Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Белавины Вы и /1, мы люжен звать нз (8.22), используя равенства В =ВсовО, Вт=-Вз Овгп р. Тогда мы иъшеза /1„=:---рВ сов О, В„:=- рВвгнО(со⠄— 1в)п<р). Кстати, скобка во втором уравнении есть просто е 'е, так что проще писать Л„=-В чпО сов г( (8.25) Я,. (сВ ып Ое (8. 20) 11одставляя эти матричныо элементы в (8.24) и сокращая на †)ьВ, находим и, в1п Ое аа 1 — сов 0 (8.27) а, сое (О;2) е ..1а (Ол) (8.28) Один из ответов. следовательно, таков: 0 а ==-сов — е ', и =.вгн 1 2 ' ''2 (8.
29) Ов удовлетворяет и урззнению (8.28), и условию (ад)'+)аа.:-'=-1. Вы внаете, что умная,еяяе а, н а, на произвольный фазовый мно- яситель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на е'т~"'. Принято пи- сать так: аг =сов — е'-она, аз=в)п —,е+"Р". 0 0 2 (8.30) Это и есть ответ на наш вопрос. Числа а„и аа — это амплитуды того, что электрон будет замечен спинам вверх илн вниз (по отношению к оси г), если известно, что его спин направлен Ю! Зная это отношение и зная условие нормировки, моакно найти и а,, и аа Сделать зто нетрудно, но мы сократим путь, прибегнув к одному трюку. Известно„что 1 — сов0=2вгп'(О/2) и вйгО=-2вгп(О/2) сов(О/2).
Значит, (8.27) совпадает с вдоль оси (О, ф). (Амплитуды С, и С, разны просто а, и аг, умноженным на с ') .1 -зк гй Заметьте теперь занятпукг вещь. 1)ниряжонность В магнитного поля нигде в (8,30) ке появляется. Тот гке результат, разумеется, ьолучится в пределе, если поле В устремить к нулю. Это означает, что мы дали обк(ий ответ ка вопрос, как представлять частицу, сшш которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.3(') — это проекционные амплитуды для частиц со свином ' „, подобные проекционным амплитудам для частяц со свином 1. приведенным в гл.
3 )уравнения (3.38)1. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со сивком '/ амплитудь' прогикновения через тот ыли иной фильтр Штерна— 1орлаха. 11усть 1 л-х) представляет со;тоякгш со спинок, направленным по оси " вверх, а 1-- з) -- состояапе со сшгногг онпз. Если 1+э') представляот состоянпе со олином, направленным вверх по оск г', образующей с осью - углы 9 и ф, то в обозначениях гл. 3 мы имеем (+з,'-г -''): соз г-е-гтгг, е Этп результаты зквпвал нтны тому, что мы нашли из чисто геошг ркческнх соображений в гл. й (уравпгчпге (4.36)1.
(Если вы в свое время ргпптлк пропустить гл, г, то кот перед заик одпв из ее существенных результатов,) Пэпоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором ужо не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. Сперва имеется элекгроп с огредслснным образом направленным спином, затем па 25 минут включается магните.ое поле в направлении х, а затем выключается. Каким окаисотся конечное состояпгге? Опять предо" авилг состояние в виде линейноп комбинации 1 й ) — 11) С,+, '') Сг. Но в нашей задаче состояния с определенной знергиеи являются одновременго нагпими базисными состояниями 11) к 13). Значит, С, и С, меняются только по фазе. Мы знаем, что С (~):.= (.', (О) е '"."' =- Сг (О) с и Сг (1) --- Сг (О) е ~гр = Сг (О) е Мы сказали, что вначале у спина электрона было определенноо направление.
Это означает, что вначале С, н С, были двумя числами, опредолвемтзми формулами (8.30). 11ереждав 1' секунд, новые Сг и Сг мы получим пз пре;кних умножением соответственно на е'в тг и е 'шг~~ . Что это будут за состояния г Узнать это легко, ведь это все равно, что изменить угол ф, вычтя из него 2рВ,Т(уо и не трогать угол О. Это значит, что к концу интервала времени Т состоя пно (ф > буд< т представлять электрон, выстроенный в направлении. отличающемся от первоначального только наворотам вокруг осп е на угол <ь<р=-2(<В Т7)<. Раз этот угол пропорцнона.н'и Т, то можно говорить, что направление спина прецессирует вокруг оси з с угловой скоростью 2)<Ве77<.
Этот результат мы уже получали раныпе несколько раз, но не так полно и строго. Теперь мы получили полное и точное квантовомеханпческое описание прецессии атомных магнитов. Лк<бопытно, что математические идеи, которью мы т<иько что примонилп к электрону, вращающемуся в м»гнптном поле, применимы и для люгюй системы с двумя состояниями. Это означает. что, провечя математическук< аналога<а с вращающимся зле»троном, липино при помощи чисто геометрических р»гсужд<- шш реппгть любу<и задачу для двухуровневой системы. Сперва вы сдвигаете эперп<ю так, чтобы (Н«+))аз) было равно ну<по (так что Н„-= — 77<а). И тогда любая задача о такой системе у5арнально совпадет с задачей об электроне в л<агнитном поле.
