Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(Й лаборатории обычно одна частица покоится, другая же вылетает из ускорителя, которыя по атомным масштабам пребываот в бесконечности.) Они сталкиваются, и в итоге появляются, скажем, два К-назона, шесть я-мозонов и два нейтрона с определекпыми импульсами и определенных направлениях. Какова амплитуда того, что зто случится? Математика здесь выглядят так. Состояние ~р отмечает спины в импульсы сближакзщнхся частиц. А )( — зто сведения о том, чтб получается в конце. К примеру, с какой амплитудой вы получите шесть мезонов, идущих в таких-то н таких-то направлениях, а два нейтрона, вылетающих вот в зтих направлениях п со спинами, торчащими так-то и так-то.
Иными словами, )( отмечается заданием всех импульсов, спиноз и т. п. конечных продуктов. И вот работа теоретика состоит в том, чтобы подсчитать амплитуду (6.27). Однако на самом деле его интересует только частный случай, когда Г,= — со, а ге=-+ос.
(У нас не бывает зкспсримснтальных данных о детальном ходе процесса, известно только, что во1пло н что вышло.) 11редельный случай У (~ю ~,) при ~,— — оо и ~,— «+со обозначается буквой Я; теоретик нуждается в величине <Х~8! 9>. Или, если пользоваться формой (6.28), ему нужно вычислить матрицу <1~8,'1>, называемую Я-.ватрицей. Стало быть, если вы увидите физика-теоретика, который меряет шагами комнату и говорит: «Мне нужно только вычислить Я-матрицу», — то вы теперь уже будете понимать, над чем он ломает голову.
Как анализировать Б-матрицу, т. е. как указать законы для нее,— вопрос интересный. В релятивистской квантовой механике при высоких энергиях это делается одним способом, в нерелятивистской же квантовой механике — другим, более удобным. (Он годится и в релятивистском случае, но перестает быть таким удобным.) Состоит он в том, чтобы вывести О-матрицу для небольших интервалов времени, т. е. для близких гз и 1,.
Если мы сможем найти последовательность таких О для последовательных интервалов времени, то сможем проследить за тем, как все меняется в зависимости от времени. Сразу же ясно, что для теории относительности этот способ не очень хорош, потому что не так уж просто указать, как «одновременно» все всюду выглядит. Но ие стоит нам думать об этом; нашей заботой будет только керелятивистская механика. Рассмотрим матрицу 6' для задержки от г, до г„где болыпе 8ю Иными словамп, возьмем три последовательных момента: г,меньше гю 1, меньше 8з Тогда мы утверждаем, что матрица, которая тянется от Г, до Гз, получается лераккожением подряд всего того, что происходит при задержке от до 8ю и затем от ~,до ~ю Это в точности то же самое, что было с двумя последовательшзми приборами В и А.
Тогда, следуя обозначениям, принятым в гл. 3, з 6, мы можем написать О (юю Р,) = С (~ю гз) У (ею гД. (6.30) Иначе говоря, мо;кно проанализировать любой интервал времени, если мы умеем анализировать последовательность промежуточных коротких интервалов. Мы просто перемножаем все куски; это и есть с~особ нерелятпвистского анализа квантовой механики. Итак, задача состоит в том, чтобы узнать матрицу сг(Гз, Гз) для бесконечно малого интервала времени — для ге=1,+Лг. Спросим себя: если сейчас у нас есть состояние ~р, то как оно будет выглядеть через бесконечно малое время Лг? Посмотрим, как эсо можно расписать. Обозначим состояние в момент через (ф(г)> (мы указываем зависимость ф от времени, чтобы было совершенно ясно, что речь идет об условиях в момент ~).
Теперь зададим вопрос: каково будет положение вещей через короткое время Л1? Ответ таков: ~ Ф (г + ЛО)> = О (г + Л С г) ~ Ф (~) > (6.3() Здесь имеется в виду то язе, что и в (6.25), а именно, что амплитуда обнаружить у в момент 1+ Л~ есть <)( ! ~Р (г+ Лг)> ---. <)( ( О' (г+ ЛС г) ( ф (г)>. (6.32) Поскольку мы еще не очень хорошо разбираемся в этих абстрактных вещах, то давайте спроецируем наши амплитуды в определенное представление.
Умножая обе части (6.31) на <г'), получаем <) ~ ф(й+М)>=<ю /б'(й+Лг, г) /ф(М)>. (6.33) $41 Можно также разложить и ~ф(1)> на базисные состояния и написать <1 ! ар (1+ Л1) > =- ~ <1 ! 17 (1+ Л1, 1)! 1> <1 ! ар (1) >. (6.34) 1 Понять зто можно так. Если через С,(1) = — ( цфг) ) обозначить амплитуду пребывания в базисном состоянии 1 в момент ц то можно считать зту амплитуду (помните, зто просто число!) меняющейся во времени.
