Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Уравнение (6.9) вообще-то не очень полезно, но зато является неплохим напоминанием о том, что уравнение выполняется для любых двух состояний. ф М. Равлвэтсгимв ввк»»»от»вв свеи»оя»«мс« Посмотрим па уравнение (6.8) еще раз; его можно рассматривать следующим образом. Любой вектор состояния ср) может быть представлен в ниде линейной комбинации совокупности базисных «векторов» с кодходящнми коэффициентами, илсс, если угодно, в виде суперпозиции «единичных векторов» в подходящих пропорциях.
Чтобы подчеркнуть, что коэффициенты ( с (с~) — это просто обычные (комплексные) числа, напишем <1( сэ> =- Сг Тогда (6.8) совпадает с ( сс ) =- ~~'., ! 1) Сг (6.10) Такое же уравнение можно написать и для всякого другого вектора состояния, скажем для ~й), но, конечно, с другими коэффициентами, скажем с Пг Тогда будем иметь ~Х>- — -Х~ '>2)о (6.11) где Пс — -это просто амплитуды (1!)(). Представим, что мы начали бы с того, что в (6.1) абстрагировались бы от ср. Тогда мы бы имели <2~ =1<2~ >«~. (6.12) Вспоминая, что <)(! с) =(с ) )с) ", можно записать это в виде <К!=ХПс <'1. (6.13) А теперь интересно вот что: чтобы обратно получить <)()ср>, можно просто перемножить (6.13) и (6.10).
Только, делая это, надо быть внимательным к индексам суммирования, потому что они в разных уравнениях разные, Перепишем 132 сперва (6.13): <х!---Х)~; <Л. ! Это ничего не меняет. Объединяя с (6.10), получаем <й ! р > = Х 9; <! ! '> С;. (6.14) Вспомните, однако, что <) ! ~> =- бее так что в сумме останутся только члены с 7 = 1. Выйдет <)((,р> =~в,*Со (6.15) где, как вы помните, й; =<1!у>*-.= <у!1>, а С;=-<1!~р>. Опять мы являемся свидетелями тесной аналогии со скалярным произведением А В=-~А;В;.
Единственная разница — что 1>; нужно комплексно сопрягать. Значит, (6.15) утверждает, что если разложить векторы состояний <)(! и (~) по базисным векторам (1! или !1>, то амплитуда перехода из ~р в )( дается свое>о рода скалярным произведением (6А 5). А это просто (6.1), записанное в других символах. Мы ходим по кругу, привыкая к новым символам.
Может быть, стоит подчеркнуть, что в то время, как пространственные трехмерные векторы выражаются через три ортогональных единичных вектора, базисные векторы ! 1) квантовомеханических состояния должны пробегать всю совокупность, отвечающую данной задаче. В зависимости от положения вещей в нее может входить дза ялп три, пять или бесконечно много базисных состояний. Мы говорили также о том, что происходит, когда частицы проходят через прибор. Если мы выпустим частицы в определенном состоянии ~р, затем проведем их через прибор, а после проделаем измерение, чтобы посмотреть, находятся ли они в состоянии у, то результат будет описываться амплитудой <Х!А! р>. (6.16) Такой символ не имеет близкого аналога в векторной алгебре. (Он ближе к тензорной алгебре, но зта аналогия не так уж полезна.) Мы видели в гл.
3 (формула (3.32)), что (6.16) мозкно переписать так: <~ ! А ! ср> =- ~х.", <)1 ! 1> <1 ! А ! !> <7 ! ~р>. (6.17) н Это пример двукратного применения основного правила (6.9). 133 Мы обнаружили также, что если вслед за прибором А поставить другой прибор В, то можно написать <Х ~ В 1( р> — - Х <Х ~ 1> « ~ В ~ )> <1(А ~ й> <й ~ р> (6 16) ол Зто опять-таки следует прямо нз предложенного Дираком метода записи уравнения (6.9). Вспомните, что ме|кду В н А всегда можно поставить черту ((), которая ведет себя совсем кзк множитель единица.
Кстати говоря, об уравнении (6.17) лк|жно рассуждать и пначс. Предположим. что мы рассужда|м о частице, попадав|щей в прибор А в состоянии |р и выходящей нз него в состоянии зр. Мы можем задать себе такой вопрос: можно лн на||тп такое состояние зр, чтобы амплитуда перехода от зр к )( тождественно совпадала | амплитудой <)((А ) |р)? Ответ гласит: да.
Мы хотим, чтобы (6.17) аамекплось уран~опием < Х ( 'р> =- Х < Х ~ Ь '.1 ~ зр>. (6.19) Конечно, этого можно достичь, осли взять <1! зр> =-- ~ <| ( А ()> <) ) |р> =- <| ! з1 ( |р>, (6.20) что н определяет собой зр. «Но оно не определяет собой зр,— скажете вы,—. оно определяет только <| ~ зр)ж Однако <| ~ зр) вге лег олрегзе.«кет зр; ведь если у вас есть все коэффициенты, связыва|ощие |Р с базисными состонниями 1, то |Р определяется однозначно.
