Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Следуя процедуре, принятой в предыдущсп главе, ыы примем 11ы-=-Ез-', ре', т1зт -- Ез — ыГ. (7 А4) Кроме того, предположим, что при интересующих нас электрических полях сами полн не сказывал>тся заметно на геометрии молекулы и, стало быть, на амплитуде того, что атом азота перепрыгнет пз одного положения в другое.
Поэтому можно принять, что 11„и 11з> ие нзменнлпсь, т. е. У> —..Ч„-: А. (7 А 5) 'Теперь с этими новыми значениями 11„надо решать гамильтоновы уравнения (6.43). Мы могли бы их решить просто, как делали это прежде, но поскольку нам не раз, видимо, предста* Очень жаль, но нзм прпдотся зззств поаоз обозначонво. Раз буквы р н д заняты у пзс нмпульсом н энэргнсй, то мы поостережемся опять обозначать нмн днпольный момент н элоктркчоокое поле. Напомним, что з этом параграфе р означает элезтиричсский днпольный момент.
358 вится случай решать системы с двумя состояниями, то давайте уж решим их раз и навсегда в общем случае проиавольного Н;, считая только, что со временем оно не меняется. Мы ищем общее решение пары гамильтоновых уравнений (7.16) Й вЂ” '= Не!С!+ Не,С,. (7.17) Зто линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Значит, всегда можно найти решения, являющиеся экспоненциальными функциями независимой переменной й Сперва отыщем решения, в которых С, н Се одинаково зависят от времени; возьмем пробные функции С =а е !"', С =азе-!о!!.
!= ! 2 Носкольку зто решение. отвечает состоянию с энергией Е=)гю, то можно прямо написать С =а е (4/")кс, != ! С! = а е-!!1е> и! (7.18) (7.19) где Е пока неизвестна и должна быть определена так, чтобы дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) выполнялись. При подстановке С, и С, из (7.18) и (7.19) в дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) производные дают просто — !Е/1г, умноженное на С, или С., так что слева остается попросту ЕС, или ЕС,.
Сокращая общие экспоненциальные множители, получаем Еа, =. У!!а, + Н!зае, или после перестановки членов (Š— Н„) а, — Н,,а, = О, (7,20) (7.21) У такой системы однородных алгебраических уравнений не- нулевые решения для а, и а, будут лишь тогда, когда опре- делитель, составленный из коэффициентов при а, и а„равен нулю, т. е, если Š— ̈́— Н„ — ̈́Š— Н„ (7.22) 159 Но когда уравнений два и неизвестных тоже два, то можно обойтись и без столь возвы!пенных представлений.
Каждое из уравнений (7.20) и (7.21) дает отношение двух коэффициентов а, и а, и эти два отношения должны быть равны. Из (7.20) мы имеем ~з ггм е — - гг„ (7.23) а из (7.21) а, Š— У7,„ а На, (7.24) Приравнивая этп отношения, получаем. что Е дол;кно удовле- творять равенству (Š— Н„) (К вЂ” Н,П вЂ” Н„Па = О. То же получилось бы и пз (7.22). В л.обок случае для Е получается квадрагное уравнение с двумя решеввямп: (7.25) Энергия Е мгжет иметь два зва еввя.
Эамегьте, гго оба ови есщестаечнм, потому что Н, в Н„вещественны, а Н сНю. равное Н, Н„=(Н„',а, тоже вещественно, да к тому же полоз<игольно. Пользунсь тем же соглашением, что и раньше, обозначим большую энергию Ем а меяьшую Егг 11моем (7.27) ) ф у=(1уе ~ г У и (ф у=(11)е п~' 1~ Подставив каждую из эткх энергий по отдельности в (7.1Е) и (7.19), получим амплитуды для двух ставнонарпых состояний (состояний определенной энергии). Если нет каких-либо внешних возмущений, то система. первоначально бывшая в одном из этих состояний, останется в нем навсегда, у пее только фаза будет меняться. Наши результаты можно проверить на двух частных случаях.
Если Нга=Иа,==.О, то получается Е,==Н„а Г„=-Ние А это бесспорно правильно, потому что тогда уравнения (7.16) и (7.17) не связаны и каждое представляет состояпие с энергией Нп и Нме Далее, положив Нн=-Ны==Еа н Нм=-.. 1м =- — Л, придем к найденному выше решеншо: Ег =а Еа+ А и Еп = Еа —.4. В общем случае два решения Ег и Е„относятся к двум состояниям; мы их опять можем назвать состояниями Ф и г. у.З. уровни энергии л~оленуем аммиака в влеетринеевом поле. Кривив поетроени по формовом (г Эву: К=П а т А"1 иве У зтих состояний С, и С, будут даваться уравнениями (7Л8) и (7.19), где а, н а, еще подлежат определению.
Их отношение дается либо формулой (7.23), либо (7.24). Опи доляены также удовлетворять еще одному условию. Если известно, что система находится в одном из стационарных состояний, то сумма вероятностей того, что она окажется в ~1) или )2), должна равняться единице. Следовательно, ~С,Р+~С,~ =1, (7.28) или, что то же самое, )а !'+)а,"=1. (7.29) Эти условия не определяют и, и ат однозначно: остается еще произвол в фазе, т. е, в множителе типа е~~, Хотя для а можно выписать общие решения *, но обычно удобнее вычислять их в каждом отдельном случае. Вернемся теперь к нашему частному примеру молекулы аммиака в электрическом поле.
