Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если. ска>кем, ча>'тица сперва двигалась в направлении тсх, то амплн>уда начнет меннться, как ,— р' ь !5) О ростом х она быстро падает. Иообразнм, что обе области г разными потенциалами расположены очень тесно друг к другу, так что потепцпальнзн энерп>я внезапно изменяется >и )>> к Г. (фиг. 5.чк а). Начертив график вещественнои части амплитуды вероятности, мы получиы зависимость, показанную нв фиг. 5..>>, 6. Бояна в об>ласти ! отвечает частице, вытащи>ейсн попасть в область '>, но там амплитуда быстро спадает. Имеется какой-то шанс, что се заметят в области 2, где классически она ви за з>но бы не оказалась, но амплитуда этого очень мала (кроме места близ самой границы). Положение вещен очень похоже нн то, что мы обнаружили для полного внутреннего отраженна света.
Обычно свет не выходит, но его можно все >ке заметить, если !!9 поставить что-нибудь на расстоянии в одну-две длины волны от поверхности. Вспомните, что если поместить вторую поверхность вплотную к границе, где свет полностью отражался, то можно добиться того, чтобы во втором куске вещества все же распространялся какой-то свет. То же самое происходит и с частицами в квантовой механике. Если имеется узкая область с таким высоким потенциалом в', что классическая кинетическая энергия там отрицательна, то частица никогда не пройдет сквозь нее. Но в квантовои механике экспоненциально убывающая амплитуда может пробиться сквозь эту область и дать слабую вероятность того, что частицу оонаружат по другую сторону— там, где кинетическая энергия опять положительна. Все это изображено на фиг.
5.5. Эффект называется квантовомеханическим «проникновеннем сквозь барьер». Проникновение квантозомеханичоской амплитуды сквозь барьер дает объяснение (или описание) а-распада ядра урана. Кривая зависимости потенциальной энергии а-частицы от расстояния от центра показана на фиг. 5.6, а. Если бы попытаться выстрелить и-частицей с энергией Е в ядро, то она почувствовала бы электростатическое отталкивание от ядерного заряда г и по классическим канонам не подошла бы к ядру ближе, чем на такое расстояние г„при котором ее полная энергия сравняется с потенциальной й. Но где-то внутри ядра потенциальная энергия окажется намного ниже из-за сильного притяже- Ф и в.
о.5. ПГ и ппов пип аппппптуди пьвовь и твпзип ~опии боз~ р. 120 ния короткодействующих ядерных сил. Как;ке тогда объяснить, отчего при радиоактивном распаде мы обнаруживаем п-частицы, которые, первоначально паходяс;ь внутри ядра, оказываются затем снаружи него с энергией гйй Потому что они.
с самого начала обладая энергией Е, «просочилисьлсквозь потенииальиый оарьер. Схематичный набросок амплитуды ве. роятности дан на фиг. 5.6, б. хотя на самом доле экспоненпиальный гпад много сильнео. чем показано. Весьм» примочательно. что среднее время жизни се-частнпы в ядре урана дсвстигает 4',сс миллиарда лет, тогда как естественные колебания внутри ядра чрезвычайно быстры, их в секунду бывает 10ал! Как лке можно из 10 "' сек получить число порядка 1()а лето Ответ состоит в том, что экспонента дает неслыханно малый множитель порядка 10 ".
что и приводит к очень малой, хоть и вполне определенной, вероятности просачивания. Гслн уж и-частица попила в ядро, то почти нет никакой амплитуды обнаружить ее но в ядре; если. однако, взять таких ядер поболыпе и подояндать подольше, го вам, мськет быть, повезет и вы увидите, как частица вьи кочпт наружу. 'е'(г) ор и; д.сь потенциал а-енот ици в ядре асано Гад и кичественниа вид аакяитуди вероятности (дд.
й) 4. г "((лж( ъл(хссмчеекый ть7уедел Предположим, что частица движется сквоаь область, где есть потенциал, меняющийся поперек двигкения. Классически мы бы опв< али втот случай так, как показано на фиг. 5.7. Если частица движется в направлении х и вступает в область, где имеется потенциал, изменяющийся вдоль у, то частица получит поперечн >е ускорение от силы Р= — д)'/ду. Если сила присутствует только в ограииченной области ширииой ш, то она будет действовать только в течение времени ш/о. Частица получит поперечиый импульс р Тогда угол отклонения 60 будет равен 50= — "=' — ' Р Ри где р — начальный импульс. Подставляя вместо р' число — дге(ду, получаем 80=-- — —. и д(е Рг дУ (5.26) Теперь нам предстоит выяснить, удастся лп получить втот результат с помощью представления о том, что волны подчиняются уравнению (5.20).
Мы рассмотрим то же самое явление кваитовомеханически, предполагая, что все маса(табы в нем намного превосходят длины волн наших амплитуд пероятности. В любой маленькой области можво считать, что амплитуда меияется как е-((!Й( Кз' гч2м-ею (-р.г( (5.27) В состоянии ли мы увидеть, как отсюда получится отклонение частиц, когда у й будет поперечный градиент? На фиг. 5.8 мы прикинули, как будут выглядеть волны амплитуды вероятности Мы начертили ряд «узлов поля», которые вы можете счпцить, скажем. поперхппстямп, (';и амза амплитуды раппа Ру ( Большое И Ф и г. ид. Отел неиае ииеаици ~и иерегаии градиеитои ииа~еициа.еа.
