноэтапные процедуры принятия решений в условиях неопределенности При анализе одноэтапных процедур принлтпия решений в условиях риска мы уже отмечали, что практическое применение критерия предельного уровн в общем случае не предполагает знания законов распределения случайных величин.
Поэтому критерий предельного уровня может использоваться и при принятии решений в условиях неопределенности. В этом параграфе мы рассмотрим критерии, наиболее часто применяемые на практике: 1) криптерий Лапласа; 2) мин максный (максиминный) критерий; 3) критперий Сэвидэка; 4) критперий Гуреица. Основное различие между критериями, перечисленными выше, определяется стратегией поведения „лица, принимающего 'См, Вагнер Рэ а также: Исследование операций: модели и применение / Под ред. Д. Маудера и С. Элмаграен.
7ЛС Одноэтапные процедуры прннетнг решений 301 решения", в условиях неопределенности. Так, например, критерий Лапласа базируется на более оптимистичных предполо- ' жениях, чем минимаксный критерий, а критерий Гурвица, в свою очередь, можно использовать при различных подходах: от наиболее пессимистичного до наиболее оптимистичного. Таким образом, перечисленные критерии, несмотря на их количественную природу, отражают субъективную оценку ситуации, в которой приходится принимать решения.
К сожалению, не существует общих правил оценки практической применимости того или иного критерия при принятии решений в условиях неопределенности. Скорее всего, зто связано с тем, что поведение „лица, принимающего решения", обусловленное неопределенностью ситуации, по всей видимости, является наиболее важным фактором при выборе подходятцего критерия. Напомним, что мы рассматриваем задачи принятия решений в условиях неопределенности, когда выбор решения из множества С допустпимых решений осуществляется одним лицом.
Специфической особенностью зтих задач является отсутствие у „лица, принимающего решения", разумного противника. В случае, когда в роли противника выступает „природа", нет оснований предполагать, что она стремится принести вред „лицу, принимающему решения". Информация, необходимая для принятия решений в условиях неопределенности, обычно представляется в форме матрицы, т-я строка которой соответствует решению Х, из множества допустимых решений С = (ХьДж,, а т-й столбец соответствует состоянию 5 изучаемой системы 5 с множеством возможных состояний (5„)„,.
Каждому допустимому решению Х; Е С и каждому возможному состоянию 5 изучаемой системы 5 соответствует результат р;, = р(Х;,5 ), т = 1, /1т, / = 1, т, определяющий выигрыш или потери при принятии данного решения и реализации данного состояния, Таким образом, если 303 1 шах — ~ и(Х;,5 ). бьп Х(С,5) = (рб) 6 паетха (а) 5 10 18 25 8 7 8 23 21 18 12 21 30 22 19 15 М(С,5) =( П) = 'См:. Таха Х„т.2. 302 7, ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ множество С допустимых решений состоит из Х элементов, а система 5 может находиться в любом из тп возможных состояний, то матрица и является матрицей исходных данных для принятия решений в условиях неопределенности.
Если величина и(Х;,5 ) определяет доход (выигрыш), обусловленный принятием решения Х, Е С и реализацией системой 5 возможного события 5, то матрица 1х'(С. 5) является матпринеб дохода. Если же величина и(Х,,51) определяет затраты (потери, проигрыш), обусловленные принятием решения Х; и реализацией системой 5 возможного состояния 5, то матрицу Х(С,5) называют ма«трит4е41 тхотперь или матар«т4еб затттрата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
