Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 40
Текст из файла (страница 40)
9(о„В„+о Вт )-о,В,). (9.8) Матрицы сигма так важяы (имв беспрерывно пользуются), что мы выписали их в таол. 9,1. (Тот, кто собирается работать в квантовой физике, обязав запомнить нх.) Их еще называют «пиковыми матрицами Паули — по имени физика, который их выдумал.
Т«блаза ап е спиновык млтеипы п«тли о .=( (9. 9) и переписав (9.8) в виде НО=В б, — р(о„В„+о В +о,В,). (9.10) 207 В таблицу мы включили еще одну матрицу 2Х2, которая бывает нужна тогда, когда мы хотим рассматривать систему, оба спиновых состояния которой имеют одинаковую знергию, или когда хотим перейти к другой нулевой знергии.
В таких случаях к первому уравнению в (9.1) приходится добавлять Е«С, а ко второму Е»С . Это можно учесть, введя новое обоайачение — единичную матрицу «1», или б;: Обычно просто нанимают беэ лишних оговорок, что любая копс ел»та иаподоб»е Еа автомиг»чески умножается на единичную матрицу, и тогда пишут просто 11 == ń— р (п„Л, + о 11 . (-п,В ). (0.11) Одна вз приши, отчего спина»ыс матрицы так полоэны,— это что любая матр»ца 2 к 2 может быть выражена через них.
Во всякой матрице стоят чет сне числа, скажем а б', М--( ,е с(/ Ег всегда мо»и о эашссэть в впд«»»;»ейной колсбпьасцпи чоты- рех лсаэ р»ц. Напр»мер, 0'..10 1,'О Ос 'О О, М==а( '+й ~ )чис) )-';с(( ,О О! 'О Ос 1 0~ ',0 11' Это м«жко делать го-всякому, п«, в частности, мосс;по ока,сатсч что М сосэо»т из какого-то коли и стза а плюс какое-то количестсо ох н т. д., » написать ЛГ=-с»1-'-~п„+уп +бп,, где «колнчества» и, 11.
у и 6 в обтпсм случае могут бьсть лсолсплексныыи чпслаии. Раз любая матрица 2с«': м«,кет быть выражена юрез единичную матр»цу н лссгср»цу сигма, то все, чт«может п«»ад«б»ться л»я люн«й ссссст«лсьс с двумя состоя»пил»ц у яас уске есть. Какой бы сссс «ылз с»с«она с двух»я гестас»»ссялссс — лссслокула ам»исака, крас»тс ль фукса», чтсэ угссдлло,— гам»льтоншсо урез»е шо может быть перепаса»о в сш мах. Хотя в физгческ«м случае электрона в маппгглом ноле сигмы ка»;утоп имеющ»ми геометр»ческвй слпэс»с, но пл мо;.к»«считать и просто полозным» матрицами, прпгоднымн к употреблен»ю в«всякой системе с двумя состояниями.
Например, один из способов расом«трен»я прото»а н нейтрона — это представлять их как одну а ту исе частицу в любом из двух сошоян»й. Мы говорил«, что нуклан (протон»ли нейтрон) есть система с двумя состояниям», в данном случае состояниями по отношению к электрическому заряду. Если рассматривать нуклон таким образом, то состояние,1) может представлять протон, а )") — иейтрон. Говорят, что у нуклона есть два состояния «изотопспана». Поскольку мы будем применять матрацы сигма в качестве «арифметики» квантовой механики систем с двумя состояниями, то наскоро п«знаьолшмся с соглашениями матричной алгебры. Иод «суммой» дьу.
пли большего числа матриц подразумевается касс,л«э»«, что имелось в виду в уравие»»» (О 4). С,, =,РА„В„. (9.12) Зго — с.мма произведений элементов, взятых попврвв пз <-й строчки А и )<-то ст: лбпв Л. Если матрицы рве<пивин в виде таолш<. как на фиг. 9.1, то мо.кно указать удобную «систему» получения элементов матрицы-произведения. Скажем, вы вычисляете С«» Вы двигаете левым указательным пальцем по ел<юрой строчке А, а правым — — свив ко третьему столбцу В, перемно;квоте каждую пару чисел и складываете пары по мере движения.
Мы попытались изооразпть это на рпсунк< . Для матриц 2. 2 это выглв;пп особенно просто. Иаг<ри»<ер, если и, умножается на и,. то выходит 'О 1' сО 1' '1 О' О) <С( О) (О т. е. просто единичная матрица. Или. для примера, подсчита- ем еще Взглянув на твбз. 9.1, вы видите, что это просто матрица и,, умноженная пв й (Вспомните, что умножение матрицы на число означает умножение каждого элемента матрипы нависло.) Попарные произведения сигм очень важны и выглядят они довольно забавно, твк по»ца их выппсалв в табл.