Узел залпы Ф и е. о.З. Лонсанелда веровта ~ива а области с поперенннн градиентоав ноепенэиааа. нулю. В любой небольпюй области длина волны (расстояние между соседними узлами) равна М, Р где р связано с )е формулой И'+ —, + )е =- сопз$ . (5. 28) (5.29) Волновое число р/Ф поэтому тоже на рааных путях различно, что означает, что фазы растут вдоль них с разной скоростью.
Разница в скорости роста фазы есть Л/с=вар/Й, и накопленная на всем пути ие разность фаз будет равна Л(фаз) = Л/ССЗ = — Ив = — — — Ле'И>. ар /о рэ (5.30) Это число показывает,на сколько к моменту выхода из полосы фаза вдоль пути Ь «опережает» фазу вдоль пути а. Но на выходе из полосы такое опережение фаз отвечает опережению узла волны на величину ) $ аавх = — Л (фаз) = — Л (фаз), 2н Р В области, где )е больше, там р меньше, а волны длиннее.
Поэтому направление линий узлов волн постепенно меняется, как показано на рисунке, Чтобы найти иаменение наклона линий узлов волн, заметим, что на двух путях а и Ь имеется разность потенциалов сне'=(дФ'/ду)(), а значит, и разница Лр между импульсами. Эту разность можно получить из (5.28): Лх = — — —, М'«о. Рд Р' (5.31) Обращаясь к фиг. 5.8, мы видим, что новый фронт волны повер- нется на угол 50, даваемый формулой Лх =- ВЛО. (5.32) тзк что мы имеем 050 — —.; Лриь (5,33) Л это совпадаег с (5.26), если заменить р/М на о, а Л)г/В на дг/ду. Результат, который мы только что получила, верен лкппь, когда потокцпал меняется медленно и плавно — в так называемом класси«соком пределе. Мы показали, что при этих условиях получим те же движения частиц, иго получились бы и из Р =та, если предполоя.ить, что потенциал дает вклад в фазу амплитуды вероятности, равный $'~/й.
В класси«веком пределе квантовая механика оказывается в согласии с ньютоновской механикой. В Ю, вЛрецесс««н» чааю»т«иь«ео скамном (Можно считать это просто определением р,.) Иначе говоря, если поместить частицу в однородное поле В на время т, то ее Заметьте, что мы пе предполагали, что потенциальная энергия у нас какая-то особая, это просто энергия, производная от которой дает силу. Например, в опыте Штерна — Герлаха энергия имела вид (/=- — )» В; отсюда при наличии у В пространственной вариации и получалась сила. Если бы нам нужно было квавтовомеханическое описание опыта, мы должны были бы сказать. что у частиц в одном пучке энергия меняется в одну сторону, а в другом пучке — в обратную сторону. (Магнитную энергию У можно было бы вставить либо в потенциальную энергию Р.
либо во «внутреннюю» энергию И1; куда именно, совершенно неважно.) Из-за вариапий энергии волны преломляются, пучки искривляются вверх или вниз. (Мы теперь знаем, что квантовая механика предсказывает то же самое искривление, которое следует и из расчета по классической механике.) Из зависимости амплитуды от потенциальной энергии также следует, что у частицы, сидящей в однородном магнитном поле, направленном по оси х, амплитуда вероятности обязана меняться во времени по закону в-и~М < — в,в> с амплитуда вероятности умножится иа Е-1СЬ1 1 — ВФ~ т сверх того, что было бы без поля.
Поскольку у частицы со спинок '/, величина р, может быть равна плюс или минус какомуто числу, скажем р, то у двух мыслимых состояний в однородном поле фазы будут меняться с одинаковой скоростью в противоположные стороны. Амплитуды помножатся ва еь М61 Рв~. (5.34) Этот результат приводит к интересным следствиям.
Пусть частица со спином '/, находится в каком-то состоянии, которое не есть нн чистое состояние со саином вверх, ни чистое состояние со сливом вниз. Иго можно описать через амплитуды пребывания в этих двух состояниях. Но в магнитном поле у этих двух состояний фазы начнут меняться с разной скоростью, И если мы поставим какой-нибудь вопрос насчет амплитуд, то ответ будет зависеть от того, сколько времени частица провела в этом поле. В виде примера рассмотрим распад мюона в магнитном поле. Когда мюоны возникают в результате распада я-мезонов, они оказываются поляризованными (иными словами, у ннх есть предпочтительное направление спина). Мюоны в свою очередь распадаются (в среднем череа 2,2 мксек), испуская электрон и пару нейтрино: При этом распаде оказывается, что (по крайней мере при высоких энергиях) электроны испускаются преимущественно в направлении, противоположном направлению спина мюона.
Допустим затем, что имеется экспериментальное устройство (фиг. 5.9): поляризованные мюоны входят слева и в блоке вещества А останавливаются, а чуть позже распадаются. Испускаемые электроны выходят, вообще говоря, во всех мыслимых направлениях. Представим, однако, что все мюоны будут входить в тормозящий блок А так, что их спины будут повернуты в направлении х. Без магнитного поля там наблюдалось бы какое-то угловое распределение направлений распада; мы же хотим знать, как изменилось бы это распределение при наличии магнитного поля. Можно ожидать, что оно как-то будет меняться со временем. То, что получится, можно узнать, спросив, какой будет в каждый момент амплитуда того, что мюон обнаружится в состоянии (+х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
