Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если вначале у вас была частица (или любой объект, или весь мир), то с течением времени она пропасть не может. Полная вероятность ее гдг-то найти равна что пе должно моняться со временем. Если зто обязано выполняться для любого начального условия ц, то уравнение (6.40) тоже должно соблюдаться. В качестве первого примера возьмем случай, когда физические условия не меняются со временем; мы имеем в виду внгшиг физическое условия, так что Н ве зависит от времени, кш'акпх магнитов никто ве вклн1чает и не выключает. Выберем также систему, для описания которой хватает одного базисного состояния; такое приблингение годится для покоящегося атома водорода п сходных систем. Уравнение (6.39) тогда утверждает, что (бэ41) Только одно уравнение — н все) Если Н„постоянно, это дифференциальное уравнение легко решается, давая С,=(сопзг) г-"!"1п '.
(6.42) Так зависит от времени состояние с определенной энергией Ь'=Нп. Вы видите, почему Н,; следовало бы нааывать энергетической матрицей: она обобщает понятие энергии на более сложные случаи. Вслед аа этим, чтобы еще лучше разобраться в смысле уравнений, рассмотрим систему с двумя бааисными состояниями. 144 Т<сгд» (6.3У) читается так: Если все Н опять не зависят от времени, то зги уравнения легко р<а<и<ь. Для интереса займитесь о<им сами. а мы позже с ще зернемся к кии.
Вот вы уже л может< евстп расчеты оо кванзов<сй механике. зь.ся об гХ только то. -<о оно яе завлсит от взгк<.ни! ф Гд сго,<с'с;уь<с< и кмннна Топ<.рь мы х< пм продемонстрировать, как динамическое ;р.*свиенке квантовой механики может быть использовано для и игзвпя каког.-г. физпчегкой обстановки.
Мы выбрали интересный и простой пример. в котором, сделав пекотьр«е разумные предположения о гамильтониак .. смо:кем вывести и с<-кги<ие важны< (и даже прзктик сии важные) роз)льтаты. Возьмем случай. когда доп<аточно двух состояний.— гно х<олекула аммиака. Молекулу аммиака ооразуют один атом азота и три атома водорода, плоскость которых проходит мимо атома азота, так что молекула имеет форму пирамидки (фиг.
6.1, л). Вта молекула как к всякая другая. обладает бескояечныы количествои согтояиий, <)ва мо кет вращат< ся вокру~ какой угодно оси; джматься з любом направлении, вибрировать я т. д. и т. и. Зна шт, зто ь <зсе не система с двуь<я сосзояниями. Но мы сделаем следуюи<ее приближение: предположим. что все прочно гт<чк с<и свой<сам закреплены и не связаны с теми. которые нас гелчас интер<суют.
Будем с.ч«тать. что молекула може" <олько красоваться вокруг оси симметрии (как показано на рисунке), что импульс ее переносного дви;кения равен пуп<о и что есз колебания очень слабы. Это фиксирует все условия, кроме одного: длл атома азота все егне сук<вслтвуют ссва возмолгных гсояожгнил -- он может оказаться по одну сторону плоскости атсн<ов водорода, а з<оя<ет оказаться и но другу<о (фиг. 6.'!).
Так что мы будем рассуждать о молекуле. как если бы она была систем<а с дв<мя состояниями <)од зтяы подразумевается, что существуют только двз состояния, о которых реально следует заботиться, все же прочее предполагается зафиксированным. Как видите. еслк даже известно. что молекула вращав<си вокруг оси с определенным моментом количества движения п что она движется с определенным импульсом и колеблется определенным образом, то все равно еще остаются два допустимых состояния, Будем говорить, что молекула находится в состоянии (с ',<, когда азот <вверху» (фиг. 6Л, а) и в состоянии )в), когда азот авннзув (фиг.
6.1, б). Состояния <О гя ззз Ф и г. 6.е. 1(ва равноценных геожеенричее- ких раеноложенил леолеаулы аммиака. 1) ~1) и ~о) в нашем анализе поведения молекулы аммиака можно принять эа н совокупность базисных состояний. В каждьгй момент истинное состоя- Н нне ~ф) молекулы может быть предб и ставлено заданием С, == (1~ар ) — амплитуды пребывания в состоянии ~1 ) н С,=- (р~ф) — амплитуды пребывания з состоянии,'-').
Тогда, используя (6.8), вектор состояния ~'ф) можно зашюать так: (6. 44в) или Но вот что интересно: если известно, что молекула в определенный момент была в определенном состоянии, то в следующий момент она может уже не быть в том же состоянии. Два С-коэффициента меняются со временем в соответствии с уравнениями (6.43), которые верны для любой системы с двумя состояниями. Предположим, к примеру, что вы сделали какое-то наблюдение (или как-то отобрали молекулы), так что знаете, что первоначально молекула находилась в состоянии ~1).
