Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если базисных состояний Лг, то таких коэффициентов всего Аг». Эту совокупность коэффициентов часто называют «матрицей преобразования от представления Я к предапавлению Т». Математически это выглядит страшновато, но стоит все чуть обозначить иначе и оказывается, что ничего страшного нет. Если обозначить через С,- амплитуду того, что состояние находится в базисном состоянии Ю, т. е. С; =- ( Ю ~ ф ), а через С' назвать соответствующие амплитуды для базисной системы Т, т. е. С~ — — ()Т ~ »у), то (4.4) можно записать в виде С,'=ч;Х,,сп (4.5) где Хд — то же самое, что и ()Т( ь>').
Каждан амплитуда С, есть сумма по всем»' одного ряда коэффициентов Хд, умноженных на каждую амплитуду С;. Это выглядит так же, как преобразование вектора от одной системы координат к другой. Но не будем слишком долго увлекаться абстракцией. Мы уже приводили парочку примеров этих коэффициентов для случая спина $, и вы сами можете разобраться, как ими пользоваться практически. Но, с другой стороны, у квантовой механики существует очень красивое качество: из того факта, что состояний только три, используя лишь свойства симметрии пространства относительно вращений, она умеет чисто отвлеченным путем вычислить эти коэффициенты.
Приводить на столь ранней стадии зти рассуждения было бы нехорошо: прея»де чем вы «вернулись бы на землю», вы могли бы утонуть в новом море абстракций. Однако все зто так красиво, что мы в свое время это непременно проделаем. В этой же главе мы покажем вам, как можно получить коэффициенты преобразований для частиц со спинам '/». Мы выбрали этот случай потому, что он проще спина 1. Задача состоит в том, чтобы определить коэффициенты Хд для частицы, или атомной системы, которая в аппарате Штерна — Герлаха расщепляется на два пучка. Мы собираемся вывести все коэффициенты для преобразования от одного представления к другому путем чистого рассуждения плюс несколько предположений.
Какие-то предположения всегда нужны для того, чтобы пользоваться «чистыми» рассуждениями! Хотя наши доказательства будут абстрактными и немного запутанными, реаультат, который мы получим, сформулировать легко и понять просто; сам же по себе он будет очень важным. Можете, если угодно, рассматривать зто как своего рода культмероприятие. Мы ведь условились уже, что все существенное, выведенное здесь, будет также выводиться по мере надобности в следующих главах другим путем. Так что вы не бойтесь потерять нить нашего изложения квантовой механики, если полностью пропустите эту главу или научите ее попозже.
Мероприятие «культурноез в том сыысле, что оно должно показать вам, что принципы квантовой механики не только любопытны, но и настолько глубоки, что, прибавив и ннм всего несколько добавочных гипотез о структуре пространства, ыы сможем вывести огромное множество -свойств физических систем.
Кроме того, важно йонимать, откуда вытекают различные следствия квантовой механики. Пока наши законы физики неполны (а так оно н есть на самом деле), всегда интересно выяснить„в каких местах наши теории перестают согласовываться с опытом — там. ли, где наша логика саыая лучшая, или же там, где она наихудшая. До сих пор оказывалось, что там, где наша логика наиболее абстрактна, там она всегда дает правильные результаты— теория согласуетея с опытом. Только тогда, когда мы пытаемся строить конкретные модели внутреннего устройства элементарных частиц и их взаимодействий, только тогда мы оказываемся не в состоянии найти теорию, согласную с экспериментом.
Та теория, которую мы намерены описать здесь, согласуется с опытом всюду, где ее испытывали; она так же хороша для странных частиц, как и для электронов, протонов и т. д. Еще одно неприятное (но важное) замечание: коэффициенты Вд невозможно определить однозначно, потому что в амплитудах вероятностей всегда есть какой-то произвол. Если у вас есть ряд каких угодно амплитуд, скажем амплитуд прихода в некоторое место по целому множеству различных путей, н если вы помножите каждую отдельную амплитуду на один и тот же фазовый множитель, скажем на е", то получится.другая совокупность, которая будет ничуть не хуже первой. Значит, всегда можно произвольно изменить фазу всех амплитуд в любой вадаче, если вы этого захотите. Допустим, вы вычисляете некоторую вероятность, беря сумму нескольких амплитуд, скажем (А + В + С+... ), и возводя ее модуль в квадрат.
