Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Но не забудьте о принципе неопределенности. Если частица обладает определенной энергией, то и импульс <ов их внергия точно определена. дто было бы верно, если бы они сохранялись навечно. Так что когда мы приближенно считаем их обладающими определенной энергией, то забываем при этом„что они должны распасться. Но сейчас мы нарочно забудем про такие процессы, а после, со временем, выучимся принимать во внимание и их.
Пусть имеется атом (или электрон, вли любая частица), облада>ощий в состоянии покоя определенной энергией Е,. Под энергией Е, мы подразумеваем массу всего этого, умноженную на с'. В массу входит любаи внутренняя энергия; стало быть, масса возбужденного атома отличается от массы того >ке атома, но в основном состоянии. (Г)сновное состояние означает состояние с наиннзшей энергией.) Назовем Е, <шнергией покоя». Для атома, находящегося в состоянии покоя, квантовомеханическая амплитуда обнаружить его в каком-то месте всюду одна и та же; от положения она не зависит.
Это, разумеется, означает, что вероятность обнаружить атом в любом месте— одна и та же. Но это означает даже большее. Вероятность могла бы не зависеть от положения, а фаза амплитуды при этом могла бы еще меняться от точки к точке. Но для частицы в покое полная амплитуда всюду одинакова. Однако она зависит от времени. Для частицы в состоянии определенной энергии Еь амплитуда обнаружить частицу в точке (я, у, з) в момент 1 равна у иее определенный. Если неопределенность в импульсе равна нулю, то соотношение неопределенностей ЛрЛх.==я говорит, что неопределенность в положении должна быть бесконечной; именно зто мы и утвер>кдаем.
говоря, что существует одинаковая амплитуда обнаружить частицу во всех точках вространства. Если вяутренние части атома находятся в другом состоянии с другой полной энергией, тогда амплитуда меняется во времени по-другому. А если вы не знаете, в каком состоянии находится атом, то появится некоторая амплитуда пребывания в одном состоянии и некоторан амплитуда пребывания в другом, и у каждой из этих амплитуд будет своя частота. Между этими двумя рвань<ми компоиентамя появится интерференция наподобие биений, которые могут проявиться как переменная вероятность.
Внутри атома будет что-то «назревать», даже если ои будет <а локле» в том смысле, <то его центр масс пе будет двигаться. Если же атом обладает только одноя определенной энергией, то амплитуда дается формулой (5А) и квадрат модуля амплитуды от времени не зависит. Следовательно, вы видите, что если энергия какои-то вен<и определена и если вы задаете вопр<к» всротя<яоспт чего-то в этой вещи, то ответ от времени яе зависит.
Хотя сами а>нплитудм от времени зависят, но есле энергия определенкпл, онп изменяются как мнимая зксг>онеята я абсол<отчое значение (модуль) нх не меняетсн. Вот почему мы часто говорим, что атом на определенном энергетическом уровне находится в стационарном состоянии. Если вы что-то внутри него измеряете. лы обнаруж<иваете, что ничего (по вероятности) во времени не меняется. Чтобы вероятность менялась во времени, должна быть ннтерфереш<ия двух амплптуд при двух разных частотах, а зто означало бы, что неизвестно, какова энергия. У предмета были бы одна амплитуда пребывания в состоянии с одной энергией н другая амплитуда преб>жвания в состоянии с другой энергией.
Так в квантовой механике описывается что-то, если поведение этого «чего-то» зависит от времени. Если имеется случай, когда смешаны два различных состояния с разными энергиями, то амплитуды каждого иа двух состояний меняются со времеяом согласно уравнению (5.2), скажем, как е-«к.'~>' п е-«г'">'. (5.3) И если имеется комбинация этих двух состояний, то появится интерференция. Но заметьте, что добавление к обеим энергиям одной и той же константы ничего ие меняет.
Если кто-то другой пользовался другой шкалой энергий, на которой все энергии сдвинуты на константу (скажем, на А), то амплитуды оказаться ИО в этих двух состояниях, с его точки эрения, были бы В-в!Е,-~-А)Ей И В-с(Е вл)С/й (5.4) Все его амплитуды оказались бы умноженными на один и тот же множитель ехр ( — !(А//с)/г!, и во все линейные комбинации, во все интерференции вошел бы тот же множитель. Вычисляя для определения вероятностей модули, он пришел бы к тем же ответам.
Выбор начала отсчета па нашей шкале энергий ничего не меняет; энергию можно отсчитывать от любого нуля. В релятивистских задачах приятнее измерять энергию так, чтобы в нее входила масса покоя, но для многих других нерелятивистских целей часто лучше вычесть иэ всех появляющихся энергий стандартную величину, Например, в случае атома обычно бывает удобно вычесть энергию М,с', где М,— масса отдельных его частей, ядра и электронов, отлича!ощаяся, конечно, от массы самого атома.
В других задачах полезно бывает вычесть из всех энергий чисчо М с', где М вЂ” масса всего атома в основном состоянии; тогда остающаяся энергия есть просто энергия возбуждения атома. Значит, порой мы имеем право сдвигать наш нуль энергии очень и очень сильно, я это все равно ничего не меняет (яри условии, что все энергии в данном частном расчете сдвинуты на одно и то л'е число).