Пользуясь значениями геы, в Например, как легко убедиться, одпо из допустимых решений имеет вид Нег Š— Н„ ав= ав —— ((Š— Еы)'+Емнве) ' ПŠ— Евв)'+Егвявг) ' 11 ла ьвз Ф и г. 7.3. Лучок .чолекул и ч.нинки лвожет быть ригделен глектричеекнч полам, о ноторо.ч бг облодотн гридиентом, перпенди>нлнрны.ч пучку. П,„и 11в пз (7Аб) к (?.15), мьг получим для зверпив двух стационарных состояний вырзвкения Е,.—: Е, К)ГАг+ реР, Еи —.Е,— Р'А + р,дг. (?лбо) Этн две энергии кзк функции напряя;енности 8 электрического поля изображены на фиг.
7.2. Когда электрическое поле нуль, то энергии, естественно, обращаются в Ее~А. Прн наложении электрического поля расщепление уровней растет. Сперва прн малых во оно растет медленно, но затем может стать пропорциональным 8. (Эта линия — гипербола.) В сверхснльных полях энергии попросту равны Е! = Ее + ув8 = Нвв, Е„=Ее — )в4=1!гк (?Л) 7'от факт, что у азота сувцествует амплитуда переброса вверх — вниз, малосувцествен, когда энергии в этих двух поло- жених сильно отличаются. Это интересный момент, к которому мы позже еще вернемся.
Теперь мы наконец готовы понять действие аммиачного мазера. Идея в следующем. Во-первых, мы находим способ отделения молекул в состоянии ~1) от молекул в состоянии (11) *. Затем молекулы в высшем энергетическом состоянии ~~1) пропускаются через полость, у которой резонансная частота равна 24000 Мгц. Молекулы могут оставить свою энергиво полости (способ будет изложен позже) и покинуть полость в состоянии ~11). Каждая молекула, совершившая такой переход, передаст полости энергию Е=Е,— Еи.
Энергия, отобранная у молекул, проявится в виде электрической энергии полости. Как н'е разделить два молекулярных состояния? Один способ такой. Аммиачный газ выпускается тонкой струйкой и проходит через пару щелей, создающих уакий пучок (фиг. 7.3). " Теперь мы опять будевв писать ( 1> и ( 11 э вместо ~ ч(вв ) и ( чупу. Вы должны вспомнить, что яастоящие состояния ) ф,> и ~ ф,вг суть эиергетичесъие базисные состояявя, умноженные на соответствующий экспоиеяниальяый множитель. 162 Затем пучок пропускается через область, в которой имеется сильное поперечное электрическое поле. Создагощие поле электроды изогнуты так, чтобы электрическое поле поперек пучка резко менялось.
Тогда квадрат 8 8 электрического поля будет иметь большой градиент, перпендикулярный пучку. А у молекулы в состоянии )1) энергия с 4"'г растет, значит, эта часть пу и'а отклонится в область меньпшх ю'г. Молекула же в состоянии ~11), наоборот, отклонится к области, гдо Ег побольше, потому что ее энергия падает, когда 8г растет.
Ксгати, прп тех электрических полях, которые удается генерировать в лаборатории, энергия )г8 всегда много меаьше А. Б атом случае корень в уравнении (7 ЗО) приближенно равен 1 ргвг') А" г ' (7.32) Во всех практических случаях энергетические уровни, стало быть, равны Ег — -Ео+А+ 'А (7.33) Еп= Ео (7.34) и энергии с 8г меняются линейно. Действующая на молекулы сила тогда равна рЖ". ХА (7.35) Энергия в электрическом поле у многих молекул пропорциональна о'. Коэффициент — это поляризуемость молекулы. 11олярпзуемость аммиака необычно высока: у него А в знаменателе очень мало. Стало быть, молекулы аммиака очень чувствительны к электрическому полю. ф 11.
11в1геходы в иоле, навмсльцегя оиг ауге.ггегги газ В аммиачном мазере пучок молекул в состоянии )1) и с энергией Е, пропускается через резонансную полость, как показано на фиг. 7.4. Другой пучок отводится прочь. Внутри полости существует меняющееся во времени электрическое поле, так что нашей очередной задачей явится изучение поведения молекулы в электрическом поле, которое меняется во времени.
Это совершенно новый род задач — задача с гамильтонианом, меняющимся во времени. Раз Н; зависит от 8, то и Нг~ меняется во времени, и нам надлежит определить поведение системы в этих обстоятельствах. ,улеитрииесаое т — -~" оу Ф и г. Г.4. С селите ~есаас игибрагаеиие аллгиаеииги ггигера. Для начала выпишем уравнения, которые нужно решитгп Й вЂ”,' = (Еа+ р8) С~ АСг* Й вЂ” „= — АСг+ (Еа — р8) Сг. (7.36) Для определенности положим, что электрическое поле меняется синусоидальво; тогда можно написать 8=-2гйасозизГ =.ага(еги'+е ""г) На самом деле частота ге берется всегда очень близкой к резонансной частоте молекулярного перехода та=2А/Ь, но пока мы для общности будем считать ги произвольной. Лучший способ решить наши уравнения — это, как и прегкде, составить из С, и С, линейные комбинации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
