Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Итак, изучение простых систем с двумя состояниями(двухуровневых) привело нас к пониманию общей проблемы поглощения и испускания света, Глава (? ДРУ1'ИЕ СИСТЕ)МЫ С ДВУМЯ СОС ГОЯ!П1 ИМИ ф 1. 31оленуля7гный мои водорода В предыдущей главе мы обсудили некоторые свойства молекулы аммиака в предположенин, что это система о двух состояниях 1илн двухуровневая система). На самом деле, конечно. это не так — у нее есть множество состояний; вращения, колебания, перемещения и т. д., но в каждом из этих состояний движения следует гозорвть о паре внутренних состояний нз-за того, что атом азота может быть переброшен с одной стороны плоскости трех атомов водорода на другую.
Сейчас мы рассмотрим другие примеры систем, которые в том или ином приближении можно будет считать системами с двумя состояниями. Многое здесь будет приближенным, потому что всегда имеется множество других состояний, и в более точном анализе их следовало бы учитывать. Но в каждом из этих примеров мы окажемся в силах очень многое понять, рассуждая только о двух состояниях. Раз мы будем иметь дело только с двухуровневыми системами, то нужный нам гамильтониан будет выглядеть так же, как и в предыдущей главе.
Когда гамильтониан не зависят от времени, то известно, что имеются два стационарных состояния с определенными 1п >бычво разнымн) энергиями. В общем случае, однако, эгы будем начинать наш анализ с выбора базисных состояний (не обязательно этих стационарных состояний), таких, которые, скз:кем, имеют другой простой физический смысл. Тогда стационарные состояния системы будут представлены линейной комбинацией этих базисных состояний. 175 Для удобства подытожим важнейшие уравнения, выведенные в гл.
7. Пусть первоначально в качестве базисных состояний были приняты ~1) и ~2). Тогда любое состояние ~ф) представляется их линейной комбинацией: 1 р>=~1><1!ф>+~2><2) р>=~1>С,+~2>С,. (8А) Амплитуды С; (под этим подразумеваются как С„, так и С,) удовлетворяют двум линейным дифференциальным уравнениям Й ~~ Н' Сп / где и ц и 1 принимают значения т и 2. Когда члены гамильтониана Нех не зависят от ~, то два состояния с определенной энергией (стациояарные), которые мы обозначим ) ~Р ) = ~1) е-и'"'кю' и ($я) =-(П) е — и~голи', обладают энергиями У вЂ” 'Н / 1н Н 1 Н Н Е Н11+Н /[ Н На~э+и Н 2 Г, 2 Для каждого из этих состояний оба С имеют одинаковую зависимость от времени.
Векторы состояний ~1> и ~11>, которые отвечают стационарным состояниям, связаны с нашими первоначальными базисными состояниями ~1> и ~ 2> формулами (1) = (1) а, +! 2) вю ~ П) = ! 1) а, + ) 2) а,. (8А) Здесь а — комплексные постоянные, удовлетворяющие равен- ствам ! о,(э+~а, Р=), а! ~19 (8.5) аа Е~ — Нп ' ~а,)з+! а,)'=-1, а, Н„ (8.6) а' Еи — Н:. ' Если Н„и Н,з между собой равны, скажем оба равны Еа, а Н,з — — Йз1= — А, то Е,=Е,+А, Е„=Ее — А, и состоя- ния (1> и )П> особенно йросты: (8.7) !11> = — ((1>+) 2>1.
2 У2 т76 длгктрон ! ) гггх ~~ Лрроюяы '.~ГГ Ф и г. 8.1 Сооолрл ность бооосннх гостоянон дон дорс нротоноо и ног«трон«. .~гг ',г Ф 8 177 12,7«л 533 Эти РезУльтаты мы хотим тепеРь пспользоват«ч чтоо ы Рассмотреть ряд интересных примеров, взятых из хиппи и флшпьгь Первый пример -- это нон ьюлекулы водорода.
