Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Мы говорим «ка)кроен»состояний», потому что, как вы помните, мы выбрали какое-то определенное состояние вращения с определенной внутренней энергией и т. д. И для каждых мыслимых условий подобного рода возникает (из-за возможности переворота молекулы) пара энергетических уровней.
Теперь поставим следующий вопрос. Пусть мы знаем, что при ~=0 молекула находится в состоянии (1), т. е. что С»(0)=4 ес я дгс ег дя 4 Я 4 4 Г в едоницок а/А сР и г. б.г. Рл — елРоЯлнность тто, члао,колелтола аммиака, наладившаяся нри С=О в состоянии )1>, будет обиаругаена в яо.кенси г тонге в состоянии (ГЛ; Рг — вероятность того, что она брдсал обнаружена в состоянии ~2>. и С,(0)=0. Какова вероятность того, что молекула будет обнаружена в момент Г в состоянии ф) или я'е что ояа окажется в этот момент в состоянии )с )? Наши начальные условия говорят нам, какими должны быть и и Ь в (6.50) и (6.51). Полагая г=0, имеем С, (0) = =-0.
С,(г)=.е- клл>к'сое —, д С (1) — е-ЯЛ> ° е1в —. Аг (6.52) (6.53) Величина обеих амплитуд гармонически изменяется во времени. Вероятность того, что молекула будет обнаружена в состоянии (4) в момент Г, равна квадрату модуля Св(Г): ) С, (с) (Я = е)пв — . Аг Й 149 Значит, а =-Ь= 1. Подставляя их в л(лормулы для С, (Г) н Ся(1) и вынося общий множитель, получаем л ебл л'" 4.е С, (Г) = е -Н~Л> вл'~ Г (лЧЛ) Ас е-КлЛ> Ас ч С (Г) =е-6/">в' ~ 2 Это можно переписать так: Она, как и следует, начинается с нуля, растет до единицы и затем колеблется вперед и назад между нулем и единицей, как показано на кривой, обозначенной Р, на фиг.
6.2. Вероятность остаться в состоянии !1) тоже, конечно, не остается равной единице. Она «перекачивается» во второе состояние до тех пор, пока вероятность увидать молекулу в первом состоянии пе обратится в нуль, как показано яа кривой Р, фиг. 6.2. Вероятность попросту переливается туда и обратно между этими двумя состояниями. Еще раньше мы видели, что бывает, если качаются два одинаковых маятника, слегка связанные друг с другом (см. гл.49 (вып.4)).
Когда мы отводим в сторону один из них и отпускаем, он колеблется, но затем постепенно начинает колебаться другой и вскоре забирает себе всю энергию. Затем процесс обращается, и энергию отбирает первый маятник. В точности то же самое происходит в здесь. Скорость, с какой происходит обмен энергией (быстрота просачивания «колебаний»), зависит от связи между маятниками. Кроме того, как вы помните, прп двух маятниках существуют два определенных типа движений (каждый с определенной частотой), которые мы назвали фундаментальными типами колебаний.
Если отклонить оба маятника вместе, они колеблются с одной частотой. Если же отклонить один в одну сторону, а другой — в другую, то появляется иной стационарный тип колебаний и тоже с определенной частотой. С тем же мы встретились и сейчас — молекула аммиака математически походит на пару маятников.
Существуют две частоты (Е»+А)~й и (Е,— А)/й, при которых они колеблются либо разом, либо навстречу друг другу. Сходство с маятником ненамного глубже принципа, что у одинаковых уравнений и решения одинаковы. Линейные уравнения для амплитуд (6.39) очень похожи на линейные уравнения для гармонических осцилляторов. (В действительности именно этой прпчике обязана успехом наша классическая теория доказателя преломления, в которой кваптовомеханический атом мы заменяли гармоническим осцяллятором, хотя классически неразумно говорить об электронах, циркулирующих вокруг ядра.) Толкнув атом азота в одну сторону, вы получите суперпоеииию этих двух колебаний и тем самым своеобразные биения, потому что система не будет находиться в том или ином состоянии с определенной частотой.
Однако расщепление уровней энергии молекулы аммиака — это строго квантовомехани ческий эффект. Расщепление уровней энергии молекулы аммиака имеет важные практические применения, которые мы опишем в следующей главе. Наконец-то у нас будет пример практической физической задачи, которую мы сможем понять при помощи квантовой механики! 150 Глава АИИИАЧИЫЙ ИАЗЕР !! !.(".огтояяня мою . ку,гь! аычязю! й 2,)!о.г.ьг;гз а свето.
'!гого>й ~ г!'К! г!! в!" ф 1. б'ос!!волго!!я лголем!глгм гьмлггпкп В этой главо мы хотим обсудить применение квантовой механики в одном практическом устройстве — в аммиачном мазере. Вас может удивить, отчего это мь! бросаем на полпути наше изложение формального аппарата квантовой механики и обращаемся к частной задаче.
Но позже вы увидите, что многие черты этой частной задачи сплошь н ридом встречаются и в оощей теории кваптовогл механики, так что детальное изучение задачи многому нас научит. Аммиачный назер — это устройство для генерирования электромагнитных волн. Его действие основано на свойствах молекулы аммиака, о которых вкратце говорилось в предыдущей главе.