И действительно, можно поупражняться с нашими обозначениями и ааписать (6.20) в виде (6. 21) Л раз зто уравнение справедливо при всех 1, то можно просто писать ( ф) =,,", ) у) <7 ( А( гр). (6.22) Теперь мы вправе сказать: «Гостояние тр — зто то, что получается, если начать с г(| и пройти сквозь аппарат А». 1ьще один, последний пример полезных уловок. Начинаем опять с (6.17). Раз зто уравнение соблюдается при любых )( и |р, то их обоих можно сократить! Получаем * А = ~', ( |> <| ) А (7'> <7 ) .
(6.23) Ц * Вы ко>кете сказат|о что надо писать не просто А, но ~ А В 11о тогда ато будет похоже на символ «абсолютного значения Ал. Понто||у обычно черточки опускают. Черточка 0) вообще ведет себя очень похоже на множитель единица. 134 Что это значит» Только то, что получится, если вернуть на свои места «р и т. В таком виде это уравнение «недокончено» и неполно. Если умножить его «справа» нз )«~), то оно превращается в (6. 24) а это снова то же уравнение (6.22).
В самом деле, мы бы могли просто убрать из (6.22) все ) и написать (6.25) !ф>= А 1Ч». Символ А — зто не амплитуда н не вектор; это вещь особого рода, именуемая оператором. Он — нечто, что «опорируег» над состоянием, чтобы создать новое состояние; уравнение (6.25) говорит, что ~ф> -- это то, что получается. если А действует на ф«р>.
Это уравнение тоже нужно считать недоконченным, открытым, пока слева оно не умножится на какое-то «брэ», скажем на (~~ ), и не обратится в (6. 2Г1) <Х! р> =- <)( ~ А ) р>. Оператор А, разумеется, полностью описывается тем, что за дается матрица амплитуд ( « ~А~ ) >; ее также пишут в воде А; — через любую совокупность базисных векторов, Все эти математические обозначения на самом деле ничего нового не вносят. Единственный резон, почему мы их ввели,— мы хотели показать, как пишутся обрывки уравнений, потому что во многих книжках вы встретите уравнения, написанные в неполном виде, и нет причин вам пугаться, увидев нх.
Если вы захотите, вы всегда сможете дописать те части, которых пе хватает, и получить уравнение, связывающее числа. Оно будет выглядеть более привычно. Кроме того, как вы увидите, обозначения «брэ» и «кет» очень удобны. Прежде всего мы теперь сможем указывать состояния, задавая их вектор состояния. Когда мы захотим вести речь о состоянии с определенным импульсом р, то скажем: «состояние (р)». Или будем говорить о некотором произвольном состоянии ~зр>.
Для единообразия мы всегда, говоря о состоянии, будем употреблять «кет» и писать ~ф>. (Конечно, этот выбор совершенно произволен; в равной мере мы могли бы остановиться и на «брэ» (ф ~.) $:». Ефанова«базисные сост»»оя»»««я м««т»и'.~ Ыы обнаружили, что всякое состояние в мире может быть представлено в виде суперпозиции (линейной комбинации с подходящими коэффициентами) базисных состояний: Вы вправе 13» спросить, зо-первых: каких именно базисных состояний? Что ж, возмоясностей здесь немало.
Можно, например, взять проекцию спина на направление г или на некоторое другое направлсние. Имеется очень-очень много рааличных представлений— аналогов различных систем координат, которые можно применять для представления обычных векторов. Затем можно спросит!с с какими коэффициентами их брать? А,зто уж зависит о! физических обстоятельств. Различные совокупности ко ффсщиелтоз отвечают разным физическим условиям.
Здесь ва;кно знать одну вещь — «прог»ракетно», в котором вы работаше, лнымы словами, знать, чтб эти оазысные состояния означают фнзлческл, Та! что лервге, что вьс, вообще говоря. должны знать,— это на что похожи базисные состояния. Тогда вам станет понятно, как описывать положение весцей на языке э»ых базисных состояний. Мы хотели бы чуть-чуть заглянуть вперед н немножко поговорить о том, каким скорей всего окажется общее квантовомехаьыческое огпсание природы — во всяком случае, каким оск! осле!', Судя ло нынешним физическим с!родсталленпям. Первым делом надо решиться на тот илн другой выбор предс!зеленая базисных состояний (всегда ведь возможны различим!* представления).
Например, для частицы со олином можно использовать плюс- и минус-состояния относительно осл г. В оси г нет ничего особенного — можете выбрать любую ось, какую вам захочется. Но для единообразия мы всегда будем брать ось г. Начнем со отучая одного электрона. Наряду с двумя возможностями для спина (вверх и вниз по оси г) электрон имеет еще импульс. Мы выбираем совокупность базисных состояний, ио одному на каждое значение импульса. А что осли у электрола нет определенного импульса? Ничего страшного: мы ведь говорим только, каковы базисные сэстоясыя. Если ) электро!и ве будет определенного импульса, то у него какая-то амплитуда будет иметь одын импульс, а какаято — другои н т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
