Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Бывает, что нас не особенно интересует математическая задача поиска наименьшей совокупности независимых аксиом, иа которых все законы пронстекут как следствия. Нам вполне достаточно обладать совокупностью, которая полна и по виду нелротиворечива. Однако мы беремся показать, что (3.25) и (3.24) не независимы.
Пусть «с в (3.24) представляет одно из базисных состояний той же совокупностк, что и», скажем у-е состояние; тогда мы имеем <хУ>=Х<х('><'~)> Но (3.25) утверждает, что <» ( )) равно нулю, если только пе равно Б так что сумма обращается просто в <7 ~ 7') и получается тождество, что говорит о том, что зги два закона не независимы. Можно видеть, что если справедливы оба уравнения (3.25) и (3.24), то между амплитудами должно существовать еще одно соотношение. Уравнение (3.10) имело вид <+Т ~+Ь> <+ Т ~+Я>*+<О Т ~+Я> <ОТ ~+Ю>*+ -,< — Т~+ У>< — Т~+Я>.=4. Если теперь посмотреть на (3.24) и предположить, что и ~р, н )< — это состояние (+о), то слева получится <+Я ~+ о>, а зто, конечно, равно единице, и мы должны получить (3.19) <+5|-('-Т><+Т~+Я>+<+к)ОТ><ОТ~+8>+ +<+я( — Т>< — Т)+З>= 4.
74 Зги два уравнения согласуются друг с другом (для всех относи- тельных ориентаций приборов Т и Я) только тогда, когда <+.у ~+т>=<+ т ~+3>~, <+6(ОТ>=<От ~+а>«, <+~) — т>=< — т!+Б>, <1 ~ 1> = б>ч <х! р>= Х<х!'>< ~ р>, В~« > <ч! х> = <х ! >р>'. (3.27) 111. В этих уравнениях 1 и 1 относятся ко всем базисным состояниям какого-то едкого представления, тогда как >р и )( — зто любое возможное состояние атома.
Важно отметить, что закон Н справедлив лишь тогда, когда суммирование проводится по всем базисным состояниям системы (в нашем случае по трем: + Т, О Т, — Т). Зти законы ничего не говорят о том, что следует избирать в качестве базиса. Мы начали с прибора Т, который является опытом Штерна — Герлаха с какой-то произвольной ориентацией, но и всякая другая ориентация, скажем И>, тоже подошла бы. Вместо 1 и 1 нам пришлось бы ставить другую совокупность базисных состояний, но все законы остались бы правильнымн„'какой-то единственной совокупности не существует.
Успех в квантовой механике часто определяется тем, умеете ли вы использовать тот факт, помня, что расчет можно вести из-за этого разными путями. ф 6. Меааи«хка квантовой кеэсаинк«« Мы покажем вам сейчас, почему полезны эти законы. Пусть у нас есть атом в ааданном состоянии (под этим мы подразумеваем, что он как-то был приготовлен), и мы хотим знать, чтб с ним будет в таком-то опыте. Иными словами, мы начинаем с состояния «р атома и хотим знать, каковы шансы, что он пройдет через прибор, который пропускает атомы только в состоянии у. Законы говорят, что мы можем полностью описать прибор тремя комплекс- 75 Стало быть, для любых состояний ~(> и у «р ! х> = <х ! р>' (3.
26) Если бы этого не было, вероятности «не сохранились бы» и частицы «терялись бы». Прежде чем идти дальше, соберем зсе три общих закона для амплитуд. т. е. (3.24) — (3.2Г>): ными числами ()( ( з ) — амплитудами того, что каждое из базисных состояний окажется в состоянии у, и что мы, пустив атом в прибор, мояоем предсказать, чтб произойдет, если опишем состояние атома, задав три числа ( о ~ ор),— амплитуды того, что атом из своего первоначального состояния перейдет в любое из трех базисных состояний. Это очень и очень важная идея. Рассмотрим другую иллюстрацию. Подумаем о следующей задаче.
Начинаем с прибора Я, затем имеется какая-то сложная мешанина, которую мы обозначаем А, а дальше стоит прибор Л: ~ оО) ) з~ ~ о '). <о.оо> Под А мы подразумеваем любое сложное расположение приборов Штерна — Герлаха — с перегородками и полуперегородками, под всевозможными углами. с необычными электрическими и магнитными полями, — слоном, годится все, что вам придет в голову.
(Очень приятно ставить мысленные эксперименты— тогда нас не тревожат никакие заботы, возникающие при реальном сооружении приборов!) Задача состоит в следующем: с какой амплитудой частица, входящая в область А в состоянии (+ 5), выйдет из пего в состоянии (О Л), так что сможет пройти через последний фильтр ЛР Имеется стандартное обозначение для такой амплитуды: <О Л ( А (+ Я>. Как обычно, это надо читать справа налево: < Конец ) Через ~ Начало). Если случайно окажется, это А ничего не меняет, а просто является открытым каналом, тогда мы пишем <ОЛ~(~+Л>=<ОЛ~+У>; (3.29) эти два символа равнозначны.
В более общих задачах мы можем заменить (+ 8) общим начальным состоянием ор, а (О Л) — общим конечным состоянием у и захотеть узнать амплитуду <)( ~ А ( ор>. Полный анализ прибора А должен был бы дать иам амплитуду ()( ( А ! ор) для каждой мыслимой пары состояний ор и )( — бесконечное количество комбинаций! Как же сможем мы тогда дать краткое описание поведения прибора А з Это можно сделать следующим путем.
