Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Эту задачу можно сформулировать следующим образом: пусть известно, что в момент 1=-0 спин мюона направлен по +х; какова амплитуда того, что в момент т он окажется в том же состоянии? И хотя мы не знаем правил поведения частицы 1иб ый Ф и '. З.л, О»~ т с я~пода .а яки ча со саином '!г в магнитном поле, перпеидикулнриом к спину, но зато мы знаем, что бывает с состояниями, когда спины направлены вверх или вниз по полю,— тогда их амплитуды умножав>тся на выражение (5.34). Наша процедур» тогда будет состоять в том.
чтобы выбрать представление, э которои базисные состояния — зто направлении сливом вверх или олином вниз относительно г (относительио направления поля). И любой вопрос тогда сможет быть выражен через амплитуды этих состояний. Пусть (ф(1)) представляет состояние мюона. Когда он входит в блок А, его состояние есть (фО)), а мы хотим знать '~Р(т)) в более позднее время т. Если два базисных состояния обозначить (+г) и ( — г), то нам известны амплитуды (+4фО) ) и ( — г~~р(0) ) — они известны потому, что мы знаем, что )ф(0)) представляет собой состояние со спином в направлении (+х). Из предыдущей главы следует, что эти амплитуды равиыз (5.35) и Они оказываются одинаковыми.
Раз они относятся к положению при 1=-0, обозначим их Се(0) и С (О). з Если зы пропустили гл. 4, то можете пока просто считать (8.35) незыведенныи правилом. Позже, з гл. 8, мы разберем прецессню свина подробнее, будут получены и зги амплитуды. т Ф л с. опе. В1иа пп«п лиаисп ил л« «Зл пило 'л:л л "':. ито саопиза со сиииол '., оаласспип а ~осииолппи Г ' 1 пл опсиогисиипл оси и.
Далее, мы знаем, чтб из зтия двух амплитуд получится со временем. Из (5.34) следует С (1) =С, (О) е-Пс"'ивс и (5.30) С (1) =. С (О) е+1ил1ивс. Но если нам известны Са(1) и С (1), то у нас есть все, чтобы знать условия в момент и Надо преодолеть только еще одно затруднение: нужна-то нам вероятность того, что спин (в момент 1) окажется направленным по +х. Но наши общие правила учитывасот и зту задачу. Мы пишем, что амплитуда пребывания в состоянии (+х) в момент 1 (обозначим ее А„(1)! есть А, (1) = <+х(зе(1)>= = с', + х ( + г> (+ я ) з(с (1) > + (+ х ( — з> (- - г ( з)с (1) >, или А (1)=-(+х~+я>С (1)+(+х~ — г>С (1).
(5.37) Опять пользуясь результатом последней главы (или лучспе равенством (ар ~т>=(2~~у> а из гл. 3), мы пишем 1 1 с,'+ х ~ + г> = —., (+ х ~ — з> = = ас2 тс2 ' Итак, в (5.37) все известно. Мы получаем А (1) е(пк) ив1 + е-и а1ивс + 2 2 или А (1) = сов 1" 1сВ й Поразительно простой результат! Заметьте: ответ согласуется с тем, что ожидалось при с==-О. Мы получаем А,(0)=1, и это вполне правильно, потому что сперва и было предположено, что при ~==-0 мюон был в состоянии (-~-х).
Вероятность Р того, что мюон окажется в состоянии (+х) з момент 0 есть (А,)', т. е. , вВс Р =- соз' —. 6 Вероятность колеблется от нуля до единицы, нак показано на фиг. 5.10. Заметьте, что вероятность возвращается к единице прн рВ1)й=-.п (а пе при 2п). Из-за того что косинус возведен в квадрат, вероятность повторяется с частотой 2у,В)й. Итак, мы обнаружилн, что шанс поймать в электронном счетчике, показанном на фиг.
5.9, распадный электрон периодически меняется с величиной интервала времени, в течение которого мюон сидел в магнитном поле. т1астота зависит от магнитного момента р. Именно таким образом н был на самом деле измерен магнитный момент мюона. Тем же методом, конечно, можно воспользоваться, чтобы ответить на другие вопросы, касающиеся распада мюона. Например, как зависит от времени 1 шанс заметить распадный электрон в направлении у,под 90" к направлению х, но по- прежнему под прямым углом н полю? Если вы решите эту задачу, то ууидите, что вероятность оказаться в состоянии (+у) меняетс)г как соз'((рйс/й) — (и/4)); она колеблется с тем же периодом, но достигает максимума на четверть цикла познсе, когда рВф=п/4.
На самом-то деле происходит вот что: с течением времени мюон проходит через последовательность состояний, отвечающих полной поляризации в направлении, которое непрерывно вращается вокруг оси г. Это можно описать, говоря, что спин прецессирует с частотой ОЭ (5.38) Вам должно становиться понятно, в какую форму выливается квантовомеханическое описание, когда мы описываем поведение чего-либо во времени. Г«еиви 6 ГА)йИЛЬГОНОВА ИАТРПЦА 5чз иы: е1Й'ч 'Ы е' ф 1. Ажек5мьчудье и оекмьорье ''е ч К,е~соа. Мы объясняли зто при помощи прибора П?Терна — Герлаха, но сейчас напоминаем вам, что в этих приборах нет нужды. Уравнение (6.1)— зто математический закон, который верея всегда, все равно, есть ли у яас фильтровальиое оборудование или нет; вообще совсем не обязательно воображать наличие какого-то прибора.
