Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 30
Текст из файла (страница 30)
что состояние ~Ф) окажется в новом состоянии ~11), в котором амплитуды первоначальных базисных состояний равны между собой. Иначе говоря, когда мы пишем Сн-— - <П ~Ф ), то мы вправе абстрагироваться в уравнении (7.4) от ~Ф ), поскольку оно выполняется при любых Ф, и писать <111=<11+<й!' зто означает то же самое, что и ) 11) = ) Е) -(- ~ Г) . (7.5) Амплитуда того, что состояние ~П) окажется в состоянии ~1 ), равна <1 ~ 11> =- <Е! 1) -+ <Е 1 й>, а зто, конечно, равняется просто единице, поскольку и ~1), и ~2) суть базисные состояния.
И амплитуда обнаружения состоянии ~11) в состоянии (3> тоже равна единице, так что у состояния ~П) одинаковы амплитуды оказаться в каждом из базисных состояний (1) и ~2). Но тут всплывает новая трудность. У состояния (11) полная вероятность оказаться то ли в одном базисном состоянии, пго ли и другом получается болшле единицы. Но зто всего лишь означает, что вектор состояния неудачно «отнормирован». Чтобы исправить дело, надо вспомнить, что всегда для любого состояния обязано быть (11~П)=.т. Использовав общее соотношение полагая, что и Ф, и т суть состояние 11, и суммируя по базисным состояниям )1) и (2), получаем 411 ( 11) = <11 ! 1> < Е ( 11) + <П ! 2) <Р ! 11). Это даст, как положено, единицу, если мы изменим наше определение Сн (см.
уравнение (7.4)] и примем С„==(С,Ч С,(. У2 Таким же путем можно построить н амплитуду или (7.б) Эта амплитуда есть проекция состояния (Ф> на новое состояние ~ 1>, обладающее амплитудами противоположного знака, для пребывания в состояниях ~1> и )2>. А именно (7.6) оз- »54 начает то же самое, что и <1[= — '., [<1[-<У~ [, р-й или [1> = —.. [ [ 1> — [2>[, у'х' откуда следует <1~1>--- <2[1>=- — '. УГ' (7.7) Зачем все это нужно? С какой целью все это делается? Дело в том, что состояния [1> и [11> могут быть приняты за новую совокупность багисных состояний, особенно подходящую для описания стационарных состояний молекулы аммиака. Вьт помните, что требования к совокупности базисных состояний были таковы: <[)1> =-6, . Мы уже сами сделали так, чтобы было <1~ 1>.= <П [П> =1, Из (7.5) и (7.7) легко вывести, что и <1! П> =-<П[1> =О.
Амплитуды С,= — <1 [Ф> и Сн — — <П[Ф> того, что любое состояние ~ Ф> окажется в одном из наших новых базисных состояния [1> и ~11>, обязаны также удовлетворять гамильтонову уравнению вида (6.39). И действительно, если мы просто вычтем друг из друга два уравнения (7.2) и (7.3) и продифференцируем по ~, то убедимся, что с?ь — „' =(Еь+А) С,=-Е,С,.
А взяв сумму (7.2) и (7.3), увидим (7.9) Если за базисные состояния взять [1> и [П>, то гамильто- нова матрица очень проста: 11ь н=9, Нгпг= — 6 11гп ц=-~н Заметьте, что каждое иэ уравнений (7.8) и (7.9) выглядит очень похоже на то, что получалось в гл. 6, 5 6, для уравнения си- стемы с одним состоянием. Они дают простую зкспоненциаль- ную зависимость от времени, отвечающую определенной энергии, $55 С ростом времени амвлитуды пребывания в каждом пз состояний ведут себя независимо.
Найденные нами раньше стационарные состояния [ ф,) и [фы) тоже являются, конечно, ревсевиями уравнений (7.8) и (7.9). У состояния [з[>с) (для которого Ст= — Сз) С -- е-ссса> сл.+л> с С„= — О. (7.10) А у сост~янин [фсс) (для ко~эре~о С,=Се) Сн,„-ша>ск,-л>с (7.11) Пусть мы теперь умножили (7.10) на вектор состояния [1>; тогда получится [Ез(1[ф ) =-.[1>е-<"">св +~>'. Вспомним, однако, что [1>(1[=-1; значит, зто одно и то же, что сказать > 1>» — сс 6>(в~ л>с фс Иначе гож>ря, вектор состояния стационарного состояния [с[>с> не отличается от вектор» состояния базисного состоянвя [1> ничем, кроме экспоненциального множителя, связанного с энергией состояния.