Вообрааим, что мы видоизменили при- 76 бор (3.28) так: О О А О О . (3.30) 5 Т Т Л На самом деле это вовсе не видоизменение, потому что широко раскрытые приборы Т ничего нигде не меняют. Но они подсказывают нам, как проанализировать проблему. Имеется определенная совокупность амплитуд <» ~ + Я> того, что атомы из Я перейдут в состояние «прпоора Т. Затем имеется другая совокупность амплитуд того, что состояние» (по отношению к Т), войдя в А, выйдет оттуда в виде состояния ) (по отношению к Т). И наконец, имеется амплитуда того, что кая«дое состояние у пройдет через последний фильтр в виде состонния (ОЛ). Для каждого допустимого пути существует амплитуда вида < О Л ()> <у ( А ) «> <«)+ Я>, и полная амплитуда есть сумма членов, которые можно получить из всех сочетаний «и ). Нужная нам амплитуда равна ч ',<ОЛ(у> <у ! А ! «> <«)+5>.
(3.31) Если (О Л) и (+ Я) заменить общими состояниями т я «р, то получится выражение такого же рода; так что общий результат выглядит так: <т(А («р>=~<2(у><) ) А («><«(ср>. (3.32) о Теперь заметьте, что правая часть (3.32) на самом деле «проще» левой части. Прибор А полностью описан девятью числами () ) А ~ «>, сообщающими, каков отклик А на три базисных состояния прибора Т.
Как только мы уанаем эту девятку чисел, мы слшжем управиться с любой парой входных и выходных состояний «р и у, если только определим каждое из них через три амплитуды перехода в каждое из трех базисных состояний (или выхода из них). Результат опыта предсказывается с помощью уравнения (3.32). В этом и состоит основной вывод квантовой механики частицы со спином 1. Каждое соаиолние описывается тройной чисел— аплитудами пребывания в каждом из базисных состояний (из избранной их совокупности).
Всякий прибор описывается девяткой чисел в амплитудами перехода в приборе из одного бааисного состояния в другое. Зная эти числа, можно подсчитать что угодно. Девятка амплитуд, описывающая прибор, часто изображается в виде квадратной матрицы, именуемой матрицей <у(А! «>: 77 в~, + <+ (Л)0> < О ~А~О> < — (А (0> <+ (А( — > < 0 ~ А ~ — > . (З.ЗЗ) < — ! А! — > <+~А!+> <0/А)+> < — /А/+> ~о~) (с) ) а (3.34) В В Но затем мы замечаем, что С просто состоит из двух частей: стоящих друг за другом приборов А и В.
Сперва частицы проходят через 4, а потом — через В, т. е. можно символически записать (С~=~ ~~-(В). (3.»5) т Мы мон«ем прибор С назвать «проязведением» А и В. Допустим также, что мы уже знаем, как эти две части анализировать; таким образом, мы можем узнать матрицы А и В (по отношению к Т). Тогда наша задача решена. Мы легко найдем <т ~ С ~ ф) для любых входных и выходных состояний. Сперва мы напшлем <)( ) С ) ф> = ~~~ <Х ~ В ~ й> <й ) А ~ ф>. Понимаете, почему? (ТХодскаэк»к представьте, что между А и В поставлен прибор Т.) Если мы затем рассмотрим особый случай, когда ф и )( также базисные состояния (прибора Т), скажем и у, то получим <1) С (»>=~я",<у (В) й><Й( А )1>.
(3.36) Это уравнение дает нам матрицу прибора «произведения» С через матрицы приборов А и В. Математики именуют новую матрицу < ) ) С ( »), образованную из двух матриц ( ) ~ В ~ 1> и ( у ~ А ) «) в соответствии с правилом, укаэанным в (3.36), матричным «произведением» ВА двух матриц В и А. (Заметьте, что порядок существен, АВ ч-': ВА.) Итак, можно сказать, что матрица для стоящих друг за другом двух частей прибора— это матричное произведение матриц для этих двух приборов 78 Вся математика квантовой механики является простым расширением этой идеи.
Приведем несложный пример. Пусть имеется прибор С, который мы хотим проанализировать, т. е. рассчитать различные <1~ С )»>. Скажем, мы хотим знать, что случится в эксперименте типа порознь (причем первый прибор стоит в произведении справа). И каждый, кто знает матричную алгебру, поймет, что речь идет просто об уравнении (3.36). й Т. 11реобразоеание и другому банно?7 Мы хотим сделать одно заключительное замечание относительно базисных состояний, испольауемых в расчетах. Предположим, мы захотели работать с каким-то определенным базисом, скажем с базисом Я, а кто-то другой решает провести те же расчеты с другим базисом, скажем с базисом Т.
Для конкретности назовем наши базисные состояния состояниями (»Я), где» =- +, О, —, а его базисные состояния назовем (?Т). Как сравнить его работу с нашей? Окончательные ответы для результатоз любых измерений обязаны оказаться одкнаковыми, но употребляемые в самих расчетах всевозможные матрицы и амплитуды будут другими. Как же они соотносятся? К примеру, если оба мы начинаем с одного и того же ф, то мы опишем зто ф иа языке трех амплитуд (»Я ~ ф) — амплитуд того, что ф переходит в наши базисные состояния в представлении Я, а он опишет зто ф амплитудами (?'Т ( ф ) — амплитудами того, что состояние переходит в базисные состояния в его, Т, представлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