На этом мы расстанемся с покоящимися частицами. ф х. 1'вввномерное дат!жене!в Ясли мы предполагаем, что теория относительности верна, то частица, покоящаяся в одной ияерциальной системе, в другой инерциальной системе может оказаться в равповверяоа! движении. В системе покоя частицы амплитуда вероятности Ф и е. д.1. Релятивистское пгуеойуавоваесие амплитуды покояи!ейся частица в систему я — К для всех х, у и з одинакова, но зависит от б Величина амплитуды для всех 1 одинакова, а фаза зависит от 1. Мы можем получить картину поведения амплитуды, если.рроведем линии равной фазы (скажем, нулевой) как функций х и 1. Для частицы в покое этп линии равной фазы параллельны оси х и расположены по оси т на равных расстояниях (показано пунктирными линиями на фпг. 5.1).
В другой системе, х', у, х', Р. движущейся относительно частицы, скажем, в направлении х, координаты х' и р некоторой частной точки пространства связаны с х и 1 преобразованием Лоренца. Вто преобразование можно изобразить графически, проведя оги х' и г', как показано на фиг. 5.1 (см. гл. 17 (вып. 2), фиг. 17.'!. Вы видите, что в системе х' — 1' точки равной фазы в вдоль оси р расположены на других расстояниях, так что частот» временных изменений уже другая.
Кроме того, фаза меняется и по х', т. е. амплитуда вероятности должна быть функцией х'. При преобразовании Лоренца для скорости р, направленной, скажем, вдоль отрицательного направления х, время ! связано со временем Е формулой к' — хт/с' у 1 — рз/Ы и топерь наша амплитуда меняется так: Г-Шй)В й .Š— Шй)1В„Г/Р! — "~с*) -- (Есихбтж Ю--оеа") В штрнхованной системе она меняется в пространстве и во времени. Если амплитуду записать в виде -о йпь"' г-р' э е то видно, что Е„=- Е /1 1 — хз/св. Вто эпоргия, вычисленная по классическим правилам для частицы с энергией покоя Ео, дзия;ущейся со скоростью р; р' .== Е' и/св — соотзетствуклцип р импульс частицы, Вы знаете, что х,:= (1, х, у, з) н р„= (Е, р,.
р „р,) — четырех- векторы, а р„х == Ег — р.х — скалярйый инвариант. В системе покоя частицы р х„просто равно Е1; значит, при преобразо- * Мы предполагаем, что фазы обязаны иметь одно и то же звачояяе в соответствующих точках в двух сястеивх координат. Впрочем, вто весьма тонкое место, поскольку в квяятовой механике фаза в значительной ствпепв произвольна. '!тобы до конца оправдать вто продполо>к< язв, пужпы болю детальные рассуждения, учвтывающяо явтерференпвю двух нпв нескольких амплитуд.
112 ванин в другую систему Е1 следует заменить на Е'г' — р' х'. Итак, амплитуда вероятности для частицы, импульс которой есть р, будет пропорциональна с-ндо(ко — Р'ю (5.5) где Š— энергия частицы с импульсом р, т. е. г Е =-Ф (рс)2+Е,', а Ею как и прежде, — энергия покоя. В нерелятивистских задачах можно писать Е =: 31,с' -(- Я', (5.7) где И' — избыток (или нехватка) энергии по сравнению с энергией покоя М,с' частей атома. В общем случае в И" долж ны были бы войти и кинетическая энергия атома,и его энергия связи или возбуждения, которые можно назвать «внутренней» энергией.
Тогда мы бы писали рз )УР И и ттэ+2м (5.8) а амплитуды имели бы вид с-нбв (я'~,$-р ю (5.9) Р '=х (5.10) а, значит, длина волны (5,11) Это та самая длина волны, которую мы раньше использовали для частиц с импульсом р. Именно таким путем де-Бройль впервые пришел к этой формуле.
Для движущейся частицы частота изменения амплитуды по-прежнему дается формулой Йю= И г. (5.12) в ха 533 1ГЗ Мы собираемся все расчеты вести нерелятввистскн, так что именно таким видом амплитуд вероятностей мы и будем пользоваться. Заметьте, что наше релятивистское преобразованно снабдило нас формулой для изменения амплитуды атома, движущегося в пространстве, не требуя каких-либо добавочных допущений. Волновое число се изменений в пространстве, как это следует из (5.9), равно где х<г и Л<ч — разности волновых чисел и частот двух волн. В ю.ше сложных волнах, составленных из суммы многих амилигуд с близкими частотами, групповая скорость равна «е< в < р .= Так как ю=-Е /Й, а )г.=-р(Й, то «Е р < <Ур (5.14) Но из (5.6) следует, что <1Е р Р— ~=с «р Е, (5.15) а так как Е = Мсэ, то Р 'лр = лг' а это как раэ классическая скорость частицы.
Даже применяя нерелятивистские вырви<ения, мы будем иметь Аосолютнэя величина (5.9) равна просго единице, так что для частицы, движущейся с определенной эвери«еи. вероятность обнару<кать ее где бы то ни было -- одна и та же повсюду и со временем ие меняется. (Нажив отметить, что амплитуда — - это комплексиал волна. Коли бы мы иольэовалигь <ии[оствонной синусоидой, то ее квадрат от точки к точи< менял<я бы, что было бы неверно.) Конечно, мы знаем, что бывают случаи, когда частицы движутся от одного места к другому, так что веровтн<к ть эавишп от поликения и изменяется со временем. Как л,< нужно описывать такие случаиг Это мои<но сделать, рассматривая амп.<птуды, яв«як<щиеся суперпозицией двух пли болывего числа амплитуд для состояний с определенноп энергией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