И действительно, при с =-0 [Фс>=! 1>; физическая конфигурация у состояния [1> та же самая, что и у стационарного состояния с энергией Е„ФА. Точно так же для второго стационарного состояния получается > — [ 11'> с, Нсй> съ» л> с Состояние [11) — это просто стационарное состояние с энергией Š— А при >.--0. Стало быть, оба наших новых базисных состояния [1) и [11) физически име>от вид»остоянвй с определенной энергией, но с изъятым экспоневцнальным временным множителем, так что они могут быть приняты за базисные состояния, ве зависящие от времени. [В дальнейшем нам будет удобно не отличать стационарные состояния > ф,) и [ ф„) от их базисных состояний [1) и [ЕЕ), ведь различаются они только очевидными временными множителями.) Подведем итог. Векторы состояний [1) и [11) — зто парэ базисных векторов, приспособленных для описания состояний молекулы аммиака с определенной энергией.
Они связаны с нашими исходными базисными векторами формулами [1> = = [[1> — [2>[, [ ЕЕ> == [ [1>+ [2>). (7.12) )с 2 1/2 Амплитуды пребывания в [Е) и [11) связаны с С, и С, формулами С, = = [С, — С, [, С„=- = [С, + Г, [ (7.13) Всякое состояние может быть представлено линейной комбинацией ~1) и ~2) (с коэффициентами С, и Сгг или линейной комбинапией базисных состояний с определенной энергией )1) и )11) (с коэффициентами Сг и Сгг).
Итак, 1Е, = 1)С,+,У)С,, или |гр) =-' ,1) Сг+! 11) Сгг Вторая формула дает кам амплитуды обнаружить состояние ~Ф) з состоянии с энергией Е,.=Е,+А или в состоянии с энергией Л,,==.Е,— А. ф М. Молекулгг е етповиичегы>л злектп1гггчесггом поле Если молекула аммиака находится в любом из двух состояний определенноп энергии, а мы приложим к ней возмущение с частотой ю, такой, что Ьго=-К,— Е»-— — 2А, то система может перейти из нижнего состояния в верхнее. Илв опз может перейти из верхнего в нижнее к испустить фотон. Но для возбуждения таких переходов у вас должна быть физическая связь с состояниями — возможность возмущать систему.
Должен существовать какой-то внешний механизм влияния на состояния, нечто вроде электрического или магнитного поля. В нашем частном случае эти сосгоякия чувствительны к электрическому полю. На очереди, стало быть, у кас теперь проблема поведения молекулы аммиака во вкекгнем электрическом поле. Для разбора этого поведения вернемся опять к первоначальной базисной системе,:1) и (2) вместо,~1) я ~11). Предположим, что имеется электрическое поле, направленное поперек плоскости атомов водорода. Пренебрежем на мгновение возможностью переброса атома азота зэгрх или вниз к зададим вопрос: верно ли, что энергия этой молекулы в обоих положениях атома азота оудет одинаковой? Вообще говоря, нет.
Электроны стремятся к тому, чтобы находиться ближе к ядру азота, чем к ядрагг водорода, так что водороды оказываются слегка положительно заряженными. Насколько — это зависит от деталей расположения электронов. Каково это распределенке, то.гно представить очень трудно, но. вс всяком случае, окончательный результат состоит в том, что у молекулы аммиака есть электрический динольный момент, как показано на фиг.7.г. С его помощью можно продолжить дальнейщий анализ, не интересуясь деталями направлений или величин смегцений зарядов.
Впрочем, чтобы налги обозначения не отличались от общепринятых, предположим, что электрический дикольный момент равен р и направлен ат атома азота поперек плоскости атомов водорода. $57 Далее, когда азот перепрыгивает с одной стороны на другук>, то центр масс не перемещается, а электрический д>шольный момент переворачивается. В результате энергия в электрическом поле з> будет зависеть от орнентац>ш молекулы *. При сделанном только что допущении потенциальная энергия будет выше тогда, когда атом азота будет удален от плоскости водородов в т>аправленни поли, и виже, когда он удален в обратную сторону; проькжуток между обенмв энергппл>н будот равен 2р с7'.
До этого места мы вынуждены были делать предположения о том, чему раины Лз >т А, не зная, как подсчитать их. В соответствии со строгой физической теорией обязана существовать зоэм>окность нычисленпв этих констант, если известны положения в движения всех ядер н электронов. Но никто никогда не делал этого. В систему входит десяток электронов н четверка ядер, и задача чересчур сложна.
Факт остается фактом: о молекуле этой никто не знает больп>е того, что знаем мы с вами. И все, что всшыш может о ней сказать,— что в электрическом поле энергия двух состоянии отличается и разность энергий пропорциональна электрическому полю. Коэффициент пропорциональности мы обозначили 2р, но его величина должна определяться экспериментально.
Можно еще сказать, что молекула имеет амплитуду А перевернуться, но н она должна измернтьсн экспериментально. Никто не укажет нам точных теоретических значений )ь и А, потому что расчеты уж слиппгом сложны, чтобы честно нх проделать. Для молекулы аммиака в электрическом лоле наше описание придется изменить. Если игнорировать амплитуду переброса молекулы нз одной конфигурации в другую, то энергии двух состоянии '1) и ф) обязаны быть равны (Е„.>-(>б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
