Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Почти невозь«ожно поверить, что если у частиц спин был выстроен в направлении +г, то есть хоть какой-то шанс обнаружить, что ее спин ориентирован в направлении +х или в каком-либо другом направлении. Это действительно по«пьи невозможно. Но все же не совсем. Это настолько невозможно, что остается лишь один путь, каким это происходит, а если этот путь один, то его уже можно найти.
Первое рассуждение можно провести так. Предположим, что, нан показано на фиг. 4.2, а, прибор Т направлен вверх под углом а относительно Ю. Пусть через Ю проходит только пучок (+), а через Т вЂ” только пучок ( — ). Мы измерили некоторую вероятность того, что частицы, выходя из Я, пройдут сквозь Т. Теперь предположим, что мы делаем второе измерение прибором, показанным на фиг. 4.2, б.
Относительпая ориентация Ю и Т одинакова, но вся система расположена в пространстве под другим углом. Мы хотим предположить, что оба опыта приведут н одному и тому же значению вероятности того, что частица в чистом состоянии относительно Я окая«ется в некотором определенном состоянии относительно Т. Иными словами, мы предполагаем, что результат любого опыта такого рода одинаков, что сама сбивика одинакова, как бы весь прибор ни был ориентирован в пространстве.
(Вы скажете: аЭто самоочевидно». Но зто все лсе только предположение, и оно «правильно» только тогда, если так действительно бывает.) Это означает, что коэффициенты Лд зависят лишь от взаимного расположения Я и Т в пространстве, а не от абсолютного их расположения. Выражаясь иначе, В ~ зависит только от поворота, который переводит Я в Т, потому что общим для фиг. 4.2, а и б, очевидно, является трехмерный поворот, переводящий прибор Я в положение прибора Т.
Когда матрица преобразования Л, зависит, как в нашем случае, только от поворота, ее называют зсасприцей поворота. Для следующего шага нужно еще немного информации. Пусть мы добавили третий прибор (навозом его У), стоящий вслед за Т под каким-то произвольным углом (фиг. 4.3„а). (Все это начинает выглядеть устрашающе, но в этом-то и пре- / в ./ Б /В и г, а.б. Если Т воткрит до отковав, то б эквивалвнтно а. (4.8) лесть отвлеченного мышления: самые сверхъестественные опыты можно ставить, просто проводя новые линии!) Что же представлнет собой преобразование-Б-~- Т-и 1/'? Фактически нас интересует амплитуда перехода из некоторого состояния по отпо/пению к Ю к некоторому другому состоянию по отношению к У, если известны преобразования от Ю к Т н от Т к 1/'.
Поинтересуемся сперва опытом, в котором з Т открыты оба канала. Ответ можно получить, дважды подряд применяя (4.5). Для перехода от Я-представления к Т-кредставлению имеем с,'= ~ л,",с/, (4,6) где верхние индексы Т8 нужны, чтобы отличать зто Л от Лог, когда мы будем переходить от Т к 1/'. Обозначая амплитуды появления атома в базисных состояниях представления 1/' через С», можно связать их с Т-амплитудами, применяя (4.5) еще раз; получим с, = р л,'/'с,.'. (4. 7) / Теперь можно из (4.6) н (4.7) получить преобразование от Я прямо к 1/'. Подставляя С; из (4;6) в (4.7), имеем с",=~л„'~ л,",'с/ / $ Или, поскольку в Ла/ отсутствует /, можно поставить сумиг мирование по 1 впереди и написать С = Ха л // гл ггвС (4.9) / / Это и есть формула двойного преобразования.
Заметьте, однако, что, пока пучки в Т не загораживаются, состояния на выходе из Т те же, что и при входе в него. Мы могли ,бы с равным успехом делать преобразования из Ю-представления прямо в представление У. Это значило бы, что прибор У по- ставлен прямо за о", как на фиг. 4.3, б. В этом случае мы бы написали С", = ~Лаем (4.10) где Лы — коэффициенты, принадлежащие этому преобразооэ ванию. Но ясно, что (4.9) и (4 10) должны приводить к одинаковым амплитудам Сз, причем независимо от того, каково было то начальное состояние ~р, которое снабднло нас амплитудами Си Значит„должно быть Лиз ~ч;~ ЛогЛтз (4.11) > Иными словами, для любого поворота Я -ч- (>' базиса, если рассматривать его как два последовательных поворота Ь'->- Т и Т вЂ” >- У, можно получить матрицу поворота Лд> из матриц иэ двух частных поворотов при помощи формулы (4.11). Если угодно, (4.11) следует прямо из (4.1) и представляет собой лишь другую запись формулы: <И ~бу>=че<Ит~>т><)т~>8>.
ФЭЭ Для полноты добавим еще следующее. Но не думайте, что зто будет что-то страшно важное; если хотите, переходите, не читая, прямо к следующему параграфу. Надо сознаться, что то, что мы сказали, не совсем верно. Мы не можем на самом деле утверждать, что (4.9) и (4.10) обязаны привести к абсолютно одинаковым амплитудам. Одинаковыми должны оказаться только физические результаты; сами же амплитуды могут отличаться на общий фазовый множитель типа е", не меняя результатов никаких расчетов, касающихся реального мира.
