Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Как проверить, что мы оба на самом деле говорим об одном и том же состоянии ф? Это можно сделать с помощью нашего общего правила 11 (см. (3.27)!. Заменяя ?~ любым из его состояний ?Т, напишем <)Т( р>= р<?Т(Ю>< Л~ф>, (3.37) ! Чтобы связать оба представления, нужно задать только девять комплексных чисел — матрицу ()Т ~ »У). Эту матрицу затем можно использовать для того, чтобы перевести все его уравнения в нашу форму. Она сообщает нам, как преобразовать одну совокупность базисных состояний в другую.
(Ло атой причине ()Т ~ »о) иногда именуют «матрицей преобразования от представления о' к представлению Т». Слова ученые!) Для случая частиц со спином 1, у которых бывает только тройка базисных состояний (у высших спинов их больше), математическая ситуация напоминает то, что мы видели в векторной алгебре. Каждый вектор может быть представлен тремя числами — компонентами вдоль осей х, у и г. Иначе говоря, всякий вектор может быть разложен на три «базисных» вектора, т.
е. векторы вдоль этих трех осей. Но предположим, что кто-то другой решает выбрать другую тройку осей: х', у' и г'. Чтобы представить любой частный вектор, он воспользуется другими (а не теми, что мы) числами. Его выкладки не будут похожи на наши, но окончательный итог окажется таким же. Мы зто уже 79 рассматривали раньше и знаем правила преобразования векторов от одной тройки осей к другой. Вам может захотеться увидать, как действуют квантовомеханические преобразования, и самим попробовать их проделать; для этого мы приведем здесь без вывода матрицы преобразований амплитуд спина 1 от представления Я к другому представлению Т для разных взаимных ориентаций фильтров Я и Т. (В следующих главах мы покажем, как получаются зти результаты.) Первый случай.
У прибора Т ось у (вдоль которой движутся частицы) та же самая, что и у Я, но Т повернут вокруг общей оси у на угол и (на фиг. 8.6). (с)тобы быть точными, укажем, что в приборе Т установлена система координат х', у', г', связанная с координатами х, у, г прибора Я формулами г'=г сов а + х з(п а; х" = х сов и — зепи; у' =-. у.) Тогда амплитуды преобразований таковы: <+ Т ~+Я> = — „, (1-(-сова), (ОТ (+Я>= — =ч(пи, 1 1 < — Т ~ + Я> = — (1 — сов и), 2 <+ Т ~ОЯ >= += з1пи, У'2 < От! ОЯ>=сози, 1 < — Т( ОЯ>= — — з1па, 1' 2 <+Т ~ — Я> =- — (1 — сози), 1 2 < От( — Я>=+ зпи, )' 2 < — Т ~ — Я>= — -,— (1+соэи).
1 (3.38) ( + т ~+ я> = «+«ч, < от~ оя>=1, ( — Т( — Я>=е 'Р„ Все прочие =О. (3.39) Второй случай. Прибор Т имеет ту же ось е, что и Я, но повернут относительно оси з на угол р. (Преобразование координат: г' = г; х' = х соэ р+ у э(п р; р' == р соз р — х з!п р.) Тогда амплитуды преобразований суть Заметьте, что любые вращения Т можно составить из описанных двух вращений. Если состояние ~р определяется тремя числами С, =<+Я)ф>, Ср — — <ОЯ(ф>, С =< — Я(ф> (3.40) и если то же состояние описывается с точни зрения Т тремя числами =<+Т~ р>, С =<ОТ~~у>, С =< — Т~ Р>, (341) тогда коэффициенты <)Т ( ьу) иэ (3.38) и (3.39) дают преобразования, связывающие С~ и С;.
Иными словами, С~ очень походят на компоненты вектора, который с точек зрения о' н Т выглядит по-разному. Только у частицы со спинам 1 (потому что ей требуются как раз три амплитуды) есть такое тесное соответствие с векторами. Здесь во всех случаях имеется тройка чисел, которая обязана преобразовываться нри изменениях координат определенным известным образом. И действительно, здесь есть н такая совокупность базисных состояний, которая преобравуетсз в точности, как три коэспонекты вектора. Трн комбинации С„= — '(С,— С ), С = — '.(С.+С ), С,=С, у"2 ' ' г уз (3.42) преобразуются в С, С, С, как раэ так же, как х, у, з преобразуются в х', у", з'.
(Вы можете проверить зто с помощью законов преобразований (3.38) и (3.39).! Теперь вы понимаете, почему частицу со спинам 1 часто называют «векторной частицей». ф 8. Ду»угын олу «атл Мы начали с того, что подчеркнули, что наши рассуждения о частице со спинам 1 явятся прототипом любых квантовомеханических задач. Обобщения требует только количество состояний.