Поэтому сначала мы подведем итоги тому, что нам уже известно. Молекула аммиака имеет много состояний. Но мы будем считать ее системой с двумя состояниями (двухуровневой); сейчас нас интересует лншь то, что бывает, когда молекула находится в любом заданном состоянии вращения нли поступательного движения.
Физическую модель этих двух состояний можно наглядно представить себе следующим образом. Если вращать молекулу аммиака вокруг оси, проведенной через атом азота перпендикулярно плоскости атомов водорода, как показано на фиг. 7.1, мы обнаружим, что существуют два сорта состояний, которые не переходят друг в друга прн таких поворотах н отличаются положением атома азота. Азот может быть либо по одну сторону плоскости атомов водорода, либо по другую.
Эти два состояния мы обозначаем !1) и !2). Их мы выберем в качестве совокупности базисных состояний в пашем анализе поведения молекулы аммиака. з,'!.г! р ! ! гб ов( ь~ .!.г! й б . ! ! в , о : ~ :!.. : в !5! гв и с. л.д Филииссиол моо ло загс йаонсииа состояний молину.си а имиииа. Эмил р ис ом дис ли~ос м м ими омам соссоолний рос- ии р. В системе с двумя базнсными состояниями любое состояние )ф) системы всегда может быть описано линейной комбинацией двух базисных состоянии; это значит, что существует определенная амплитуда Сд быть в одном базисном состоянии и амплитуда С, быть в дру гом. Вектор состояния с ф ) можно записать в виде (7.1) где Эта пара амплитуд меняется со временем согласно вашим гамильтоновым уравнениям — уразнеявям (6АЗ).
Используя симметрию двух состояний молекулы аммиака, мы полагаем Н„= — Н„= — Ь', н Н, -— -На, = — А н получаем такое решеяие (см. (Е).50) и (6.51)): С =- —, с-<лч "д <во-а1с+ —,е-воз~<в л "д', а .. Ь 'г о С. =- — с-надж- ~> с — — а-ол"л ля сад л. а Ь а а (7.
2) (7.3) рйл Кинем теперь на этн решения более внимательный взгляд. Пусть сперва молекула была поставлена в состояние фгг), для которого козффициент Ь был равен нулю. Тогда при 1=0 амплитуды оказаться в состояниях )1) и ф) одинаковы и останутся шалили все время. Их фазы обе меняются во времени одинаково, с частотой (Е» — А)Ей. И точно так же, если бы мы поставили молекулу в состояние )ф,), для которого а=0, амплитуда С«равнялась бы С, с минусом, и это соотношение сохранилось бы навсегда — обе амплитуды менялись бы теперь во времени с,частотой (Е«-' А)/Ь. Это все состояния, для кот ь рых связь между С, и С«не зависит от времени; других возможностей пет. Мы нашли два частных решения, в которых амплитуды ке меялютсл по есепчине и, более того, фазы меняются с одинаковой частотой.
Это стационарные состоянию по определению, данному в гл. 5. 1 1, т. е. состояния с определенной энергией. Состояние ',фп) обзадает энергией Е„=-Е« — А, а состояние ~ф,) — энергией Е,=Е«А. Кроме этих, никаких стационарных состояний не существует, т. е. мы обнаруживаем, что у молекулы есть два уровня энергии, отличаю«цнеся на 2А. (Подразумевак~тся, конечно, лва уровня энергии для заданного состояния колебания и вращения, о которых говоритось в наших исходных допущеяиях.) * Если бы азот не мог перескакивать вверх или вниз, нам пришлось бы привять А равным нулю, и оба энергетических уровня (г, энергией Е«) налезли бы один не другой.
Истинные уровни не таковы; их среднее значение Е, но оки разведены на +-А, т. е. промежуток между энергиями двух состояний равен 2А, Поскольку А на самом деле мало, то и разинца в энергиях очень мала. Чтобы возбудить электрон внутри а~ома, требуются доволько высокие энергии, нужны фотоны оптического или ультрафиолетового диапазона. Чтобы возбудить вибрации молекул, требуются инфракрасные фотоны. Если речь идет о возбуждении ера«цекий, различия в энергиях состояний соответствуют фотонам в далокой инфракрасной области. Но разность энергий 2А меншпе их всех, меньше инфракрасных энергий, она приходится на микроволновой диапазон. Опытным путем было найдено, что существует пара уровней энергии с промежутком 10 «эе, что отвечает частоте 24000 Мгц. Это, очевидно, означает, что 2А-- —.г«1, где 1=24000 Мгц (отвечает волне длиной 1'/«см).
Значит, перед нами молекула с переходами, которые вызывают пспускание микроволн, а не свет в обычном смысле. Для дальнеишей работы нам понадобится немного более удобное опиеэние этих двух состояний с определенной энергией.
Пред«тэвим, что мы постронлн амплитуду Сп из суммы двух чисел С, и С: Сг, =-С, +С, =<7!Е>+<2 ~«Р). (7.4) Что бы это могло овначать? Очень просто: это амплитуда того, «В дальнейшем полезно (к читан, в произнося вслух) отлвчать арабские 1 в 2 к римские 1 в 11.мы считаем, что удобно лля арабских пяфр резервировать вазвавкя «овне« и «два«, а 1 в П читать как «первыйэ, «второйэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
