Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Такое положение мы уже обсуждали в гл. 4<< (вып. 4). причем имсияо для амплитуд вероятности! Ыы нашли тогда, что сумма двух амплитуд г разными волновыми числами й (т. е, их<пул< сами) и частотами ю (т. е. энергиями) приводит к ивтерферекцпониым буграм, или биениям, так что квадрат амплитуды меняется и в пространстве, и во времеви.
Мы нашли также, что эти биения движутся < так называемой «групповой скоростью», определяемой формулой и йо би' б ур' '1 р ба Ир др (,2М,) М (5.»7) ф 3. 11отмеи»(иальиая зиет»гтгя; еоот»ат«си«ге анеггеих« А теперь мы хотели бы выяснить вопрос о том, чтб бывает когда энергия частицы может меняться. Начнем с размышления о частице, которая движется з поле сил, описываемом потенциалом. Рассмотрим сперва влияние постоянного потенциала.
11усть у нас имеется большой металлический ящик, который мы зарядили до некоторого электростатического погекциала»р (фиг. 5.2). Если внутри ящика ес ~ ь заряженные объеатьк то нх «и и г. б.2. Частица сяассоа М и импульса.а р в обяаспси п~я. тояягтго потгпциаяа. нз т. е. опять классическую скорость, Резулгиат наш, следовательно, состоит в том, что если имеется несколько амплитуд для чистых энергетических состояний с почти одинаковой энергией. го их интерференция приводит к «згплескам» вероятности, которые движутся сквозь пространство со скоростью, равной скорости классической частицы с ганой ке энергией. Но нужно, однако, заметить, что, когда мы говорим, что можем складыпать дее амплитуды с разными волновыми числами, чтобы получать пакеты, отвечающие движущейся частице, мы при этом вносим нечто новое — нечто, не выводимое пз теории относительности.
«(ы сказали, как меняется амплитуда у неподвил;ной частицы, и затем вывели пз этого, как она должна была бы меняться, если бы частица двигалась. Но из этих рассуждений мы не в состоянии вывести, что случилось бы, если бы были две волны, движущиеся с разнымя скоростямн. Если мы остановим одну ич нвх, мы не смок ем остановить другую. Так что мы втихомолку добавили е»це одну гипотезу; кроме того, что (5.9) есть возможное решение, мы допускаем, что у топ же системы могут быть еще решения со всевозможными р и что различные члены будут интерферировать.
потенциальная энергия будет равна (рр; мы обозначим это число буквой У. Оно по условию совершенно не зависит от положения самого объекта, От наложения потенциала никаких физических изменений внутри ящика не произойдет, ведь постоянный потенциал ничего не меняет в том, что происходит внутри ящика.
Значит, закон, по которому теперь будет меняться амплитуда, вывести никак нельзя. Можно только догадаться. Вот он, правильный ответ — он выглядит примерно так, как и следовало ожидать: вместо энергпи нужно поставить сумму потенциальной энергии г' и энергии Ер, которая сама есть сумма внутренней и кинетической энергий. Амплитуда тогда будет пропорциональна е-и,4) ((е»+у) (-р х) (5.18) Оби«ий прин((ип состоит з том, что коэффициент при г, который можно было бы назвать (о, всегда дается полной энергией системы: внутренней энергией («энергией массы») плюс кинетическая энергия плюс потенциальная энергия: Йю ==Ее+ у.
(5.19) Или в нерелятивистском случао Р ~~ »нп»+ ~,у+ ~ (5.20) Ну, а что моя(но сказать о физических явлениях внутри ящика? Если физическое состояние не одно, а несколько, то что мы получим? В амплитуду каждого состояния войдет один и тот же добавочный множитель е-и)") )'( 1ГЗ сверх того, что было при г'=О. Это ничем не отличается от сдвига нуля нашей энергетической шкалы. Получится одинаковый сдвиг всех фаз всех амплитуд, а это, как мы раньше убедились, не меняет никаких вероятностей. Все физические явления остаются теми же. (Мы предположили, что речь идет о разных состояниях одного и того же заряженного объекта, так что (ку у них у всех одинаково.
Если бы объект мог менять свой заряд, переходя от одного состояния к другому, то мы пришли бы к совершенно другому результату, но сохранение заряда предохраняет нас от этого.) До сих пор наше допущение согласовывалось стем, чего следовало ожидать от простого изменения уровня отсчета энергии. Но если оио на самом деле справедливо, то обязано выполняться и для потенциальной энергии, которая не является просто постоянной.