Вместо тройки базисных состояний в других случаях может потребоваться и базисных состояний». Форма наших основных ааконов (3.27) останется той же, если только понимать,' что 1 и 7' должны пробегать по всем и базисным состояйням. Любое явление можно проанализировать, задав амплитуды того, что оно начинается с любого базисного состоянйй и кончается тоже в любом базисном состоянии, а':затем просуммировав по всей » Число баэксвых состоавий и может оказаться (к,вообще говоря, бывает) разным бескокечностк: 81 6 ж 533 полной системе базисных состояний. Можно использовать любую подходящую систему базисных состояний, и каждый вправе выбрать ту, которая ему по душе; связь между любой парой базнсов осуществляется матрицей преобразованвй и х п.
Позже мы подробнее расскажем об этих преобразованиях. Наконец, мы пообещали рассказать о том, чтб надо делать, если атомы прямо из печи проходят через какой-то прибор А и затем анализируются фильтром, который отбирает состояние у. Вы не знаете, каково то состояние ~р, в котором они входят в прибор. Лучше всего, наверное, было бы, если бы вы, не думая пока об этой проблеме, аанимались такими задачами, в которых вначале имеются только чистые состояния. Но если уж вы на этом настаиваете, так вот как расправляются с этой проблемой.
Прежде всего вы должны быть в состоянии сделать разумные предположения о том, каким образом распределены состояния в атомах, которые выходят из печи. Например, если в печи нет чего-либо «особого», то разумно предположить, что атомы покидают печь, будучи «ориентирозаны» как попало. Кваптовомеханически зто соответствует вашему утверждению о том, что о состояниях вы не знаете ничего, кроме того, что треть атомов находится в состоянии (+ о), треть — в состоянии (ОЯ) и треть — в состоянии ( — 5). Для пребывающих в состоянии (+Ь) амплитуда пройти сквозь А есть (у ! А ! + о ), а вероятность ( (~ ~ А ) + Ь') ! '. То же н для других.
Общая вероятность тогда равна Но почему мы пользовались 5, а не Т или каким-нибудь другим представлением? Дело в том, что, как это ни странно, ответ ке аависвт от того, каким было исходное разложение; он один и тот же, если только мы имеем дело с совершенно случайными ориентациями. Таким же образом получается, что ~~СХ! '~>Р=Х~(Х~/Т>Р ! для любого у. (Докажите-ка это сами!) Заметьте, что неверно говорить, будто входные состояния обладают аьшлнтудой )/'/ быть в состоянии (+ о), 3/'/, в состоянии(0 Ю) и)/ '/ в состоянии ( — Я); если бы это было так, были бы допустимы йакие-то интерференции.
Здесь вы просто яе анаегле, каково начальное состояние; вы обяааны думать на яаыке вероятностей, что система сперва находится во всевозможных мыслимых начальных состояниях, и аатем взять средневавешенное по всем воаможностям. 82 й (.Преобразование амплитуд СПИН ОДНА ВХОРАЯ' й 2.Преобразоваппе к повернутой системе коордонат ф .У. 1Хуеобуаяоватеие алтг.тмтиуд з З.Повороты сок~ с1 осп В предыдущей главе мы, пользуясь в качестве примера системой со спинам 1, набросали общие принципы квантовой механики.
Лгобое состояние ф можно описать через совокупность базисных состояний, задав амплитуды пребывания в каждом нз них. Амплитуда перехода из одного состояния в другое может быть в общем случае записана в виде суммы произведений амплитуд перехода в одно из базисных состояний на амплитуды перехода из зтнх базисных состояний в конечное положение; в сумму непременно входят члены, относящиеся к каждому базисному состоя- нння 4 4,(роьороты га ~кб и яо !Ю' вокр,. о ос ~/ 4 5.Повороты гокрут оса л с 6.Произвольные пож роты <Х~ Р>=~<2~ >< ~ Р> (4.() Базисные состояния ортогональны друг другу — амплитуда пребывания в одном, если вы находитесь в другом, есть нуль; <г((> =бы. (4.2) Амплитуда перехода из одного состоиния в другое комплексно сопряжена амплитуде обратного перехода <х( р>'=<Мк> (4.3) е Эта глава — ве что иное, как весьма абстрактиое и длинное отступление от основной линии рассказа; в ией кот каких-либо новых идей, которые бы ие появлялись ивыы путем в дальнейших главах.
Поэтому можете спокойно пропустить ее, а позже, если заивтересуетесь, вернуться. Мы немного поговорили о том, что базис для состояний может быть не один и что можно использовать (4.1), чтобы перейти от одного базиса к другому.
Пусть, например, мы внаем амплитуды (й» ~ ф ) обнаружения состояния»р в любом из базисных состояний» базисной системы Ю, но аатем решаем, что лучше описывать состояние в терминах другой совокупности бааисных состояний — скажем, состояний у, принадлежащих к базису Т. Мы тогда' можем подставить в общую формулу (4,() 1Т вместо )г и получить <~Т(~з>=~~ <)Т( д>< д)$>. Амплитуды обнаружения состояния (»у) в базисных состояниях ()Т) связаны с амплитудами его обнаружения в базисных состояниях (й») совокупностью коэффициентов ()Т(бр).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
