Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(Ось х направлена на рисунке вниз.) Эти частицы расщеплялись бы в Я на пучки (+з) н ( — з), но на выходе Я (в точке Р,) оба пучка снова соединялись бы и восстанавливалн состояние (+ х). Затем то же самое происходило бы в Т. Если бы за Т поставить третий прибор У, ось которого направлена по (+ х), как показано на фиг. 4.5, а, то все частицы пошли бы в пучок (+) прибора б'. Теперь представим, что произойдет, если Т и П вкеселе повернуть на 90', как показано на фиг. 4.5, б. Прибор Т опять будет пропускать все, что в него поступает, так что частицы, входящие в У, будут в (+ х)-состоянии по отношению к Я.
Но У теперь анализирует состояние (+у) (по отношению к Я), а это совсем не то, что раньше. (Из симметрии следует ожидать, что через него пройдет только половина частиц.) Что же могло перемениться? Приборы Т и У ло отношению друг к другу расположены одинаково. Могла ли измениться физика просто из-за того, что Т и У иначе ориентированы? Нет, гласит наше первоначальное предположение.
Значит, различаться в двух случаях, показанных на фиг. 4.5, должны алеееаилеуды по отношению к Т. То же должно быть, следовательно, и на фиг. 4.4. Частица должна как-то уметь узнавать, что в Рг опа завернула за угол. Как же она может об зтом поведать? Что ж, остается только одно: величиям С~ и С+ в обоих случаях одинаковы, но могут — а на самом деле должны — обладать разными фазами. Мы приходим к заключению, что С, и Се должны быть двязаны формулой С' =епСе, а С' и С вЂ” формулой С' =-е'"С, 93 где )с и (с — вещественные числа, которые как-то должны быть связаны с углом между Ю и Т.
В данный момент единственное, чтомы монсен сказать про Х и р,— ато то, что они не могут быть равны друг другу (кроме показанного на фиг. 4.5, а особого случая, когда Т и Я ориентированы одинаково), Мы видели, что изменение всех амплитуд на одну и ту же фазу ни к каким физическим следствиям не приводит. По той же причине всегда можно добавить к Х и (с любое постоянное число — это тоже ничего не изменит. Значит, нам представляется воаможность еыбрать Х и )с равными плюс в минус одному и тому же числу.
Всегда моя<но ваять )с' = (с — 2 (). + )с). Тогда Итак, мы договоримся е считать )с = — й и придем к общему правилу, что поворот прибора, относительно которого ведется отсчет, вокруг оси г на какои-то угол приводит к преобразованию (4.16) С' =е '"С . Абсолютные значения одинаковы, а фазы различны.
Зги-то фазовые множители и отвечают за различные результаты двух опытов, показанных на фиг. 4.5. Теперь надо узнать закон, связывающий Х с углом между Я и Т. Для одного случая ответ известен. Если угол — куль, то и Х вЂ” нуль. Теперь яредпололсилс, что фазовый сдвиг Х есть непрерывная функция угла ~у между Я н Т (см. фнг. 4.4) при ~у, стремящемся к нулю. По-видимому, это единственное разумное допущение. Иными словами, если свернуть Т с прямой линии 8 на малый угол е, то и )с тоже будет малым числом, скажем те, где т — некоторый коэффициент.
Мы пишем те, потому что можем доказать, что Х обязано быть пропорционально е. Если бы мы поставили за Т новый прибор Т', тоже образующий с Т угол е, асс тем самым образующий угол 2е, топо отношению к Т мы бы имели С =е' С+, а по отношению к Т' е можно посмотреть на это н иначе. Мы просто пронээоднм вреобрээованно н «стэндартной формоэ, опнсэнноо в э 2, нснольэуя формулу (4дб). Но мы знаем, что должны были бы получить тот же результат если бы сразу за Я поставили ТЧ Значит, когда угол удваивается, то удваивается и фаза. Зги аргументы мы можем, естествекио, обобщить и построить любой поворот из последовательных бесконечно малых поворотов. Мы заключаем, что )ь пропорциоцальио «р для любого угла оь Поэтому всегда можпо писать )ь =- тюр.
Общий полученный нами результат состоит, следовательно, в том, что для Т, повернутого вокруг оси г отиосителько Я ка угол «р, С =сшС, С =е 'нС (4.17) С'= — С ) ва 360' вокруг осз». С' =.— С ) (4.18) * Коввчво, подошло бы и г»= — '/ . Однако иг (4Л7) асио, что измевевве анака просто переопределвт пойятяе «сияя вверх». Для угла «р и для всех поворотов, которые встретятся иам в будущем, мы условимся считать, что ноложитсльныг«поворотом будет поворот правого винта, который ввинчивается з полол«ительном направлении г. Теперь остается узнать, каким должно быть т. Попробуем сперва следующее рассуждение: пусть Т повернулся ка 360; ясно, что тогда ок опять очутится под нулем градусов, и мы должны будем иметь С, =- С„и С =- С, или, что тоже самое, е' "=- 1.
