Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Сложим поэтому оба уравнения, разделим на $' 2 и вспомним определения С, и С„из (7.$3). Получим ٠— "=(Š— А) Сы+рЩ'г (7.38) Вы видите, что это похоже на (7.9), но появился добавочный член от электрического поля. Равным образом, вычитая урав- нения (7.36), получаем Й вЂ”,'= (Е, + А) С, + 98Сп. (7.39) Вопрос теперь в том, как решить эти уравнения. Это труднее, чем прежде, потому что 8 зависит от Г; и действительно, при общем ей'(г) решение не представимо в элементарных функциях. Однако, пока электрическое поле мало, можно добиться хорошего приближения. Сперва напишем С, е «ха+«<<Ф, е «яр<<1 << С = у е « к9-з< <<1 = у е-<<вд><!".
(7.40) Если бы электрического поля не было, то, беря в качестве у< и уд две комплексные постоянные, мы бы получили правильное решение. Ведь поскольку вероятность быть в состоянии <1) есть квадрат модуля С,, а вероятность быть в состоянии ~11) есть квадрат модуля Сд, то вероятность быть в состоянии <1) или в состояпии <11) равна просто ! у««или ( уд<«. Например, если бы система начинала развиваться из состояния ~11) так, что у< было бы нулем. а ~ уд<« — единицей, то эти условия сохранились бы навсегда. Молекула из состояния <11 ) никогда бы не перешла в состояние <1). Польза записи решений в форме (7.40) состоит в том, что оно сохраняет свой вид итогда, когда есть электрическое поле, если только 1<8 меныпе А, только У, и УдпРи этом станУт медленно меняющимися функциями времени. «Медленно меняющиеся» означает медленно е сравнении с экспоиенциальными функциями.
В этом весь фокус. Для получения приближенного решения используется тот факт, что у, и уд меняются медленно. Подставим теперь С иа (7.40) в дифференциальное уравнение (7.39), но вспомним, что у тоже зависит от 1. Имеем 1я — г=К у е-<в<<<«+<в Уге — <к<<<1 ЫС -, Ы л„= Ш Дифференциальное уравнение обращается в К<у<<- Й вЂ” У<) е «<1> ей = Е у е-< лп вт'+ 1<еуу <е-<ч> вд<. (7 41) ( « д Равным образом уравнение для <(Сд/<11 обращается в Еду +Й У«)е «<1<вд<=Кт<уде-<<Юв«<+р8у е «l">к<<.
(7.42) (дд ™ еу« а 165 Обратите теперь внимание, что в обеих частях каждого уравнения имеются одинаковые члены. Сократим их и умножим первое уравнение на е «<к<«", а второе на е+<к«<'1. Вспоминая, что (Ег — Е,) =2А =я<о„мы в конце концов получаем ;я у| — 1<~ (1) еа«6<у (7.43) Й 'у«= р8(1) е-<"в<ум «< Получилась довольно простая пара уравнений — и пока еще точная.
Проиаводная от одной переменной есть функция от времени р8(г)е""о, умноженная на вторую переменную; производная от второй — такая же функция от времени, умноженная на первую. Хотя эти простые уравнения в общем не решаются, но в некоторых частных случаях мы решим их. Нас, по крайней мере сейчас, интересует только случай колеблющегося электрического поля. Взяв 8(~) в форме (7.37), мы увидим, что уравнения для у и уи обратятся в Й ~'=(о8 '(ек "л'+е ™ е '') у с~ о и (7.44) Й ~'-' = (о8о [ео — к+ е-й ' к)у,. "Уи ,Й И вот если 8, достаточно мало, то скорости изменения у, и уи тоже будут малы. Обе у не будут сильно меняться с о, особенно в сравнении с быстрыми вариациями, вызываемыми экспоненциальными членами.
У этих экспонен1щальных членов есть вещественные и мнимые части, которые колеблются с частотой ос+во или ю — юо. Члены с частотой ю+ооо колеблются вокруг среднего значения (нуля) очень быстро и поэтому не дадут сильного вклада в скорость изменения у. Значит, мояоно сделать весьма разумное приближение, заменив эти члены вх средним значением, т. е, нулем. Их просто убирают и в каче.
стае приближения берут Й вЂ” Уг = р8 е 'зо """у щ — о и (7.45) ~ф уоо р8 е и» оь1~у Ио = о ' и Но даже и оставшиеся члены с показателями, пропорциональными (ю — соо), меняются быстро, если только оо не близко к ооо. Только тогда правая сторона будет меняться достаточно медленно для того, чтобы набежало большое число, пока интег. рируешь эти уравнения по и Иными словами, при слабом электрическом поле изо всех частот иредставляоот важность лишь те, которые близки к юо.
