Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Цвет выходит другой, потому что А сдвинуто и скорость переброса электронов изменилась. ф 6. Гом«с сьс»аон«сааза нисисн«(ьс со гипноза ас» в маэнзпианом иоле Обратимся теперь еще к одной системе с двумя состояниями. На этот раз нашим объектом будет частица со свином </а. Кое-что из того, что мы намерены сказать, затрагивалось уже в предыдущих главах, но повторение поможет нам немного прояснить кое-какие темные места. Покоящийся электрон мы можем считать тоже системой с двумя состояниями. Хотя в этом параграфе мы будем толковать об «электроне», но то, что мы выясним, будет справедливо по отношению ко всякой частице со спином </ . Предположим, что в качестве наших базисных состояний ! 1) и ~ 2) мы выбрали состояния, в которых г-компонента спина электрона равна либо +с< <2, либо — <а,<2.
Эти состояния, конечно, те же самые состояния (+) и ( — ), с которыми мы встречались в прежних главах. Чтобы согласовать этп и прежние обозначения, спиновое состояние ~ 1) мы будем отмечать «плюсом», а спиновое состояние ~ 2) — «минусом», причем «плюс» и «минус» относятся к моменту количества дни»кения в направлении г. Всякое мыслимое состояние ~ ф) электрона можно описать уравнением (8Л), задав амплитуду С, того, что электрон находится в состоянии ! 1), и амплитуду С, того, что оя находится в состоянии ) 2).
Для этого нам понадобится гампльтониан нашей системы с двумя состояниями — электрона в магнитном поле. Начнем с частного случая магнитного поля в направлении г. Пусть вектор В имеет только г-компоненту В,. Из определения двух базисных состояний (что ит спины параллельны и анти- параллельны В) мы знаем. что онп уже являются стационарными состояниями — состояниями с определенной энергией в магнитном поле. Состояние ~ 7) соотн<тстнует энергии*, равной — рВ„а состояние , '-') — знергип ., 'рВ«. В атом случае гампльтониан должен быть очень простым, поскольку нн В<в амплитуду оказаться в сос гоняли ~ Х ) С, не влияет и наоборот: — — — рВ В, а лс< б< « ' <' Й Ы =- ЕтС, = Ч )<В,С,.
В этом частном случае гаьшльтониан равен Итак, мы знаем, какой вид имеет гамнльтониан, когда магнитное поле направлено по г, и знаем еще зиергии стационарных состояний. А теперь пусть поле не направлено по г. Иаков теперь гамильтониан? Как меняются матричные элементы, когда поле не направлено по г? <Иы сделаем предположение, что для членов гпмильтониана имеется своего рода принцип суперпозиции.
Точнее, мы предположим, что если два магнитных поля налагая>тся одно на другое, то члены гампльтониана просто складываются: если нам известно Н, для поля, состоящего из одной только компоненты В„ и известно Н; для одной только В„, то Н<, для поля с компонентами В,. В„ получится простым сложением.
Это бесспорно верно, если рассматриваются только поля в направлении г: если удвоить В„ то удвоятся и все НВ. Итак, давайте допустим, что Н линейно по полю В. Чтобы нанти Н<, для какого угодно магнитного поля, больше ничего и не нужно. Пусть у нас есть постоянное поле В. Мы бы могли провести нашу ось г в направлении поля и обнаружили бы два стационарных состояния с зноргиямн +-)<В. Простой выбор другого направления осей не изменил бы физики дела. Нате описание стационарных состояний стало бы иным, но их энергии * Мы принимаем знергню попон а<«с' за «нулю опер<ни и <чнтзем магнитный момент <« электрона оп<риз«т«льном числом, поскольку он напраллен против ганна, !97 по-прежнему были бы -~-!»Л, т.
е. Е, р У~ Л, -1- В' + В.'- (8.19) и Лп-- г р )/ В,+Л'+В,'. Дальше все у ко совсем легко. У нас есть формулы для энергий. Нам нужен п»»гпл ьтониап, линейньш ио Л,, В и В,, который даст гмспно такие эшрпж, если применить нашу бщую формулу (8,3). Задача — шзйзи гамильтаииаи. Прежде всего заметим, что энергия расщепляется симмсзричко и ее среднее эначеинс есть пуль. Взглянув на (8.3), мы сразу же увидим, что для э»ого требуется П.„-: — П„,.
(Замет«ае, что зчо подтверждается тем,что нам ужо известно при Л,.-.Л, - 0; в этом случа» Лн=-.— рВ, и Пт -- рВ,.) Если теперь прирайннзь энергии из (8.3) и тому, что кам известно из (8.19), то получится (~~з~ Л») !Л !»»(Л» . Л~ 1 Л») (Мы использовали таки;е тоз факт, что Пл —.Н~г, так что Л„Пм может быть записано к индо ! Н„!'.) Опять в частном случае поля в направлении г это даст и»Л +' 11 'г —.--р»Л» откуда , 'П,г ! в этом частно»«случае равно нулю, что означает, что в Ны не мояшт войти чл»н с И,. (Вы помнете, что мы говорили о лкпсйиости всех членов ио Л„Л и В,.) Пзак, пока мы узнали, что в Нп и у1»» входят члены с В,, а в Н, и Нм — нет. Можно попробовать угадать формулы, которые будут удовлетворять уравнение» (8.20), написав Н„=- - -рВ„ Н.» — рЛ.
