Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Но зто единственное, чем они могут отличаться. В числе р имеется известный произвол, но, как только оно определено для какой-то одной оси в плоскости ху, оно определяется и для всех прочих осев. Принято выбирать р=0 для поворотов на 180' вокруг оси у. Чтобы показать, что свобода такого выбора у нас есть, предположим, что мы решили, что р не равно нулю для поворота вокруг оси у; тогда можно показать, что в плоскости лу существует какая-то другая ось, для которой соответствующая фаза будет нулем. Найдем фазовый множитель ~г для оси А, образующей с осью у угол а, как показано па фиг.
4.7, а. (Для удобства на рисунке угол а отрипателен, но зто неважно.) Если теперь мы возьмем прибор Т, первоначально направленный так же, как и Я, а потом повернем его вокруг оси А на 180', то его оси — назовем их х", у", х" — расположатся так, лз згз сР и г. а.У. Поворот иа гдд' вокруг оси А (а) гквивавгнтгн повороту на 180 вокруг оси у (б), га котора к свгдугт поворот вокруг оси г' (в).
как на фиг. 4,7, а. Амплитуды по отношению к Т тогда станут С" =- е Р4С (4.23) С" =--е-гз.вс . Но той же самой ориентации можно добиться двумя последовательными поворотами, показанными на фиг. 4.7, б н е. Возьмем сначала прибор (), повернутый по отношению к Я на г80' вокруг оси у. Оси х', у"и з'прибора с) будут танями, как на фнг. 4.7, б, а амплитуды ло отношению к У будут даваться формулой (4.22). Заметьте теперь, что от () к Т можно перейти, повернув прибор () вокруг «оси з», т.
е. вокруг з', как показано па фиг. 4.7, в. Из рисунка видно, что требуемый угол вдвое больше угла а, но направлен в обратную сторону (по отношению к з"). Используя преобразование (4.19) с ср=- — 2а, получаем х С" =.-е "С'„, С =е+'"С', (4.24) Подставляя (4.22) е (4.24), получаем С" =екг 'С, С = — е сн "гС (4.25) Эти амплитуды, конечно, должны совпасть с полученными в (4.23).
Значит, р„должно быть связано с а и р формулой 1А=1 — н (4.26) Это означает, что если угол а между осью А и осью р (прибо- ра Я) равен р, то в преобрааованин поворота на 180' вокруг оси А будет стоять ()к=О. Но коль скоро у наной-вго из осей, перпендикулярных к оси г, может оказаться (1=0, то ничто не мешает припять эту ось за ось у. Это всего лишь вопрос соглашения, и мы примем это в общем случае. Итог: для поворота на 180' вокруг оси у мы имеем С' =С ка 180" вокруг оск у. С' = — С,) (4.27) Продолжая размышлять о поворотах вокруг осн у, перейдем теперь к матрице преобразования для поворотов на 90*. Мы в состоянии установить ее внд, оттого что знаем, что два последовательных поворота на 90' вокруг одной и той же оси — это то же самое, что один поворот на 180'.
Напишем преобразование для 90 в самой общей форме: С' =аС +ЬС, С' =сС +ОС . (4.28) Второй поворот на 90' вокруг той же осн обладал бы теми же коэффициентами: С =аС' +ЬС', С" =сС' +ИС'. (4.29) Подставляя (4.28) в (4.29), получаем С" =а(аСе+ЬС )+Ь(сС +ИС ), (4,30) С =с(аС,+ЬС )+А(сс,+ (С ). Однако из (4.27) наи известно, что так что должно быть аЬ+Ьд=-1, аз+ Ьс = О, ас+ сй = — 1, Ьс+И'=О.
(4.31) Этих четырех уравнений вполне хватает, чтобы определить все наши неизвестные а, Ь, с и И. Сделать это нетрудно. Посмотрите на второе и четвертое уравнения. Вы видите, что аз=аз, откуда либо а=И, либо а= — д. Но последнее отпадает, потому что тогда не выполнялось бы первое уравнение. Значит, 0=а. А тогда сразу же выходит Ь=1/2а и с= — 1/2а.