При тех приближениях, которые были сделаны для того, чтобы получить (7.45), эти уравнения можно решить и точно; но работа эта все же трудоемкая, и мы отложим ее на другое время, когда обратимся к другой задаче того же типа. Пока же мы их просто решим приближенно, или, лучше сказать, найдем точное решение для случая идеального резонанса оо=ооо и приближенное — для частот близ резонанса. Щ А Переходы тари резонансе Первым рассмотрим случай идеального резонанса. Если положить о=о>ю то экспоненты в обоих уравнениях (7.45) станут равными единице, и мы просто получим луп п~~, с~ Гу! !рго — У и' (7.46) Если из этих уравнений исключить сперва у„а потом у„, то мы увидим, что каждое из них удовлетворяет дифференциаль- ному уравнению простого гармонического движения (7.47) Р„=!ул~ — з 2 ' 2 И~О (,Х) ' (7.50) Пока 8 мало и пока мы находимся в резонансе, вероятности даются простыми колебательными функциями.
Вероятность быть в состоянии ~1) падает от единицы до нуля и возрастает опять, а вероятность быть в состоянии ~П) растет от нуля до единицы и наоборот. Изменение обеих вероятностей во времени показано на фиг. 7.5. Нечего и говорить, что сумма обеих вероятностей всегда равна единице; ведь молекула всегда находится в каком-то состоянии. !67 Общее решение этих уравнений может быть составлено из синусов и косинусов. Легко проверить, что решениями являются следующие выражения: у, =- а соз ( — ) г+ Ь Мп ( — '' Ф'о гила~ Уп —— КЬ соз ( Ро) С вЂ” га Мп (~ ") г, где а н Ь вЂ” константы, которые надо еще определить так, чтобы они укладывались в ту пли иную физическую ситуацию.
К примеру, предположим, что при г=0 наша молекулярная систома была в верхнем энергетическом состоянии ~1), а это требует (из уравнения (7.40)), чтобы у,=1 и уп=0 при ~=0. Для такого случая должно быть а=-1 и Ь=О. Вероятность того, что молекула окажется в том же состоянии ~1) в какой-то позднейший момент Г, равна квадрату модуля уе или Р,=-(у, ~'=сов' l ' — — ') г. ~З~ (7.49) Точно так же и вероятность того, что молекула окажется в состоянии ~11), дается квадратом модуля у,г.' 0 l л Г в вбс низах ка/срл~ Ф и в. тб. Вероятности обоих сосо~олина молекула акмиаяи в синусоидильном олектрииеском иоле. Положим, что прохождение через полость занимает у молекулы время Т. Если сделать полость как раз такой длины, чтобы было пВоТ(й=-п(2.
то молекула, ныряющая в нее в состоянии )1), наверняка вынырнет из нее в состоянии ~11). Если она вошла в полость в верхнем состоянии, то выйдет из полости в нижнем. Иными словами, ео энергия упадет, и зта потеря энергии не сможет перейти ни зо что другое, а только в механизм, который генерирует поле. Детали, которые помогли бы вам разглядеть, как именно энергией молекулы питаются колебания полости, не так уж просты; однако нам и не нужно все зти детали изучать, потому что имеется принцип сохранения энергии. (Мы могли бы, если бы это было нужно, изучить их, но тогда нам пришлось бы иметь дело с квантовой механикой поля в полости наряду с квантовой механикой атома.) Подытожим.
Молекула входит в полость, поле полости, колеблющееся с как рзз нужной частотой, индуцирует переходы с верхнего состояния на нижнее, и высвобождаемой энергией питается осциллирующее поле. В работающий мазер молекулы доставляют достаточно энергии для того, чтобы поддерживались колебания полости, ее хватает не только на то, чтобы возместить потери в полости, но и на то, чтобы небольшие избытки энергии извлекались из полости. Итак, молекулярная энергия превращается в энергию внешнего электромагнитного поля.
Вспомним, что перед входом в полость нам приходилось пользоваться фильтром, который разделял пучок так, что в полость входило только верхнее состояние. Легко показать, что, если бы мы начали с молекул в нижнем состоянии, процесс пошел бы в другую сторону и энергия от полости отбиралась бы. Если пустить в полость нефильтрованный пучок, то сколь- 168 ко молекул будет отбирать энергию от полости, столько же из них будет отдавать ей свою энергию, и в итоге ничего не случится. В настоящем мазере, конечно, не обязательно делать (рдоТ71) точно равным я/2. И при других значениях (кроме точных кратных я) существует какая-то вероятность переходов из состояния ~1) в состояние (11). Но при этих других значениях прибор уже не имеет к.
п. д., равного 100%; многие из молекул, покидающие полость, могли бы снабдить ее энергией, но не сделали этого. На самом деле и скорости молекул неодинаковы; они распределены по Максвеллу. Это означает, что идеальные периоды времени для разных молекул окажутся различными, и невозможно получить к. п. д., равный 100%, сразу для всех молекул. Вдобавок имеется еще одно усложнение, которое, правда, легко принять во внимание, но на атой стадии мы не будем им заниматься.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