Иначе говори, вместо (4.11) единственное, что можно утвер ждать, — это яЛоз ч ЛитЛгз =,с> з> я (4.12) где 6 — какая-то вещественная постоянная величина. Смысл этого добавочного множителя е", конечно, в том, что амплитуды, которые мы получим, пользуясь матрицей Лаз, могут все отличаться на одну и ту же фазу (е ' ) от амплитуд, которые получились бы из двух поворотов Лиг и Л'з. Но мы знаем, что если все амплитуды изменить на одинаковую фазу, то зто ни на чем не скажется. Так что при желании можно этот фазовый множитель 'просто игнорировать.
Оказывается, однако, что если определить нашу матрицу поворота особым образом, то этот фазовый множитель вообще не появится: 6 в (4 12) всегда ,удет нулем. Хотя зто и не отражается на наших дальнейших рассуждениях, мы беремся зто быстро доказать, пользуясь математической теоремой одетерминантах.
(А если зыдо сих пор мало знакомы с детерминантами, то не следите за доказательством и прямо переходите к определению (4.15).) Во-первых, следует напомнить, что (4.11) — зто математическое определение «произведения» двух матриц. (Просто очень удобно говорить «г«сэ есть произведение г»о' и ага».) Во-вторых, существует математическая теорема (которую для используемых здесь матриц 2Х2 вы легко докажете), утверждающая, что детерминант «произведения» двух матриц есть произведение их детермпнантов.
Применив зту теорему к (4.12), получим е"' (Рег Лпз) =- (Ре«Лиг) (Рес И те) (4.13) (Мы отбрасываем нижние индексы, они здесь ничего полезного нам не сообщают.) Да, слева стоит 251 Вспомните, что мы имеем дело с матрицами 2 к 2; каждый член в матрице Л»~,з умножен на е'", а каждый' член в детерминанте (состоящий из двух множителей) получается умножением на е-". Извлечем из (4.13) корень н разделим на него (4.12): доз л~~ итз — - 4' = — ~~', ю " .
(4.14) у ре«лпз; (~ »»ег яит Ф' пег дгв ' Добавочный фазовый множитель исчез. Дальше оказывается, что если мы хотим, чтобы все наши амплитуды в любом заданном представлении были нормированы (а это, как вы помните, означает, что ~', (~р (») (» ~ ~р) = 1), то у всех матриц поворота детерминанты окажутся чисто мнимыми экспонентами, наподобие е". (Мы не будем этого доказывать; вы сами потом увидите, что зто всегда так.) Значит, мы сможем, если захотим, выбрать все наши матрицы поворота гг так, чтобы фаза их получалась однозначно, взяв Ре» Л = 1.
Это будет делаться так. Пусть мы каким-то произвольным образом определили матрицу поворота А. Возьмем за правило «приводить» ее к «стандартной форме», определяя Л, Л отэвц — у'Р «Д (4.15) Для получения однозначных фаз мы просто умножаем каждый член в гг на один и тот же фазовый множитель. В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что наши матрицы были приведены к «стандартной форме»; тогда мы сможем пользоваться прямо формулой (4.11) без каких-либо добавочных фазовых множителей. ф 3.
гХоаоро»»»ье вон»»уе ос«е г Теперь мы уже подготовлены и тому, чтобы отыскать матрицу преобразования Л,,связывающую два разных представления. Владея нашим правилом объединения поворотов и нашим предположением, что в пространстве нет предпочтительного направления, мы владеем ключом для отыскания матрицы любого произвольного поворота. Решение здесь только одно.
Начнем с преобразования, которое отвечает повороту вокруг оси г. Пусть имеются два прибора Я и Т, поставленных друг за другом вдоль одной прямой; оси их параллельны и смотрят из страницы на вас (фиг. 4.4, а). Это их направление мы примем за ось г. Ясно, что если пучок в приборе о идет вверх (к + г), то то же будет и в аппарате Т. Точно так же, если он в о идет вниз, то и в Т он направится вниз. Положим, однако, что прибор Т был повернут на какой-то угол, но его ось, как и прежде, параллельна оси прибора Я, как на фиг. 4.4, б.
Интуитивно хочется сказать, что пучок (+) в о" будет по-.прежнему переходить в пучок (+) в Т, потому что и полн, и их градиенты характеризуются тем же физическим направлением. И это вполне правильно. Точно так же и пучок ( — ) в Ю будет переходить в пучок ( — ) в Т. Тот же результат применим для любой ориентации Т в плоскости ху прибора о.
Что же отсюда следует для связи между С,.= (+Т( ф), С = ( — Т ~ ф) и С+ = (+о' ~ ф), С = ( — о' ~ ф)1 Можно подумать, что любой поворот вокруг оси г «системы отсчета» базисных состояний оставляет амплитуды Сь кребываиия «вверху» и «внизу» теми же, что и раньше, и написать С»= С» и С = С . Но зто неверно. Все, что можно отсюда заключить,— зто, что при таких поворотах вероятности оказаться в «верхнем» пучке приборов о и Т одинаковы, т. е. (С+)=(С+( и )С' )=(С |.
Но мы не вправе утверждать, что Фазы амплитуд, относящихся к прибору Т, не могут в двух различных ориентациях а и б (фнг. 4.4) различаться. а У Г рразоелт полл о Т Ф и о. 4.4. Пав»ропе ка 90 вокруг оси е. <?) !Ц а. У р у 1 з т й 8 Ф и г. 4.б. Частица в састсянии (+е? ведет себя в впитав а и б на-равна.1ж. Пары приборов, показанных на фиг. 4.4, на самом деле сличаются друг от друга, в чем можно убедиться следующим образом. Предположим, что мы перед прибором Я поставили другой, создающий чистое (+х)-состояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