Можно рассматривать зто просто как формулу для амплитуды <)(69). Сопостави55 (6.1) с формулой для скалярного произведения двух векторов В и А. Если В и А — обычные трехмерные векторы, то скалярное произведение можно написать так: ~, (В е,)(е; А), (6.2) вее~ считая, что символ е; обозначает любой из трех единичных векторов в направлениях х, 9 зв 533 Прежде чем пр5 ступить к основной теме этой главы, 55ы хотели бы изло'ьпть несколько математических ядеа, которые часто встречаются в книгах ио квантовой механике. Зиаиие их облегчит вам чтеяне других книг или статей по атому предмету. Первая идея — зто тесное математическое подобие между уравиевиями квантовой механики и формулами для скалярного произведения двух векторов.
Вы помните, что если 5( и ф — два состояния, то амплитуда начать в ер п кончить в у мояеет быть записапа в видо суммы (по полной совокупности базисных состояний) амплитуд перехода из ф в одно из базйспых состояний н затем из этого базис- НОГО сОстОяниЙ уже в у: у и з. Тогда В е,— это то. что обычно называют В„, а В е,— го, что обычно называют Вг, и т. д. Значит, (6.2) эквивалентно В„А„+В А +В,А„ а это и есть скалярное произведение В А.
Сравнение (6А) с (6.2) обнаруживает следующую аналогию. Состояния у и «» соответствуют двум векторам А и В. Базисные состояния» отвечают специальным векторам е;, к которым мы относим все прочие векторы. Любой вектор может быть предо»вечен как линейная комбинация трех «базисных векторов» е;. Далее, если вам известны коэффициенты при каждом «базисном векторе» в этой комбинации, т. е.
три его компоненты, то вы знаете о векторе все. Точно так же любое квантовомеханпчоское состояние может быть полностью описано амплитудамп (1~«~) перехода в базисные состояния, и если зти коэффициенты вам известны, то вы знаете все, что можно знать о состоянии. Из-аа этой тесной аналогии то, что мы назвали «состоянием», часто именуют «вектором состояния». Раз базисчые векторы е» перпендикулярны друг другу, то существует соотно»пение е, е, == Ь,, (6.3) Это соответствует соотношению (3.25) между базисными состояниями » <»))) =Ьоо Теперь вы понимаете, почему говорят, что базисные состояния» все «ортогональны друг другу».
Между (6А) и скалярным произведением есть одно минимальное различие. У нас «р! х>=-<х! ч»*, (6.5) (6А) а в векторной алгебре А В==В А. А = ~~~ ~е, (е," А); (6.6) оно немножко необычно, но тем не менее верно. И означает оно то же самое, что и А = ".", А,е; = А„е„+ А е + А,е,. (6.7) В квантовой механико г ее комплексныии числами мы обязаны выдерживать порядок множителей, а в скалярном произведении порядок неважен.
Теперь рассмотрим такое векторное уравнение: Заметьте, однако, что в (6.6) входит величина, отличная от скалярного произведения. Скалярное произведение — это про<то число, а (6.6) -- векп<врное уравнение. Одним пз великих приемов векторного анализа было абстрагировать от уравнений идею самого вектора. Равным образом можно попытаться абстрагировать от уравнения (6.1) то, что в квантовой механике является аналогом «вектора».
И это действительно можно сделать. Уберем <',)<~ по обе стороны (6.1) и напишем такое уравнение (не пугайтесь — это просто обозначение, и через пару минут вы узнаете, что означают эти символы): (6.8) Скооку (у)<?) представляют себе состоящей из двух половинок. Вторую половинку <р) называвзт кет, а нерву<о ()~( называют брэ (поставленные рядом они образуют бр«-кетт=йгас(<е$, скоб-ка= .скобка — обозначение, предложенное Дираком); полусимволы (~~ и ~<р) также называют веком<рами состояний. Это не числа отнюдь, а нам вообще-то нужно, чтобы результаты наших расчетов выражались числами; стало быть, такие «незаконченные» величины представляют собой промежуточные шаги в расчетах.
До сих пор мы все свои результаты выражали с помощью чисел. 1<ак же мы умудрялись избегать векторов? Забавно, что даже в обычной векторной алгебре можно сделать так, чтобы во все уравнения входили только числа. Например, вместо векторного уравнения типа Г.=. та всегда мо»кно написать С Г =- С (та).
Получается уравнение, связывающее скалярные произведения и справедливое для любого вектора С. Но если оно верно для любого С, то едва лн имеет смысл вообще писать это С! Теперь вернемся к (6.1). Это уравнение справедливо при любых ~. Значит, для сокращения письма мы должны просто убрать т и написать вместо (6.1) уравнение (6.8). Это уравнение снабдит нас той же самой информацией, лишь бм мы понимали, что его всегда надлежит «завершить», «умножив слева на...», т.
е. просто дописав некоторое <',)(! по обе стороны знака равенства. Следовательно, (6.8) означает в точности то же, что и (6.1),— ни более ни менее. Если вы предпочитаете числа, вы подставляете то (ф~, которое вам нужно. Может быть, вы в уравнении (6.8) уже нацелились и на <р? Раз (6.8) справедливо при любом <(<, зачем же нам его держать? И действительно, Дирак предлагает абстрагироваться и от ср, так что остается только 1=Х1 >«! Вот он каков — великий закон квантовой механики! Этот закон утверждает, что если вы вставите любые два состояния т и ср с обеих сторон, слева и справа, то опять вернетесь к (6.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