В общем случае )г может меняться произвольным образом и во времени, и в пространстве, и окончательный результат для амплитуды должен вырая(аться на (для е(т < еР,) оя и е. а '/. Л ооо велте оо ~ оо твоими. оеяеходои(ев от одоо о о ти ееоойо о орк о ою языке дифференциальных уравнепий. Но мы не хотим сразу приступать к общему'случаю, а ограничимся некоторым представлением о том, что происходит. Так что пока мы рассмотрим только потенциал, который постоянен во времени и медленно меняетея в пространстве.
Тогда мы сможем сравнить между собой классические и квантовые представления. Предполежвм, что мы размышляем о случае, изображенном на фиг. 5.3, где два ящика поддерживаются при постоянных потенш(алах (р, н (рв, а в области между ними потецциал плавно меняется от (рт к (Р,. Вообразим, что у некоторой частицы есть амплитуда оказаться в одной нз этих областей. Допустнм таки;е, что импульс достаточно велик, так что в любой малой области, в которой помещается много дэнн волн, потенциал почти постоянен. Тогда мы вправе считать, что в любой части пространства амплитуда обязана выглядеть так, как (5.18), только Р в каждой части пространства будет свое. Рассмотрим частный случай, когда (Р,=-О, так что потенциальная энергия в первом ящике равна нулю, во втором же пусть т)(рв будет отрицательно, так что классически частица вием будет обладать большей кинетической энергией.
В классическом смысле она во втором ящике будет двигаться быстрее, у нее будет, стало быть, н больший импульс. Посмотрим, как это может получиться из квантовой механики. При наших предположениях амплитуда в первом ящике должна была быть пропорциональна -((,'уе ((Веввутр "Р,/2М огт( т-М х( (5.21) И7 а во втором -цй) нм«„т,р р',гм«ро г-р, и (5.22) (Будем считать, что внутренняя энергия не изменяется, а остается в обеих областях одной и той же.) Вопрос заключается в следующем: как эти две амплитуды сопрягаются друг с другом в области между ящиками? Мы будем считать, что все потенциалы во времена постоянны, так что в условиях ничего не меняется.
Затем мы предположим, что изменения амплитуды (т. е. ее фазы) всюду обладают одной н той же частотой, потому что в «среде» менрду ящиками нет, так сказать, ничего, что бы зависело от времени. Если в пространстве ничего не меняется, то можно считать, что волна в одной области «генерирует» во всем пространстве вспомогательные волны, которые все колеблются с одинаковой частотой и, подобно световым волнам, проходящим через покоящееся вещество, не меняют своей частоты. Если частоты в (5.21) и (5.22) одинаковы, то должно выполняться равенство -~- — '-' р . в«т«р+ ХЛГ+ 1 внурр . 'гм г «' (5.23) р« = 2М (гм — )гр+ Ъ г), (5.
24) становится отрицательным. А это значит, что р,— мнимое число, скажем 1р'. Классически мы бы сказали, что частица 1«8 Здесь по обе стороны стоят просто классические полные энергии. так что (5,23) есть утверя'дение о сохранении энергии. Иными словами, классическое утверждение о сохранении энергии вполне равноценно квантовомеханическому утверждению о том, что частоты у частицы всюду одинаковы, если условия во времени не меняются.
Все это согласуетси с предо~велением о том, что Фю==Е. В том частном случае, когда 1',==О, а р«отрицательно, (5.23) означает, что р, больше р„т. е. в области 2 волны короче. Поверхности равной фазы показаны на фиг. 5.3 пунк. тиром. Там евге вычерчен график вещественной части амплитуды, из которого тоже видно, как уменшнается длина волны при переходе от области 1 в область 2.
Групповая скорость волн, равная р/М, тоже возрастает так, как и следовало ожидать из классического сохранения энергии, потому что оно просто совпадает с (5.23). Еуществует интересный частный случай, когда (г становится столь большим, что р« — 1', уже превышает р~/2М. Тогда г рг, даваемое формулой г » >)р!) >в~и о ~. «~.>ы» ~ »>п».>т»»>ю>Ч о»> и о> ни»и.~>>. никогда не попадет в область ', еп нг хватит энергии, ч>п>бы взобратьгя на потщщнальный холм. Однако в квантовой механике амплитуда по-прг>кнему представляет< я уравнением )5.2>): ое изменения в пространстве по-прежнему гладун>т закону »'Ьр, > Но раз р,— мнимое число, то пространственная зависимость превращается в веществгннущ экспоненту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