и !Н 2 рг(В» 1 Л ) (8.21) у Оказываегся, что никак иначе этого сделать нельзя! «Погодите,— скажете вы,— Н„по Л не линейно. Из (8.21) следует, что Н„=р.р' Лг+В'-;». Не обязательно. Есть и другая возмои«ность, которан уже линейно, а ниенна — р (Лл+»Ву).
На самом деле таких возможностей не одна, в общем случае можно написать ХХ>зр(В>«Ву)с где б — произвольная фаза. Какой ик знак и какую фазу мы обязаны взять? Оказывается, что можно выбрать любой знак и фазу го;ке любую, а физические результаты от,э>ого ие изменятся. Так что выбор — зто вопрос соглашовия.
Еще до нас кто-то решил ставить вник минус и брать "".= -1. Мы можем делать так >ко и написать В,,=-- .р(В„-->В ), ХХ =-.- — р(В +>В ). (Кстати, >пи соглашения свл;шпь> и соглвсуиггся с тем произволом в выбор физ, иоторьпг з>ь> испольэовали в гл. 4.) !8>иный гэмильт>ипгак дтя;электрона в произвольном магнитном ио,иь с;и;; >ватсльно, равен ХХ„=- - рВ„ ХХ,, р (В„ ХХм =-...
р(В„+ >Ву), П,, = + рВ,. (8.22) А уравнения для амплитуд !.'> и !.'. таковы; Й'->з=- р(В б>«р(В,- Х!у)(:,,). (8.23) >!« ' — „-' =- р ((!3„. + «Ву) С>--В,«е). Итак, мы открыли «уравнения движения спиноных состоянкйа электрона в магнитном поле. У«ь> угадали их, нользуясьиекоторызш физическими аргуне»га>п . но истинная проверка всякого гамильтэ>эп>ана зз>,почается в том, что он обязан давать предсказания, согласу>ои,шсэг с эксшриментом.
И> всех сделанных проверок следует, что эти уравнения и> авильиы. Более того, хотя все иаиш рассуждения относились к постоянному полю, напигашпп! нами гамильтониан правилен и тогда, когда ма>- нитные поля меняются со временем. Значит, мы тепорь можем приъ>снять уравнения (8.2 ) для решения всевозможных интересных задач. «у >.
ЛХ>м»(гх>ом(ы!«гэ>г,>ле>стнХ>он в .иознтг»г>аом но.эе Приз>ер первын: пусть сначала имеется постоянпоо иоле в направлении з. Ему с>ютветствув>г два стационарных состояния с энергиями г> рВ,. Добавим неболыпое поле в направлении х. Тогда уравнения получатся такими же, как в на>ией старой задаче о двух состояниях.
Опять, в который раз, получается знакомый уже нам переброс, и уровни энергии немного расщепляются. Пусть, далее, х-компонента поля начнет меняться во <О и е. Кяа. Наароелеаие В опре- Эляется поляипыл Велел 0 и ази- еан~оллим.ч Валия И. времени, спээ,гм, жп, соз ая. Тогда уразяопця станут такими, как для молекулы аммиака в колеблющемся электричоскои поле (см. гл. 7).
И теи же способомт что и прежде, вы можсте рассчитать процесс. во всех деталях. При этом вы у1п|дпте, что колеблющееся поло приводят к переходам от +г-состояшгя к — г-состоянию я обратно, если только горизонтальное поле колеблется с частотов, близкой к резонансной, во=-= о(сВ,/Й. Это приводит. к кванпсовомеланопеской теории явлений магнитного резонанса, описанной нами в гл. бо (вопи 7). Моя'ио еще сделать мазер, з котором используется система со сппном '!а Прибор И1терна — Герз1аха создает пучок частиц, поляризованных, скажем, в направлении +г, и они потом направляются в полость, находящуюся в постоянном магнитном поле. Колеблющиеся в полости поля, взаимодойстзуя с магнитным моментом, вызовут переходы, которые будут снабжать полость энергией.
Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное ш>ле В, напразлспио которого харакгерязуется полярным углом 0 н азимутальным углом ~р (фиг. ЗЛО). Допустим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды С, и Са для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние элоктропа ~ ф), мы хотим написать ( р>=,'~>С,+~2>Сао где С„и С равны С, =- <~ ~ р>, Ся = <2', Ф>, а ) 1) и ( 2) обозначают то же самое, что раныпо обозначалось ,' + ) и ( — ) (по отношению к выбранной нами оси г).
Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы зпаем, что раэ спин электрона параллелен В, то электрон находится в стационарном состоянии с энергией Е,= — рВ. Поэтому хоо н С„и бт должны нзменатьсл как е 'вг' [см. УРавнение(7.18)); и их коэффиииенты ад и аа даются формулой (8.5): В,а иа Ёг — На, Вдобавок а, и аа должны быть нормированы так, чтобы было ) а, )а+ ) аа 1" =--- 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