Каждое С; становится функцией времени 1. Кроме того, у нас есть информация о том, как амплитуды С; меняются во времени. Каждая амплитуда в момент (1+Л1) пропорциональна всем прочим амплитудам в момент 1, умноженным на ряд коэффициентов. Обозначим У-матрицу через П„, считая, что Г„=. <с) У )1>. Тогда (6.34) можно записать так: Вот как будет выглядеть динамика кваятовой механики. Нам пока мало известно об С к Мы знаем только, что при Л1, стремящемся к нулю, ничего йе должно произойти, просто должно получиться начальное состояние.
Значит, 11н-+-( и (1о — «О при 1~=1. Иными словами, Уб — ьб„при Л1-+.О. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что йри малых Лг каждый из 17,. обязан отличаться от б;, на величину, пропорциональную ЛЦ так что можно писать Г,, =- б, <и К„ЛС (6.36) Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэффициентов К; выносят множитель ( — 1/Й) е; предпочитают писать б', (1+ Л Ц 1) = б„— — .Ч„(1) Лг. (6.37) Это, разумоется, то >ке самое, что и (6.36). Если угодно, зто просто определение коэффициентов 110(1).
Члены О; — это как раз производные яо 1, от коэффициентов У1 (1„1,), вычисляемые при Подставляя в (6.35) этот вид У, получаем (6.38) * Здесь иеболыпаи иеириитиость с обаэиачеииими, В этом миожителе 1 означает миямую единицу Р— 1, а не индекс 6 отиосищийся к 1-му базисному состоииию1 Надеемся, это ие слишком смутит вас. !Л2 Суммируя члены с 6<, получаем просто С<(!), что можно перенести в другую сторону уравнения. После деления на ЛГ мы распознаем в этом производную ~<(<+л<) сг(<) ~х Н ( ) С ( /лг г или ггл г() =,)'„Нгг(Г)С (!). / Вь< помните, что С,(!) — это амплитуда (<)ф) обнаружить состояние <(/ в одном вз базисных состояний г (в момент г).
Значит, уравнени< (6.39) сообщает нам, как каждый из коэффициентов ( <<<<)/) мевяетгя со временем. Но это все равно, что сказать, что (6 ЗУ) сообщает нам, как со временем меняется состояние ф, раз мы описываем ф через амплитуды ( г !ф ). Изменение ф со временем описывается через матрицу Н<п которая, конечно. должна включать все то, что мы делали с системой, чтобы вызвать ее изменения. Если мы знаем матрицу Н;;. которая содержит в себе всю физику явления и может, вообще говоря, зависеть от времени, то у нас есть полное описание поведения системы во времени.
Таким образом, (6.3У)— это квантоеомеханический закон для динамики мира. (Ну/<<но сказать, что мы всегда будем выбирать совокупность базисных состояний, которые фиксированы и со временем не меняются. Иногда используют такие базисные состояния, которые сами меняются. Однако это все равно, что пользоваться в механике вращающейся системой координат, а мы не хотим входить в подобные тонкости.) ф' <ы Геьггггггьтггог<овп .ипэггй/ггцы Идея, стало быть, заключается в том, что для квантовомоханического описания мира нужно выбрать совокупность базисных состояний г и написать физические законы, задавая патрику коэффициентов Н„. Тогда у нас будет все, что нужно,— мы сможем отвечать на любой возрос о том, чтб случится. Нам остается выучить правила, по которым находят 11 в соответствии с данной физической обстановкой: какое П отвечает магнитному полю, какое электрическому и т.
д. Это самая трудная часть дела. К примеру, для новых странных частиц л<ы совершенно не представляем, какие Н<х употреблять. Иными словами, никто ие знает полнозо Нг, для всего мира. (Иастично трудность заключается в том, что едва ли можно надеяться на открытие Ноо раз никому не известно, каковы базисные состояния!) Мй действительно владеем превосходными приближениями для нерелятивистских явлений и некоторых других 143 особых случаев. В частности, мы знаем вид Ноо требуелпгй для движений электронов в атомах — для описания химии. Ио мы не знаем полного, истинного Н для всей Вселенной. Коэффициенты Н,, называют гамильтоновой матрицей, или, короче, просто гамильтонианом.
(Как получилось, что Гамкльто, работавший в 30-х годах прошлого века, дал свое имя квантоэомеханической матрице, — история длинная.) Много луч1пе было бы называть ее энергетической матрицей по причинам, которые станут ясны, когда мы поработаем с ней. Итак, все сошлось па гампльтонпане. Нак угнать гамильгаониан— вот в чем запрос! У гамильтониана есть одно свойство, которое выводится сразу же: (6.40) Это следует вз того, что полная вероятность пребывания спстеь1ы сеть в каком-то состоянии не дол>ива меняться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