Мы получаем т =- 1. Это рассуждение нс годится7 Чтобы убедиться в этом, допустим, что Т повернут па 180'. Коли бы т было равно единице, мы получили бы С,== е'«С,= — С, и С.= е "С =- — С . Но это просто опять получилось первоначальное состояние. Обе амплитуды попросту ум~ожецы ка — 1; зто возвращает иас к исходной физической системе.
(Опять случай всеобщей перемены фаз.) Зто озпачает, что если угол между Т и Я на фиг. 4.5, б увеличивается яа 180', то система (по отношению к Т) оказываетсямеотличимой от случая 0' и частицы должны опять проходить через состояние (+) прибора У. Но при 180' состояние (+) прибора У вЂ” зто состояние ( — х) начального прибора Я. Так что состояние (+х) станет состояиием ( — х). Но мы-то ведь ничего ие делали для изменения начального состояния; ответ поэтому ощибочеи. Не моя«ет быть, чтобы т = 1.
Нет, все должно быть иначе: надо, чтобы только поворот ца 360' (и ни на какис меньшие углы) воспроизводил то же самое физическое состояние. Зто случится при т ='/». Тогда и только тогда первым углом, воспроизводящим то же самое физическое состояиие, будет угол ~р = 360 ь. При этом будет Очень курьезно вдруг обнаружить, что поворот прибора на 360' приводит к новым амплитудам.
Но на самом деле они не новы, потому что одновременная перемена анака ни к какой новой физике не приводит. Если кто-нибудь задумает переменить все знаки у всех амплитуд, подумав, что он повернулся на 360', то зто его дело — физику он получит ту же, прежнююе. Итак, наш окончательный ответ таков: если мы знаем амплитуды С и С для частиц со олином '/» по отношению к системе отсчета Я и если затем мы используем базисную систему, связанную с Т (Т получается из 8 поворотом на ~р относительно оси г), то новые амплитуды выражаются через старые так: С = ееПС„ ) на угол е вокруг осн г.
(4.19) С' =е-*еЛС ) ф 4. Повоюю»»гьг на 1»«»' и иа, 80 вокруг ос««у Теперь попробуем подобрать преобразование для поворота Т (но отношению к Я) на 180' вокруг оси, перпендилуллрной к оси г, скажем вокруг оси у. (Оси координат мы определили на фиг. 4Л.) Иными словами, берутся два одинаковых прибора Штерна — Герлаха и второй из них, Т, переворачивается относительно первого, Я, «вверх ногами» (фиг.
4.6). Если рассматривать частицы как маленькие магнитные диполи, то частица, которая находится в состоянии (+Я) (в первом приборе она избирает «верхний»путь), и во втором приборе избирает «верхний» путь, т. е. окажется по отношению к Т в зьинус-состоянии. (В перевернутом приборе Т переворачиваются и поле, и направление его градиента; для частицы с заданным направлением магнитного момента сила не меняется.) То, чтб для Я было «верхом», то для Т будет «низом». Для такого относительного расположения Я и Т преобразовании, естественно, должны дать ~С,~=~С ~, (С ~=)С,~. Как и раньше, нельзя исключить добавочные фазовые множители; на самом деле может окаваться, что С' .=-еВС, С' =ейС (4.20) где () и у еще подлежат определению.
А что можно сказать о повороте вокруг оси у на угол 360'? Мы уже знаем ответ для поворота на 360' вокруг оси з: амплитуда пребывания в любом состоянии меняет знак. Повороты на 360' вокруг любой оси всегда приводят прибор в прежнее поло* Заметим, что если последовательность малых поворотов приведет е конце концов к первоначальной орнентацнн предмета, то всегда есть еоаможность, проследив ксю историю, отлнчнть поворот на 360' от поворота на 0' (но ннтересно, что для поворота на 720' его неверно). 96 3 Г ! 1 и 1 Т Ф и:. 4 6. пивор нп аа 1зе южру лспо г жение.
Таким образом, результат любого поворота яа 300' должен быть таким же, как и при повороте ка 360' вокруг оси з,— все амплитуды должны просто переменить знак Теперь представим себе два последовательных поворота на 180" вокруг оси р по формуле (4.20); после ннх должен получиться результат (4.18). Иными словами, С" =гбС =г"гпС = — С+ (4.21) С" =.г"С' = — е1"г"С = — -С Это означает, что г"= — е 0. е"г" = — 1, или Следовательно, у= — — р+и, и преобразование для поворота на 180' вокруг оси у может быть записано так: С' =е"С, С' = — е 0С,. (4.22) Рассуждения, которыми мы только что пользовались, в равной степени применимы к поворотам на 180' вокруг любой оси в плоскости ху, хотя, конечно, повороты вокруг разных осей дадут для р разные числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