Чуть позже уже появляются некоторые шансы засечь ее в состоянии й). Чтобы узнать, сколь велики зги шансы, нужно регпить дифференциальное уравнение, которое говорит, как амплитуды меняются со временем. Единственная трудность в том, что мы не знаем, чтб ставить вместо коэффициентов Н<,. в (6.43). Ио кое-чтомы все желеозевем сказать. Предположим, что, если уж молекула оказалась в состоянии ~1 ), тогда у нее не будет никакого шанса когда-либо попасть в состояние ~2). И наоборот. Тогда Н„и Нв, будут оба равны нулю, и (6.43) примет вид Эти уравнения легко решить; получается С =(сопзЦе Пг">и ' С =(сопзЦе 64~ни. (6.45) 446 (6.46) (6.47) Эти уравнения достаточно просты и могут быть решены разным путем.
Удобно решать их так. Складывая их, по- лучаем с решением С +С = ае-ц!") от — а~'. з 2 Вычитая аатем (6.47) из (6.46), получаем (6.48) т47 Это просто амплитуды сшакиокарных состояний с энергиями Н,=Ны и Е,=Нио Еще мы внаем, что у молекулы аммиака состояния )11 и )2) обладают определенной симметрией. Если природа ведет себя более или менее разумно, то матричные элементы Н„и Х„должны равняться друг другу.
Мы обозначим их через Е„потому что они соответствуют энергии, которой обладали бы состояния, будь Н„ и Нм равны пулю. Но (6.45) не отражает того, что на самом деле бывает с аммиаком. Оказывается, что аммиак имеет возможность протолкнуть свой азот мимо трех водородов и перебросить его по ту сторону. Это очень трудно: чтобы азоту пройти полпути, нужна немалая энергия. Как же он может пройти на другую сторону, если он не располагает достаточной энергией? Просто имеется некоторая амплитуда того, что он проникнет сквозь энергетический барьер.
В квантовой механике разрешается быстро проскакивать через энергетически нелегальную ооласть. Стало быть, существует небольшая амплитуда того, что молекула, начав с состояния ~1), перейдет в состояние ~й). Коэффициенты Н„и Нм на самом деле не равны нулю. И опять из симметрии ясно, что они должны быть одинаковы, по крайней мере по величине. И действительно, мы уже знаем, что вообще Ны равняется комплексно сопряженной величине Нд, т. е.
они могут отличаться только фазой. Оказывается, как вы потом увидите, что без потери общности можно положить эти коэффициенты равными друг другу. Позднее пам будет удобнее считать их равными отрицательному числу; мы примем поэтому Н„=Нм= — А. Тогда получится следующая пара уравнений: что дает Ь,— пуз) )зд»А) ) » (6.49) Дзе постоянные интегрирования мы обозначили а и Ь; их надо выбрать так, чтобы получились подходящие начальные условия данной Физической задачи.
Наконец, складывая и вычитая (6.48) н (6.49). получаем С, и С: С»(8) = — —,е пнч) )ш-л))-)- — е-нй) ш, л)) (6 50) в » 2 С ()) = — е-():") ш -л)) — е-ц»))к, ю) а (6.5() 2 2 Ови отличаются только знаком прн втором слагаемом. Решения-то мы получили, по что они значат? (В квантовой механике трудность не только и том, чтобы получить решения, но н в том, чтобы разобраться в нх смысле!) Заметьте, что прн Ь=О оба решения обладают одинаковой частотой ю= — (ń— А)/л. Если все меняется с одной частотой, это значит, что система пребывает в состоянии с определенной энергией, в данном случае с энергией (Е» — А). Значит, существует стационарное состояние с такой энергией; в нем обе амплитуды С» и С равны друг другу. Мы приходим к выводу, что молекула ам.милка обладает определенной энергией (Е,— А), если для атома азота одинакова амплитуда оказатьсн «вверху» и «внизу».
Имеется другое допустимое стационарное состояние, когда а=О; тогда обе амплитуды обладают частотой (Е»+А)ф,. Значит, имеется другое со "тоянне с определенной энергией (Е +А), когда две амплитуды равны, но отличаются знаком: С,=- — С,. Вот н все состояния с определенной энергией, В следующей главе мы поговорим о состояниях молекулы аммиака подробнее; здесь же мы отметим еще только некоторые особенности. Ыы приходим к заключению, что )ю-га того, что имеется некоторая вероятность перескока атома азота из одного положения в другое, энергия молекулы равна не просто Е», как можно было ожидать, но обладает двумя энергетическими уровнями (Е;гА) и (ń— 4). Каждое нз возможных состояний молекулы„какую бы энергию оно нн имело, «рас)цепляется» на два уровня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