Положительно шонизпровашшя молекула ьодорода состоит нз двух протонов и одного электрона, как-то бегаклп«его вокру~ нпх. Каких состояний мо:кпо ожидать для этой светел«ы, еглв расстояние между протопамп велико" .Ответ вполно ясен: электрон расколол«ится вплотную к одному протону и образует атом водорода в его паинкзшем состоянии, а другсгй протон останется одкаочкой, положительным ионом. Значит, когда два протона удале ны друг от друга, то моокно себо наглядно представить одно физическое состояние, в котором электрон «придан«одному из протонов, Существует, естественно, и другое.
симметричное первому состояние, в котором электрон находится возле вгоРого протона, а ионом оказывается первый протон. Эту пару состояний мы и сделаем базисными, обозначив их (1 ) и ~ь'). Они показаны на фиг. 8.1. Конечно, на самом деле у электрона возле протона имеется множество состояний, потому по их комбинация может существовать а виде одного пз ьозбужденных состояний атома водорода. Но нас сейчас яо интересует ато разнообразие состояний, мы будем рассматривать лишь слУчай, когда атом водорода пребывает в напнпжпсм состоянии — своем основном состоянии,— и пренебрежем на время сштном электрона. Мы просто предположим*, что для всех наших состояний спин электрона направлен вверх по оси 3.
Чтобы убрать электрон нз атома водорода, требуется 18дб эо энергии. Столько гке ввергни — очень много по нашим тепеРешним масштабам — понадобится и на то, чтобы электрон оказался на полпути между протонами (коль скоро сами протоны сильно удалены друг от друга). Так что по классическим понятиям электрону немыслимо перескочить от одного протона к * До тех пор, пока вет сильных магнитных полей, это предположение. вполне удовлетворительно. Влияние магнитных полей ва электрон мы обсудим в втой жо главе позже, а очень слабы« сказовые эффекты я атоме водорода — в гл. 10.
другом», Однако в квант«кок механике это возможно, хоть и не очень вероятно. Существует некая малая амплитуда того, что электрон уйдет от одного протона к другому. Тогда в первом пр«блпж;нни каждое пз нзпшх базисных состояний ! Е) и )У) оудет имет энергию Е., равную просто сумме энергий атома водорода и протона. Матричные элементы Н„ и Н,» гам«льтонпака мы можем прннять првближенно равными Е,.
Дру-гие матричные элементы Н,» и Н,„представляющие собой агпьппуды перехода электрона тгда «обратно, мн опять эапшвем в виде — А. Вы видите, что это та же игра, в какую мы играли в последних двух главах. Если пренебречь способностью электрона перескакивать туда и обратно, то два состояния будут иметь в точности одинаковую энергию. Эта э«орган, одш1«о, раг1депляется на лгз э«ергетпчегкпх уровня вз-за гого, что электрон может «ереход«ть туда н наэа и и чем болипе вероятк ~сп «ерехода, тем болю«е расщепление. Стало быть, два з ровня энергии системы равны Е»+А и Л'„— А, и состояния, у к»торых такио энергии, чаются уравнениями (8.7).
Из пэп»его реви««я мы видим, что если прогон и водород ный ион как-то рас«ело«шпь близко один к другому, то электрон не останется подле одного протона. а будет и "рес«: кивать от гротона и протону и обратно. Если вначале он был близ одного из протонов, то затем оп начнет колебаться туда и назад между состояния»и,'1) и ~2), давая решение, меняющееся во времени. Чтобы получить решение, отвечаю цее самой нивкой энергии (которое не ме«яется со временем), необходимо, чтобы виачало система обладала одинаковыми амплитудами пребывания злоктрона возле каждого иа протонов.
Кстати, вспомнвго, что электронов отнн1дь не зва; мы совсем не утверждаем, что вокруг каждого протона «меется электрон. 11меется только одиь электрон, и это он п»юет одинаковую амплитуду (1Д'2 по велнчкне) быть в том или ином положении. Дальше, для алектрояа, котовый наход«топ близ одного протона', ампл«туда А оказаться близ другого зависит от расстояния между «ротовама.
