XX Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций (1081437), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Критерий ожидаемого значения. Использование этого критерия, обусловленное стремлением максимизировать ожидаемую прибыль или минимизировать ожидаемые затраты, представляет собой естественный переход в задачах принятия решений от условий определенности к условиям риска. Количественно критерий ожидаемого значения можно выразить в денежных единицах или в еди»ицах полез»остпи денег.
Для Хь Однозтапные пронедуры принятия решений в условиях риска 283 уяснения принципиального различия между денежной единицей и единицей полезности денег обратимся к следующему примеру. Пример Т.1. Предположим, что инвестиции в 20000 денежных единиц с равными вероятностями дают либо нулевой доход, либо доход в 100000 денежных единиц. В этом случае ожидаемый доход составляет 100000. 0,5+ 0 0,5 — 20000 = 30000 денежных единиц и на первый взгляд может показаться, что решение о вложении 20000 денежных единиц является оптимальным. В действительности же подобное решение является приемлемым не для всех инвесторов. Например, инвестор А может полагать, что из-за ограниченности наличных средств потеря 20000 денежных единиц может привести его к банкротству, и, возможно, предпочтет не вкладывать деньги при сложившихся обстоятельствах.
Напротив, инвестор В, располагаюший бездействующим капиталом, значительно превышающим необходимую наличность, может охотно пойти на риск. Этот простой пример иллюстрирует значение отношения „лица, принимающего решения", к ценности или полезности денег.
Данный фактор можно проиллюстрировать еше более наглядно, если вновь обратиться к инвестору А. Предположим, что инвестор А не желает рисковать суммой более чем в 5 000 денежных единиц и у него есть две возможности: 1) вложить 20000 и с равными вероятностями получить либо 100000, либо 0, "2) вложить 5000 и с вероятностью 0,5 получить либо 23000, либо с той же вероятностью ничего не получить. Из этих условий следует, что инвестору ничего не остается, как выбрать второе решение, хотя ожидаемая в этом случае прибыль 23000 . 0,5+ 0 0,5 — 5 000 = б 500 много меньше, чем при выборе первого решения. ф 284 7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ЛРИ НЕПОПНОЙ ИНФОРМАЦИИ Рассмотренный пример показываев, что полезность денег не обязательно пропорциональна их количеству.
Отметим также что понятие полезности сложно формализовагь. На практнке влияние полезности денег может быть отражено введением дополнительных ограничений, отражающих поведение „лица, принимающего решения". Эта ситуация встретилась в примере 7.1, в котором был введен максимальный уровень потерь, приемлемый для инвестора А. Итак в общем случае нецелесообразно использовать ожидаемое значение стоимостного выражения как единственный критерий. Экстремальное значение зтого критерия может служить лишь ориентиром, а окончательное решение может быть принято только с учетом всех существующих факторов, определяющих отношение „лица, принимающего решения", к полезности денег.
Остановим~я на формальном аспекте практического использования скалярного критерия типа „ожидаемое значеннек в задачах принятия решений в условиях риска. Пусгь Ч„(~) = = ф(цс) ~з(сп) ... ~„(ц1)) — случайнан выборка объема и из генеральной совокупности случайной величины ~(цс), имеющей математическое ожидание п1 и дисперсию и, т.е. М1ге(цс)]— и Щ(1п)] = оз. В зтом случае выборочное среднее 1 ~(ш) = -„Х.(.(ш) 1с= 1 обладает следующими числовыми характеристиками [Х ]: ХИ11; Мфцс)] = п1, О[Я(цс)] = стс7'и -+ 0 при п -1 со. Таким образом, использование критерия „ожидаемое значениек допустимо лишь тогда, когда одно и то же решение приходит~я принимать достаточно большое число раз (значение и велико).
Тогда случайнзл величина ((пс) начинает проявлять свойство устойчивости являющееся основным содержанием закона больших чисел [Х 1с'1], и для любого я ) 0 существует предел !пп Р [фас) — тп] < е] = 1. и-+оп 7.1. Одиоэтапиые процедуры при>штия решений в условиях риска 285 Пркмер 7.2. Каждый из и однотипных станков ремонтируется индивидуально, если он остановился из-за неисправности, а через Т единичных временных интервалов производится профилактический ремонт всех и станков. Необходимо найти оптимальное значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт вышедших из строя станков и профилактический ремонт в расчете на один единичный временной интервал.
Пусть рь — вероятность выхода из строя одного станка в л-м единичном временном интервале, и =1, Т, а пс — число станков, вышедших из строя в й-м единичном временном интервале. Из условий рассматриваемой задачи следует, что ие = = пе(цс) — дискретная случайная величина, распределеннал по биномиальному закону с параметрами и, рв и математическим ожиданием М[пь(1п)] = пре [ХУ1].
Пусть далее С1 — затраты на ремонт одного вышедшего из строя станка, а Сз — затраты на профилактический ремонт одного станка. Тогда общие затраты на ремонт вышедших из строя станков и профилактический ремонт в расчете на один единичный временной интервал представляют собой случайную величину 1 С1т1(ц1)= Т[С1 ,'1 пь(цс)+Сп). к=1 Применение критерия ожидаемого значения в рассматриваемом случае будет оправданным, если станки рассчитаны на длительную зксплуатацию.