Затем кто-то другой вычисляет то же самое, складывая амплитуды (А'+ В'+ С'+... ) и возводя их модуль в квадрат. Если все А', В'. С' и т. д. отличаются от А, В, С и т. д. только множителем е, то все вероят- й ности, получаемые возведением модуля в квадрат, окажутся в точности одинаковыми, потому что тогда (А ' + В' + С' +... ) равно е'»(А + В + С +... ). Или допустим, к примеру, что мы считали что-нибудь по уравнению (4А), но затем внеаапяо изменили все фазы опрсдоленной базисной системы. Каждую из амплитуд ( ! !»р) тогда пришлось бы умножить на один и ( е м п)т же множитель е'"'.
Точно так же изменились бы в е' раз и все амплитуды', ( ! ! т), но ам»ьтитуды ()! / с) комплексно сопряжены амплитудам ( ! , 'у); тем самым они приобрели бы и ожктель е ''. Пл!ос н минус сб в экспонентах уничтожатся, н получится то я;е выражение, что было н раньше. Стало быть, обсцее правило таково, что изменение на одну и ту »ке фазу всех амплитуд по отношению к данной базисной системе или даже простое изменение всех амплитуд в любой задаче на одну и ту же фазу ничего не меняет.
Значит, существует некоторая свобода и выборе фаз нашей матрицы преобразования. Мы то и дело будем прибегать к такому произвольному выбору, всегда следуя общепринятым соглашениям. (!)й. Лреобу!азова»ьые к»»овет»»»мтпой с мс»верне мооудн»»с»»»» Рассмотрим опять еусовершенствованный» прибор Штерна— Герлаха, описанный в предыдущей главе. Пучок частиц со олином '!», входящнх слева, расщепляется, вообще говоря, на доа пучка, как показано схематически на фиг.
4Л. (При спине 1 пучков было трп.) Как и раньше, пучки в конце снова сводятся з одно место, если только один из них не будет перекрыт апере- Вир сйжу — — — — ! ! ! ! ! са и е. йл. еУсоеершснстеоеан иий» прибор Штерна — Гер. кака с пучками частиц ео спинам с/» ~ — ну городкой>, которая перехватит его на полпути. На рисунке имеется стрелка, которая покавывает направление роста величины поля, сная«ем положение магнитного полюса с острым наконечником. Эта стрелка пусть будет представлять собой направление вверх для данного прибора. В каждом аппарате ее положение фиксировано, что повволяет укааывать взаимную ориентацию нескольких приборов относительно друг друга. Наконец, предположим еще, что направление магнитного полн относительно стрелки во всех магнитах одинаково.
Будем говорить, что атомы из «верхнего» пучка находятся ло отношению и этому прибору в состоянии (+), атомы из «нижнего> — в состоянии ( — ). (Нуль-состояния для спина '/» не существует.) Положим теперь, что мы поставили два наших усовер~пенствованных прибора Штерна — Герлаха один за другим (фиг. 4.2, а), Первый (нааовем его о) можно употребить на то, чтобы приготовлять чистое состояние (+Ю) или ( — Я), загораживая то один, то другой пучок. (На рисунке приготовляется чистое состояние (+Ю).) При любом расположении всегда есть некоторая амплитуда того, что частица, выходящая из Ю, окажется в пучке (+Т) или ( — Т) второго прибора. Всего таких а>шлнтуд четыре: амплитуды перехода от (+8) к (+Т), от (+Ю) к ( — Т), от ( — Ю) к (+Т) и от ( — Я) к ( — Т). Зги амплптуды— йл и а.
4.8. Даа»аанааланю- ннх ааснернлинюа. просто четыре коэффициента матрицы преобразования Л перехода от представления Я к представлению Т. Можно счйтать, что первый прибор «приготовляет» определенное состояние з одном представлении, а второй «анализируеть это состояние в терминах второго представления. Мы хотим научиться отвечать на такие вопросы: если, загородив один из пучков в Я, мы приготовили атом в данном состоянии, например в состоянии (+Я), то каково будет изменение, которое он испытает, пройдя через прибор Т, который настроен на состояние ( — Т)? Результат, конечно, будет аависеть от углов между системами Я и Т. Мы должны объяснить, почему есть надежда найти козффкциенты Вп теоретически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
