Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Вы помните, что электрическое поле обычно меняется в полости от места к месту. Когда молекулы дрейфуют вдоль полости, электрическое поле близ молекул меняется как-то очень сложно, сложнее, чем предположенное нами обычное синусоидальное колебание. Ясно, что для точного решения задачи следовало бы воспольаоваться более сложными интегрированиями, но общая идея остается прежней. Можно мазеры устраивать и иначе.
Не отделять прибором Штерна — Герлаха атомы в состоянии 1 ) от атомов в состоянии ~11), а собрать атомы в какой-то полости (в газообразном или твердом виде) и как-то переселить их из состояния ~11) в состояние (1). Один такой способ применяется в так называемом трехуровневом мазере. Для него используются атомные системы с тремя уровнями энергии (фиг. 7.6) и со следующими специальными свойствами. Система поглощает излучение (скажем, свет) с энергией Вез, и переходит от низшего уровня энергии Еп к какому-то более высокому уровню Е', а затем быстро испускает фотоны с энергией евеое и переходит в состояние )1) с энергией Е,. У состояния (1) большое время жизни, так что Е Е Ф и г.
е.д. Уровни внереии аоерехуровневогов моеера. его населенность может возрасти; создаются условия, благоприятствующие работе мазера между состояниями ~ 1) и ~11). Хотя такой прибор называют «трехуровневым» мазером, но сама мазерная процедура на самом деле происходит так же, как и у ошшанной нами двухуровневой системы. Лазер — эта всего-навсего мазер, действу|ощий на световых частотах. «Полость» лазера обычно состоит попросту из двух зеркал, между которыми генерируются стоячие волны.
ф». 11еР ходы еме Резо»ыг»лсп Наконец, хотелось бы выяснить, как поменяю«ся состояния в условиях, когда частота полости, хотя и оливка к оз«, но не совпадает с ней. Вту задачу можно было бы реншть точно, но мы не будем пытаться это делать, а ооратнмся к важному случаю малого электрического полл и малого промежугка времени Т, так что )«8«Т!6 много меньше единицы.Тогда даже в случае уже изученного нами идеального розопанса вероятность перехода очень мала. Будем исходить опять из того, что у,--) и ун-.--О. Тогда мы вправе ожидать, что в течение всего времени Т наша величина у, останется близкой к единице, а у„будет малой по сравнению с единицей, и задача облегчается.
Йз второго уравнения (7.45) мы можем подсчитать уп, принпман у, равной единице и интегрируя от ~= — О до ~=-Т. Получается е„~ ~ «з — »„~г~ У« =— л «" "'о (7.5() Это та величина у„, которая стоит л (7.40), и она дает амплитуду того, что переход из состояния (1) в состояние 11) произойдет за время Т, Вероятность Р (1 11) такого перехода равна ! угг(«, или Р(1 11) — ( (« — — ! л«з«7 ) «1о !(«м«) 'в) (7 5э) $70 Интересно начертить эту вероятность при фиксированном времени Т как функцию частоты полости, чтобы посмотреть, насколько чувствительна она к частотам близ резонансной частоты ы«.
Кривая Р (1 — »11) показана на фиг. 7.7. (Вертикальная шкала была подогнана так, чтобы в пике была единица, для этого разделили на величину вероятности при ы-з ю«.) С подобными кривыми мы встречались в теории дифракции, так что они должны быть вам знакомы. Кривая довольно резко падает до нуля при (ю — ы») =-2я/Т и никогда при ббльших шо сд и г. 7.7. Вероятность перехода дяя мояекуяы оммиако кок сдункчия часн)оты. отклонениях частоты снова не достигает заметной величины. Почти вся площадь под кривой лежит в пределах ~ я~Т. Можно покааать [с помощью формулы ) (з!пгх/хг)сгх=-я~, что ялощадь под кривой равна 2я(Т н совпадает с площадью выделенного штрихованной линией прямоугольника.
Посмотрим, что зто дает для реального мазера. Возьмем разумное время пребывания молекулы аммиака в полости, скажем 1 мсек. Тогда для /о=-24 000 ЛХгц можко подсчитать, что вероятность падает до пуля при отклонениях У вЂ” го)/го= — 1гсг«Т т. е. порядка 5 10 ". Очевидно, что для заметных вероятностей перехода частбты должны очень точно совпадать с гоо. Этот аффект является исковой той болыпой точности, которой можно достичь в «атомных» часах, работающих на принципе мазера. ф 6. 11шлощенте свет»»а Наше изложение применимо и к более общему случаю, чем аммиачный мазер.
Мы ведь изучали поведение молекулы под влиянием электрического поля независимо от того, заключено оно в полость или нет. Просто можно было направить пучок «свет໠— микроволновой частоты — на молекулу и искать вероятность испускания или поглощения.