При зтом ожидаемые затраты на один единичный временной интервал составят Т Т М[С1т1('")] = Т (С 1 М[ е( )]+Сз ) = . [С1 ~~у рь+Сз). к=1 ьи1 Для иллюстрации проведенных рассуждений в табл. 7.1 приведены вероятности рв выхода из строя одного станка и результаты расчетов ожидаемых затрат на один единичный временной интервал при С, = 100, Сз = 10 и и = 50, нз которых М[~р(с(ш))) и р(т) + — рв(т)о .
Таблица 7.1 286 х ЛРинЯтие Решений пРи непОлнОЙ инФОРЧАЦии следует, что оптимальное значение Т равно 3, т.е. профилактический ремонт нужно проводить через три единичных временных интервала. 4 Критерий, ожидаемое значение — дисперсия". При анализе критерия ожидаемого значения мы выяснили, что его использование в задачах принятия решений в условиях риска оправдано лишь для многократно повторяющихся ситуаций. А так как этот критерий является весьма удобным при решении практических задач, в чем мы имели возможность убедиться при изучении марковских моделей принятия решений, то попытаемся адаптировать его для редко повторяющихся ситуаций. Предположим, что величина доходас(ш) является случайной величиной с математическим ожиданием т и дисперсией о~.
Введем еаункцию полезности дохода у(С(ш)). Мы не будем обсуждать зто трудно формализуемое понятие, а сошлемся на специальную литературу*: функция полезности нужна нам лишь для обоснования вида конструируемого критерия. Считая, что скалярная функция у(х) является достаточно гладкой в некоторой окрестности точки х = т, приближенно представим функцию полезности дохода по формуле Тейлора: р® )) ~-( )+~ ( )(»( ) )+ 'Ом:. Исследование операций: модели н применение / Под ред. л. Молдера н С.
Элмаерабн. ХЕ Одиоэтацные процедуры црииятив решений в условиях риска 287 Таким образом, ожидаемое значение функции полезности дохо- да определяется следующим приближенным равенством: Полученное соотношение указывает на то, что целесообразно учитывать не только ожидаемую прибыль, но и ее дисперсию. Из-за сложностей формализации понятия функции полезности дохода в задачах принятия решений в условиях риска для редко повторяющихся ситуаций, как правило, используют не критерий ожидаемого значения функции полезности дохода, а критерий „ожидаемое значение — дисперсия" МЫ(шЦ вЂ” К П[~(ш)) -+ тах (т1п), где значение параметра К интерпретируют как уровень не- склонности к риску.
Так, например, если случайная величина С(ш) представляет собой прибыль, инвестор, особенно остро реагирующий на возможные большие отклонения прибыли вниз от ее ожидаемого значения, может выбрать большое значение К. Это придаст большии вес дисперсии и приведет к решению, уменьшающему вероятность большой потери прибыли. Пример 7.3. Вернемся к примеру 7.2, но вместо критерия ожидаемого значения воспользуемся критерием ожидаемое е значение — дисперсия". Для этого нам необходимо определить дисперсию затрат на один единичный временной интервал: т С(т)(ш) = — (С1 ~~~ пь(ш) + С~п), где (пл(ш)) — независимые случайные величины, распределенные по биномиальному закону с математическим ожиданием М[пь(ш)) = прь и" дисперсией О[па(ш)) = прь(1 — рь), й =1, Т. Следовательно [ХУ1], Таблица 7.2 Р[]с1сц) — п2) ( Зст] > — =0,89. 8 В данном случае М]С1т1]шН 01С1т1(со)] 288 1.
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИИ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ С2 т о[сщ(~)1 = — ',~ п[пь( )1 = Тз С, 2 С, 2 Т Т =( —,').у. о- )= ~ —,') (Е -Ес1) /сн! Лн2 и в рассматриваемом случае (см. пример 7.2) критерий еожи- даемое значение — дисперсия" имеет вид м[С1т1]-)1+К~[С1т1~ )1 = т т "(С,'~ р„1 С ) +Кп( ') (~рл — ~рЦ -+ш1п. к=1 Л= 2 ~с=~ Обратим внимание на то, что в данном случае М1С1т1ссоИ суммируется с К12]С1т1(со)], так как речь идет о затратах, выражаемых этой суммой, и смысл задачи — свести затраты к минимуму.
В табл. 7.2 приведены результаты расчетов для задачи из примера 7.2, выполненных с использованием критерия „ожидаемое значение — дисперсия" и данных из табл. 7.1. 1Л. Одноятапные процедуры принятия решений в условиях риска 289 для Т = 1,5, и характер изменения значений используемого критерия в зависимости от Т в значительной степени будет определяться параметром К, интерпретируемым как уровень несклонности к риску. Если считать К = 1 (зто означает еравноправностьа математического ожидания и дисперсии), то в сумме математического ожидания и дисперсии последняя подавляет математическое ожидание 1см.
табл. 7.2) и оптимальным становится решение Т* = 5, отличное от полученного с помощью критерия ожидаемого значения (см. пример 7.2). 7Р Рассмотренный пример является наглядной иллюстрацией того, что корректное использование критерия „ожидаемое значение — дисперсия" при принятии решений в условиях риска проблематично. Эффектность практического применения этого критерия в значительной степени связана с обоснованным назначением уровня несклонности к риску, что весьма затруднительно. В основном это связано с тем, что компоненты критерия „ожидаемое значение — дисперсия" не являются нормированными (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