Чем она олпже один к другому, тем больше амплитуда. Вы помп»пе, что в гл. 5 мы говорили об амплитуде «проникновения» электрона »сквозь барьер», на то «о класспче»киы канонам он не способен. Здесь то же самое поло«,енне дел. Амплитуда того, что электрон переберется к другому про»ону, спадает с расстоянием примерно по экспокекте (для больших расстояний). Раз вероятность, а следовательно, н зпаче«ие А прн сближении протонов возрастают, то возрастает н расстояние между уровнями энергии. Если сигтепа «э» п«пся в состоянии ~1), то энергия Е»+А с уменьшшп«л расстояния растет так, что эти квантовомеханические эффекты прьводят к силе отшалкиааяия, стремящейся раа- ви Ф и в, д.з. Энсргии двух стационарннх состояний иона Н, как функция рассвнояная мсжду двумя нротонаыи.
вести протоны. Если же сг.-вона пребывает в сов.опппп ~о~, то полная знерювл пря сблпжекпп прс опон у''ыдаеввк существует сила прюввллсеяия, подтьгпвающая протоны один к другому. Эти энергпи меняются с расстоянием мея.ду протонами примерно так, как показано на фпг. 8.2. Тгм самым у нас появляется кваптовомеханпческое обьясненио силы связи, скреплаощей ион Н» ° Однако мы позабылп об одной вещи. В дополнение к только что описанной силе имеется также электростатическая сила взаимного отталкивания двух протонов.
Когда оба протона очень удалены друг от друга (как на фиг. 8А), то «голый» протон видит перед собой только нейтральный атом, так что электростатической силой можно пренебречь. Прп очень тесных сближениях, однако, <голый» протон оказызаетая порой вэпутри» электронного распределгпия, т. е.
в среднем он ближе к протону, чем к электрону. Появляется некоторая добавочная электростатическая энергия, которая, конечно, положительна. Эта энергия — она тоже зависит от расстояния — должна быть включена в Ео. Значит, на ьво вгы должны прннятт почто нохожес на штриховую грп; ую па фиг. 8 с: евж быстро водны и.-".тся на расстояпкгх, и ньпп т, чом рнппус атома вод рода. Энергию переворота А надо вычесть п прибавтлг к этому ьто.
Коли зто сделать„то энергии Гв и ьвп будут меняться с межпротонным расстоянием яв, как показано на фиг. 8.3. (На рисунке»гы воспроизвели результаты более детальных выкладок. $79 оз ог ЬЕ ~н О/ 2 3 4 п,л г(г и г. 8.8. Уровни эн рени иона и, нок функция мегкнротонного расстояния В (ЕН=)3,6 эв). Межпротонное расстояние дано в ангстремах (1Л =- 10 ' сгз), а избыток энергии над протоном плюс водородным ионом дается в единицах энергии связи атома водорода, так называемых «ридбергах» (13,6 эв).) Мы видим, что состояние ~П) имеет точку минимума энергии — равновосную конфигурацию (условие наинизшей энергии) для иона Нэ .
Энергия в этой точке ниже, чем энергии отдельно протона и отдельно водородного иона, так что система связана. Отдельный электрон действует так, что скрепляет протоны. Химик назвал бы это «одноэлектрониой связью». Этот род химической связи часто также называют «квантовомеханическим резонансом» (по сходству с двумя связанными маятниками, о котором мы уже говорили). Но звучит это таинственнее, чем оно есть на самом деле; это только тогда «резонанс», когда базисные состояния с самого начала неудачно выбраны, как у нас и было! А если выбрать состояние ~1У), вы сразу получите напнизшее энергетическое состояние— и все.
Можно и по-иному объяснить, отчего энергия этого состояния должна быть ния;е, чем у протона плюс атома водорода. Представим себе электрон возле двух протонов, удаленных на определенное, но не очень большое расстояние. Вы помните, что электрон возле одиночного протона «размазан» из-за иринципа неопределенности. Он ищет равновесия, пытаясь раздобыть энергию пониже (низкую кулоновскуто потенциальную энергию) и не оказаться при этом сжатым в пространстве чересчур тесно, что привело бы к высокой кинетической анергии (иэ-за соотношения неопределенности ЛрЛх $). Если же протонов два, то будет больше места, где у электрона может быть низкая потенциальная энергия. Он может размазаться (сних2ая том самым свою квнетическую энергию), ие повышая при этом своей потенциальной знергии. В итоге его энергая ниже, чем в атоме водорода. Тогда почему же у другого состояния (1) энергия выше? Но заметьте, что это состояние есть разность состояний ~1) п )2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