Наши уравнения ничуть не хуже применимы и к этому случаю, но только 171 лучше переписать их на языке интенсивности излучения, а не влектрического поля. Если определить интенсивность в как средний поток энергии через единицу площади в секунду, то из гл. 27 (вып. 6) следует ср =.еос ~8ХВ ~срса = 2 еав' (8ХВ)масс = 2еа~4о. (Максимум е7 равен 2фга.) Вероятность перехода принимает вид ( 4ггеайьгс Нт — соо) Тг с)~ Ооычно свет, освещающий подобную систему, не точно монохроматвчея. Поэтому интересно решить еще одну задачу— подсчитать вероятность перехода, когда интенсивность света на единицу интервала частот равна,$'(са) н покрывает собой широкую полосу, включающую ага.
Тогда вероятность перехода от )1) к !11) обратится в интеграл кг Р(1 — 11) =2л ( — ~ — ! Тг (,Р"(со), "„, г Ье. (7.54) (4не йгс Нт — ыа) 1' 2!' а -~ о Как правило, Р (ю) меняется с «г медленнее, чем острый резонансный фактор. Зтидве функции могут выглядеть так, как показано на фнг. 7.8.
В таких случаях можно заменить 'в'(аг) о(си) еь и г, У.в. с аевогральнал интенсивность йтбм) мажет бить представлена своим аниивнивм гери ыс. ее значением,У (ог«) в центре острой резонансной кривой и вынести из-под интеграла. Оставшийся интеграл — это просто площадь под кривой на фиг. 7.7, которая, как известно, равна 2п)Т. Мы приходим к результату Р(1 — 11)=.4я' ~ г —,~ аУ (эг«) Т. ( 4яе«гг»с (7.
55) 173 Это очень важный результат: перед налси обгг(ая теория пггглощения света любой молекулярной или апгомнои системой. Хотя мы вначале считали, что состояние 1) обладает более высокой энергией, чем состояние,'11 ), но никакие наши рассуждения от этого не зависели. Уравнепие (7.55) соблюдается и тогда, когда энергия состояния 1) нилсе энергии состояния )11); тогда Р (1-г-1Х) представляет собой вероятность перехода с поелогг(ением энергии от падающей электромагнитной волны.
Поглощение атомной системой света всегда предполагает, что имеется амплитуда для перехода в колеблющемся электрическом поле между состояниями, отлнчающямнся на энергию Е=-.ггг а»». В каждом отдельном случае она рассчитывается так же, как мы это проделали, и дает выражения наподобие (7.55). Поэтому мы подчеркнем следующие свойства атой формулы. Во-первых, вероятность пропорциональна Т. Иными словамп, существует ноизменная вероятность на единицу времени, что переход произойдет. Во-вторых, ага вероятность пропорциональна интенсивности света, падающего на систему.
В-третьих, вероятность перехода пропорционаяьна )»», где, как вы помните, (» 8 определяет энергетический сдвиг, вызываемый электрическим полем в7. По этой именно причине (гю" появлялось и в уравнениях (7.38) и (7.39) в качестве коэффициента связи, ответственного за переход между стационарными состояниями ~1) и )П ). Иными словами, для рассматривавшихся нами малых ю' член («юг есть так называемое «возмущение» в матричном элементе гамильтониана, связывающем состояния ~1) и (11). В общем случае )»ю заменилось бы матричным элементом (11~И(1) (см. гл.
3, 3 6). В гл. 42, з 5 (вып. 4) мы говорили о связи между поглощением света, вынужденным испусканием и самопроизвольным испусканием в терминах введенных Эйнштейном коэффициентов А и В. Здесь наконец-то в наших руках появляется квантовомеханическая процедура для подсчета этих коэффициентов. То, что мы обозначили Р (Х вЂ” »11) для нашей аммиачной двухуровневой молекулы, в точности соответствует коэффициенту поглощения В„в эйнштейновской теории излучения. Из-за сложности молекулы аммиака — слишком трудной для расчета — нам пришлось взять матричный элемент (11)Н~1) в виде («8 и говорить, что (г пзвлекается из опыта. Для более простых атомных систем величину (л„„отвечающую к произ- вольному переходу, можно подсчитать, исходя из определения р „8=(т1П~п)=гГ „, (7,56) где Н „— это матричный элемент гамильтониана, учитывающего влияние слабого электрического поля.
Величина н„„, вычисленная таким способом, называется электрическим дииольннм матричным элементом. Квантовомеханическая теория поглощения и непускания света сводится том самым к расчету этих матричных элементов для тех или иных атомных систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
