Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(5(с сперва учим классическую механику и поэтому нам хочетгы выводить из нее квантовые формулы, но раз н навсегда установленной схемы для этого нет. Приходится каждый раз ыозврасцаться обратно к реальному миру и открывать правильны( квантовомеханические уравнения. И когда они ок,(.(иван(гся похожими на что-то классическое, мы радуемся. Если зто оредостерен ения покажутся ыам нздоедливымп, (сгс((с, ио-вашему, здесь изрекаются старые истины об отношении к.сл(шиш ской фн:иски к квантовой, то прошу прощения: сработал ус.соыный !к флокс преподавателя, который привык втолковывать кыын(овукс механику студентам, никогда прежде не слыхави(нч о (поповых матрицах Паули. й(не всегда казалось, что они не с((иски в,(дежлы.
что квантовая механика как-то сможет быть вы си:и пы кык логическое следствие классической механики, той сыхсой, которую они старательно учили в прожнне годы. (Меже( быть, они просто хотят обойтись беа изучения чего-то нового,) !! . к счагтьв(, вы выучили классическую формулу (9.14) всего негко.сько месяцев тому назад, да и то с оговорками, что она не совсевс прав((льна. так что, может быть, ны не будете столь неохотно воспринимать необходимость рассматривать квантовую формулу (9.13) в качестве первичной истины. 252 ф 2.
С»!««нов»ее .и/ет//»//1ье кнн о!/еу!ап«орье Раз уж мы занялпсь математическими обозначениями, то хотелось бы описать /аае один способ записи, сгюсоб, часто употребляемый из-за своей краткостя. Он прямо следует нз обозначений, введенных в гл. 6. Если имеется система в состояния ~ ф (Е) ). изменяющемся зо времени, то можно, как мы зто делали в уравнении (6.31), написать амплитуду того, что система прп Е+ЛЕ оказалась бы з состоянии ) !): <Е , '~Р (Е ~ й/)> =- ~ </ , 'Н (Е, Е й/) ~ Е> </ ~ ~Р (Е)>. / ; Е ~~ Н(Е, Е+ АЕ)',Е> = Б,. — — Н,. (Е) ЛЕ и показывалн, что амплитуды С! (Е) = <Е (ф (Е)) связаны диффиренцпальнымп уравнениями (9.15) Если амплитуды С/ записать явно, то зто же уравнение будет выглядеть т!о-ипол/у: Е/е !/7 <Е ~ «ь> = ~~ Н!! <Е ) (/>' ! (9.16) Далее, матричные элементы Н!, — зто тоже амплитуды, которые можно записывать в виде ( е ~ Н ( 7); наше дифференциальное уравнение выглядкт тогда так: Й вЂ” „< )ф>=~;< (Н~Е><6ф>.
Мы видим, что — Е/!Е» (е(Н) Е) — зто амплитуда того, что в физических условиях, описываемых матрпцей Н, состояние ) 1) за время еее «генерирует» состояние ~ е). (Все зто неявно подразумевалось в рассуждениях гл. 6, з 4.) Теперь, следуя идеям гл. 6, $ 2, мы можем сократить в (9.17) общий «множитель» ( е ~, поскольку (9.17) справедливо при любом ( Е), и записать зто уравнение просто в виде (9.17) 4 «! ) «)/> = ~Ла Н ) 7> </ ~ «(/>. l (9.18) 213 Матричный з. емект <Е/ Г (Е, Е 1- Л/) /Е> — зто амплитуда того, что оазнсное состояние ~/> превратится в базисное состояние! г' > за время М. Затем мы определяли Н„.
при помощи Или, сделав еще один пгаг, убрать и тому же и 1 и написать гй —,'" ) (г>=-Н~ф>. (9.19) В гл. 6 мы указывали, что при такой записи Н в Н ) 1) или в Н,' ф) называется оператором. Отныне на операторы мы будем надевать маленькие шапочки ( ), чтобы напоминать вам, что зто оператор, а не число. г«(ы будем писать Н ~ ф). Хотя обо уравнения (9.18) и (9.19) вне«агат в тогвоста тожесамое, по и г9.15) или (9.17), мы можем дух»ать о них совершенно иггачг. Наггргг«гор, уравнение (г).18) можно было бы описывать так: «П)г,гиззодная ио вреьшнгг от секгаора сосггггглнол' ,чг) равняется тому, по получается от действия оггераторо !'амильтона Н иэ яаи;дое базисное состояние.
умноженному на амплитуду (1 г ф) того, что ф окажется в состоянии ), и просуммирозанному по всем ри Или уравнение (9.19) можно описать так: «Произь,гднач ио времени (умножениая на ггг) от состояния ~ ф) равняется тому, что вы получите, если подействуете гамильтонианом Й на вектор состояния , 'ф)». Это просто сокращенный способ выражения гого, что содержится в (9.17), но, как вы потом убедитесь, он может оказаться очень удобным. Если хотите, идею «абстрагирования» можно продвинуть ещо на шаг, Уравнение (9.!9) справедливо для всгмюго состояния ~ ф). Кроче того, леван сторона гаг1)ггг — это тоже оператор; его действие: ггпродифференцируй по г и умножь яа гагг. Итак, (9.19) можно рассматривать как уравнение между оператърами — операторное уравнение гй — „',= Н.
Оператор Гамильтона (с точностью до константы), действуя на любое состояние, приводит к тому же результату, что и г77сгг. Помните, что это уравнение, кав и (9.19), че есть утверждение о том, что оператор Н просто та же оггераг!ил, что н г)хогг, Эти уравнения — динамичоский закон природы (закон движения) для квантовая системы. Только для того, чтобы попрактиковаться в этих представлениях, продемонстрируем вам другой вывод уравнения (9.18). Вы знаете, что любое состояние ~ ф) можно записать через его проекции на какой-то базис (см.