9.2. Вы сами можете подсчитать их, как мы сдю<алп вто < о, н п„п,. С матрицами о связан еще один очень интсреснь<й и важный момент. Можно, если угодно, представить себе, что три матрицы ;т,, и и и подобны трем компонентам вектора; его иногда именуют «вектором сигма» и обозначают и. Зто на самом деле «матричный вектор», или «векторная матрица». Зто три разныо матрицы, связанные каждая со своей осью в, р илп з.
С пх помощью гамильтоппан системы можно записать в красивом 14 »л »зз Вооби<е если мы «ск;завываем» две матрицы А и В, т< «сумма» С означает. что каждый ее элемент С<, дается формулои С„=-А„+В< . Каждьгй элемент С есть сумма элементов А и В, стоящих на тех же самых местах. В гл. 3, 1 б, мы уже сталкиввлпсь с представленп и о матрв .- в<зм «пропзведени<ив Тв же идея полез«а и прп обрв<ц<"нпп с м~зрзщами сигма. В общем слу <ве «произведение» двух мвтр<щ А и В (в этом именно порядке) определяется как матрица С с алементами тоб. ича З.Л ° пгоиэокдкпия спиновых мзтгпп о' -"и о" =! о,от-' †о,=-~о, о о = — о от-.=~о >т — гз'» о о„: — о,.о =Птт виде. прпгол'шм длк:побой системы коордонат: '9.ВР 0 .
--Во В. Хоти мы записал ~ зги трк матрицы в поодгтавленпи, в котором повктпя оевсрхэ н «эвита относится и направлскшо з ~так что о, выглядит осооенно просто), но можно представшь себе, как будут онп выглядеть в любом дру. я| и( сдстаэлгшш. 1( хотя зто требует немалых выкладок, моа;но все же показать, что «яи изменяются как кобшоненты вектора. (Мы, впрочем, пока не будем заботптьса о том, чтобы доказать это. Вргщсрьте сами, если хотите.) Вы можете пользоваться о в различных системах координат, как если бы это был вектор.
Вы помннто, что гамильтоннан ЕЕ связан в квантовой меха- лике с энергией. Он действбпельно е точности совпадает с зчергией в том простохб случае, когда состокний тг лько одно. Даже в системе с двуми состояниями, какое является спин электрона, если записать гамильтониан в виде <9.13), он одень напоминает ьлассическдю формулу энергии магнита с магнитным моментои и а магнитном поле В.
Классически это выглядит так: (9 где )ь — свойство объекта, а  — внешнее поле. Можно вообразить себе, что (9.11) обращается в (9.13), если классическую энергшо заменяют гамильтонианом, а классическое )ь — матрнцей рп, Тогда после такой чисто формальной замены результат можно будет интерпретировать кзк матричное уравнение. Иногда утвер;кдают, что каждой величине в классической фнзпке соответствует в квантовой механике матрица. На самом деле правильнее было бы говорить, что матрица 1'амильтона соответствует энергии и что у каждой величины, которая может быть определена через энергию, есть соответствук~щан матрица.
Например, магнитный момент можно определить через эиер- 211 гикс, ска,сав, что энергия во внешнем поле В есть — р.В. Это определаеш вектор чагнитного момеяты и. Затем мы смотрим на форчулу для гамильтониана реального (квантового) ооъекта в магнитном поле и пытаемся угадать.
какие матрицы соответствукн тем или иным величинам в классической формуле. С помощьнс этого грсока иногда д кгюсасорых клыссических величин появ.сннст(я их ью(нтовые двойники. Если хо(иге. попр ксуйте ра,соораться в том, как, в каком смысле к,скоси кокни неьтор равен и юрике рп: может оыть, вы чго-ныоусь и огь(н(ете. Но не нал(( .(охсс(ть ныд этс!и голову. Прыао же.
не стоит: на самом-то деле они ссг раыкьс. Ьвынтовая механика — это < овеем другоп тип теории, другой тпп представлений о мире. Иног.'сы случается. что всплыкакст некоторые соответс:твия, но вряд ли онп представляют гобои нечто болшпее, нежели хшемоннческие средства - прашсла для за. поминания. Иначе говоря, вы запоминаете (9, !4), когда учссте классичегкунс фи.сику; затем если вы запомнили соответствие р — рсс, со у ыаг есть повод вспомнить (9.(3).
Рйзухсеет<я, природа знает каанпи,аую механику. клысспческая,ке нвляется всего лишь ирибли,кениехс. значит, нет ни сего загадочного в том, что из-за классные( кой механики выглядыванст тым и сям тени квантовочехыничегких .(звонов, представ.снс(сигссх ны самом деле пх подоп.(еку. 55осстановить реальный объект по тени прямым путем никак невозмо;кно, но тень помотает нам вспомнить, как выглядел объект. Уравнение (9.13) — зто истина. а уравнение (9.14) — ее сень.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