Теперь все выражено через а. Подставляя, скажем, во второе уравнение значения Ь и с, получаем 1 а 1 ав — — =О, или а'= —. 4оа 4 ' Иэ четырех решений этого уравнения только два приводят к детерминанту стандартной формы. Мы можем принять а=4/Р 2; тогда а с( == =- У" 2 1 а = —. У 2 1 с = — =-, У2 Иными словами, для двух приборов Я и Т при условии, что Т повернут относительно Я на 90' вокруг оси у, преобразование имеет вид С'„= — '(С,+С ) 'у ва 90 вокруг оси Ю С'= ' ( С+С)~ у г (4.32) Эти уравнения можно, конечно, разрешить относительно С„ и С; это даст нам преобразование при повороте вокруг оси у на — 90 . Переставив еще и штрихи, мы напишем С',==(С вЂ” С ) ~ 1 У2 1 иа — 90' вокруг оси у. С' = — (С.+С ) ~ У'2 (4.33) й,%.
1уоео?эопаьа вокруг оста ж Вы, пожалуй, подумаете: «Это становится смешным. Чему же нас теперь будут учить — поворотам на 47' вокруг оси у, потом на 33 вокруг х? Долго ли это будет продолжаться?» Нет, оказывается, я почти все рассказал. Зная только два преобразования — на 90' вокруг оси у и на произвольный угол вокруг оси г (как вы помните, именно с этого мы начали),— мы уже способны производить любые повороты. Для иллюстрации предположим, что нас интересует поворот на угол а вокруг оси х. Мы внаем, как быть с поворотом на угол а вокруг оси г, но нам нужен поворот вокруг оси х.
Как его определить? Сперва повернем ось х вниз до оси х, а это есть поворот на +90' вокруг оси у (фиг. 4.8). Затем вокруг оси г" повернемся на угол а. А потом повернемся на — 90' * Второе регаоиио меиист все аваки у а, Ь, с, о и отвечает повороту иа — 270'. Ф и г. б.д. Поворот на угала вокруг осп х равногначен повороту на +дд волтпа оси у (а), га которым следует поворот кп и вокруг оси г' (б), вслед га которым про. исходит поворот на — Уд' вокруг осп у (в). (Х' вокруг оси у".
Итог этих т1к к поворотов тот же самый, что нро повороте вокруг оси х на угол и. Таково свойство пространства. (Все зти сочетания поворотоз и их результат очень трудно себе представить. Не правда ли, стран- но, чсо, яснвя в трех измерениях, мы все жо с трудом воспринимаем, что произойдет, если сперва повер- нуться так, а потом еще как- пнбудь.
Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами и если бы мы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время кру- тищь разные сальто в пространст- ве, нам было бы легче восприни- в мать подобные вещи.) Во венком случае, давайте выведем преобразование для пово- рота на угол а вокруг осих, поль- зуясь тем, чтб нам уже известно. При первом повороте на л-90' вокруг оси у амплитуды следуют закону (4.32).
Если повернутые осн обозы последующий поворот на угол а зокр) ~ ос систему отсчета х", г)", з'", длн которой знать х, у и з, то и г'переводят нас в С =.— ееа~гС г' С" = е ичгС Последний поворот на — 90' вокоуг оси рв переводит нас в систему х'", у"', з"'; из (4.33) следует 10! Сочетая зги два последних преобразования, получаем С"' = = (еь' ЯС' — е-' ЯС' ), 1 )' 2 + С"' = = (е+'хЯС + е-ы" С' ). 1 Р 2 + Подставляя сюда вместо С' и С' (4.32), придем к полному преобразованию С",'=--(е""и (С„+ С ) — ьх'( — С „+С )), С"'=- — (е"'"'а(С„+С )+е-гш'( — С +С )), А если вспомнить, что е" +е "=2созО и е' — ем=21юпО, то зти формулы можно записать проще: С" =( ° — )С + ~з —,)С 1 ) ка угол а вокруг оси х.'(4.34) С =.
~ (яп--) С + (соз — ) С Это и есть наше искомое преобразование для поворота вокруг оси х на любой угол а. Оно лишь чуть посложнее остальных. Щ 6. Прогьиеольньге тьоеоугопгм Теперь уже понятно, как быть с проиееольнам поворотом. Во-первых, заметьте, что любая относительная ориентация двух систем координат может быть описана тремя углами (фиг.