(6.8)): ~ф>= "~ >( ~ф> (9.20) Как же меняется ~ ф > во времени? Продифференцируем его: Но базисные состояния ~1> во времени не меняются (по крайней мере р нес онп всегдя были определанными, закреп теннымп состояниями), и только амплитуды (1~ 1р> — зто числа, которые могут меняться. Иначе говоря, (9.21) превращается в (9 22) Но ведь! (1~ »р)1Л нам известно- — зто (9 !о); получается. сле- довательно, ,— ~ р)= — — ~ (1>~ Н, <1~' р> =- ! = — —. ~, ~ ' > < ! ~ Н ~1 > <1( «Р > =- — — т Н! 1 > < 1 ~ ф >.
б 1» а / А это опять-таки уравнение (9.18). Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность козффициентов Н;, просто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» ( ! ~ Н ( 1), можно представлять себе «матрицу» Н; и можно считать его «оператором» Н. Все это одно и то же. Вернемся теперь к нашей системе с двумя состоянв «сти. Если уж мы записываем гамильтонпан через матр щы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как В,. х и т. д.), то естественно рассматривать и аи как амплитуду (1 ) а„! 1), илк, для краткости, как опеоатор а„. Если применить зту идею оператора, то уравнение движения состояния ~ ~р) в магнитном поле можно написать в виде Й вЂ” „, ~»р>= — р(В„а,+В а +В,а,)~~р>. (9.23) Желая «нспользовать» зто уравнение, нам, естественно, приходится выражать ( ф) через базисные векторы (равноспльно тому, что приходится наход«пь компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа).
Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде: Й вЂ” „, !«р>= --)»У (В„а„+В а +В,а ) / 1>< ! 1~А>. (9 24) Сейчас вы увидите„чем красива идея оператора. Чтобы применять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда операторы а подействуют на каждое базисное состояние. Напишем а, ) +); зто какой-то вектор )?), но какойт' Что ж, умножим его слева на (+ ( и получим <+)а,(+ >=-а„„=1 2!5 (исс.,!ь»у»!сь табл.
с!.»). Итак, л ы янном, что (1> 1,) Тсис рн умпозсиы о,, '+) с.сеня па с,— ',. Получитсн .; — ! О, ! +; = сг, = —. Г», — )==с!, (Р. '!.1) г,сосести. т то,!»и и о снп вектор сост!инна, удовлетнзряниций и »Х'б). и с!с!.ОГ!); ято,—;-) !сы. с»»11» 6ыгт., !ткрыли, что (!1 О7) (а!Пяо ро !я из: су кденияип и нннс! П»н! Оо са !»!»1,, »го нсе . нссг1с»нн тки рип.
си! ма и! 'у» ! ьыь в !пер иорныт Ос!сь.ск!'!сюи!л описаны рядои ирнни,!. при!н'гнсп!ын н»я!!.1. б..». снн, !и и 11 Е! Н!! ! ! Н!!1Н! а с!, .-', ' ат —. »: .— ! -1-) Ес Осу няс ес ть яр!сиен»и!с и си !и! ! рпи си! мн,, и оии пер. »снигт ги !н !Онп»«и!ерсиорон. ! Огня .1иа ! рны рн с 1ы рс!д! н !сси!» пР~нь,!1»»»с инЯ, !и спеРО,! ПРП тУП»се» к О»п Рагс!!и «и и, рн»ор, 1,птор1,111 стоит иран!с. с.'ья!!сея!, пол о, сг„-р '> индс! попинать о, (о !-г )). )!н»нсн ь 11.3 иолУсаеи ог , 'Р ).= 1' ; '— ), ! ан что Ох Оу ~ + ) ' Пх (1! )) (11.28) 'псла (кнгн нанриъпд1, 1) 1»рсссгО и~сох!1дят с'пион! си»е~!1»торг! ,ни р; !Оры !. бсс!!ну»о! »ильин ня:и ягоры с!и!сои»111!); .сиа и», с'1.2б) перс!1;снг в оно',+) = сох ( — ) =: 1', ). Если сделать го !ко саян»е с о о ~ --).
то получится х т Ох О ( — ):=- — 1( — ). Е ни нзглннУть па табл. 9.3, то виДно, что о„ог, Де»»ствУЯ на !+ ) нли ~ — ), дас» н точности то нсе, что получается, если просто подействовать оператор> м о, и умнож>гть на — г. Лоэтому можно скззат>ь ло операция гт.о совпадает с операцих г ей гго„н ззппсг>ть зто утверждение в виде операторного уравнения о> о„=.'о.. (9.29) Уб>гдитесь, что это уравнение совлздаег с одним пз наших матричных уравнений талл. 9.2. Итак, мы опять впдли соосветствве мюкду матричной и оператг>рнол то л;ой зренля.
Каждое из уравнений в табл, 9.2 может поэтому рассматриваться н как уравнение относительно огсрзторов стима. Можно проверить, чтг оггл делствлгельло с,.шдуз>т из табл. 9,3. Раоотая с этими вешаил. лу лле лг;л дить за тем, являются ди величины типа о пал Н ош рзторзмл адл пзт рллзми. Че>г лх нл считай, уравнения зылде о>лгл л то жп тзь чсо табл. 0.2 можно лри желании относить то и ол:рзторам сигма, то к магргшам сигма. ф д. Ргчггг>гггг >Нг>гге>гг ктг(г, д.»г деда гоеьпоягггггг, 1елерь мжгшо пвсать вали уравнение двух состояний в различных злд*х, пзлрлмер; .~ лсг г лли вот т. > г'й — „-~-=-.Й~ ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