4.9). Если есть система осей х', у', з', ориентированных относительно х, у, е как угодно, то соотношение между ними можно описать тремя углами Эйлера а, р и у, определяющими три последовательных поворота, которые переводит систему х, у, х в систему х', у', з'. Отправляясь от х, у, е, мы поворачиваем нашу систему на угол )) вокруг оси з, перенося ось х на линию и'. Затем мы проводим поворот на угол а вокруг етой врйменной оси хг,чтобы довести ось е до з'. Наконец, поворот вокруг новой оси е (т. е. вокруг г') на угол у переведет ось х, и х', а ось у в у'е. Мы знаем преобразования для каждого из трех поворотов — они даются формулами (4Л9) и х Нетрудно показать, что систему х, у, х можно перевести в систему х', у', х' слекугопгими тремя поворотами вокруг еервокачальнмх осей: 1) повернуть иа угол у вокруг первоначальной оси х; 2) повернуть на угол а вокруг первоначальной оси х; 3) повернуть на угол 9 вокруг первоначальной оси г.
102 й» и *. 4.9. Ориентацию людой система координат у', г' но отношению к другой системе к, у, г можно определить с помощью углое Эй. л:ран, р,т. (4.34). Комбинируя нх в нужном порядке, получаем С .=-СОЗ вЂ” Ецдг тн«С +гнйн — Е «<З тл«С 2 (4.35) С' =-ьзьн а е'<Р-тл'С + сов —, е-цдг тнгС . 2 + 2 Итак, начав просто с некоторых предположений о свойствах пространства, мы вывели преобразование амплитуды при любом повороте. Это означает, что если нам известны амплитуды того.
что любое состояние частицы со олином '/» перейдет в один из двух пучков прибора Штерна — Герлаха Я с осями х, у, з, то мы можем подсчитать, какая часть перейдет в каждый пучок в приборе Т с осями х", у" и з". Иначе говоря, если имеется состояние гр частицы со свином '/ю у которого амплитуды пребывания вверху и внизу по отношению к оси г системы координат х, у, з равны С „ = (+~ «р) и С = с, †~гр ) то тем самым мы знаем амплитуды С и С пребывания вверху и внизу по отношению к оси з' любой другой системы х", у", х'. Иетверка коэффициентов в (4.35) — это члены «матрицы преобразования», с помощью которой можно проецировать амплитуды частицы со свином '/, в другие системы координат. Теперь решим несколько примеров, чтобы посмотреть, как все зто работает.
Возьмем следующий простой вопрос. Пустим атом со свином '/, через прибор Штерна — Герлаха, пропускающий только состояние (+х). Какова амплитуда того, что атом окажется в состоянии (+х)г Ось +х — зто все равно, что ось +х' системы, повернутой иа 90' вокруг оси у. Поэтому в этой задаче проще воспользоваться выражением (4.32), хотя, $0З «а и г. «.10. Ось А, елргдеяяе.иея леяярныяи Лг,гали О и гу. кнн чк, нов,но првмгшпк и полное уравнение (4.35). Поскольку С„-- 1 в С 0, тополучвтся С, .
1/)'2. Вероятности— это квадраты модулей зтнх амплитуд; таким образом, 50% шансон за то, что частица пройдет сквозь прибор, отбирающий состояние (+х). Коли бы мы поинтересовались состоянием ( — х), то амплитуда оказалась бы — 1/)~2, что опять дало бы вероягность '/.„чего и следовало ожидать вз симметрии пространства. Итак, если частица находится в состоянии (+з), то ей в равной степени вероятно побывать в состояниях (гх) и ( л). Но фазы противоположны. Ось у тоже без претензий, Частица в состоянии (л а) имеет равные вгансы быть в состоянии (1 р) или ( — р). Но теперь (согласко формуле для поворота на — 90"' вокруг оси х) амплитуды суть 1/г 2 и — г/) 2. В этом случае разница в фа- Г зах двух амплитуд уже не 180', как было для (+х) и ( — т), а 90=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