Вам нужно будет только <<таз<сдествить — )<77, г Нп, а --)<(Вк — Ы ) с П<з. И неважно, ~»к~я физик» там пыль и< рзопачально — молекула ли аммиака или что другое, -- вы можете перевестп ее на язык соответствующей задачи об электроне. Стало быть, если мы в спето<<яки решить е абн(е<в случае задачу об электроне, мы уже реящли все задачи о двух состояниях.
«< общее решеш<е для электронон у нас есть! ()усть вначале электрон обладает определенным состоянием, в котором спин направлен вверх по некоторому напраеленпац а магнитное поле  — в какую-то другую сторону. Вращайте просто напр»алони< спина вокруг оси В с веюнорнай угловой скоростью ю (7), ровной вского р <и коягтанте, умно конн~<й и» а< к «ор В (а именно <о= 2)<(<77<). Гглп В меняется со временам. даигпйт< и -пре;якому ось вращения так, чтобы она оставалась параллельной В, и <В п е.
а.77. Напранлепн««пипл олен<прона е кои«или<Чем«я моски«п. нол ниле В 7<7 преуессируеп< с чостоспой о<(<) нокруе оси, параллель. ной В. <7 изменяйте скорость вращения так, чтобы она все время была пропорциональна напряженности В (фиг. 8.11). Коли все время это делать, вы остановитесь на какой-то конечной ориентации спинозой оси, и амплитуды С, и С, получатся просто как ее проекции [при помощи (8.30)[ на вашу систему координат. Вы видите, что задача эта чисто геометрическая: надо заметить, где закончились все ваши вращения.
Хотя сразу видно, что для етого требуется, но зту геометрическую задачу (отыскание окончательного итога вращений с переменным вектором угловой скорости) нелегко в общем случае решить явно. Во всяком случае, мы в принципе видим общее решение любой задачи для двух состояний. В следующей главе мы глубже исследуем математическую технику обращения с частицами спина '/з и, следоватольно, обращеяия с системами, обладающими двумя состояниями, в общем случае. Г,.ео О Р:ЩК СИСтКМЫ С Д11У!1И СОСТ() ЯИИЯ1111 ф А С!!ммоеын .к!!и!1!!!!!с! 11абтгм Предо!!жает! обсук,дсвп: !войс;в дс ь;р, ьневых систем.
Ь' коппс предыдущсй !лазы мы говорили о часющс со спинок ','., в магнптяом поле. Мы оппсывалп спкносое состояние, задавая амплитуду С, того, что г-компонента спинового момента количества двпгкевпя равна +!!12, и амплитуду С, того, что она равна - — г!12. В предыдущих главах мы эти базисные состояния обозначалп ! + ) н ( — ). 1!рпбегнем опять к зтим обозначениям, хоти, когда зто будет удобнее, мы будем менять их па ~ 1) и ~ 2). Мы видели в последней главе, что когда частица со спином '1, и с магнитных! моментом (с находится в магнитном поле В=(В,.
В„, В,), то амплитуды С (=С,) и С (=-С,) связаны следующими дифференциальными уравнениями: гЬ вЂ” — — --п(В С +(1 — гВ )С 1, ' (9.1) с(г"',-=--р((В„+1В,)С,— В,С 1, Иначе говоря, матрица-гамильтониан 11! имеет вид 11г! = — рВ„ Ы = — — и(„— сВ ) (9.2) р( 'с-~-' „) ее-= +Р «) и, конечно, уравнения (9.1) совпадают с й — "„.', =-,'~' В„С1, ! где ! и 1 принимают значения +.и — (или 1 н 2). е Параграф 5 пря перлов чселзк еягв псв!ло пропустить. Ок слоя!кее, чек полол.еко в таких курсах. . "ч! вые мат 1(кули .'"о!зы!' мат :; к овератс "'ео'ге уран ,,* !в двух в!Й ':.
' ' 'в!вя пол гс.о!и!и! фоын ', ч-.-разькый ( .е !',Ркпе на . !:! з !' Л со!'"Г п;о! мгмен гл, ' -!в 31 «Ио, , цвяа Зта система с двумя состояниями — спин электрона — на- столько важна„что очень полезно было бы найти для ее описа- ния способ поаккуратнее и поизящнее. Мы сейчас сделаем небольшое математическое отступление, чтобы показать вам, как обычно пишутся уравнения системы с двумя состояниями. Зто делается так: во-первых, заметьте, что каждый член гамильто- ниана пропорционален р и некоторой компоненте В; поэтому (2исто Формально) можно написать П1, = — - Р (о;.' Вл+ с '.Вт + о2О В,) .
(9.4) Здесь нет какой-либо новой физики; эти уравнения просто означают, что коэффициенты о11,, а„п с; — их всего 4 Х 3=-12— могут быть представлены так, 2то (9.4) совпадет с (9.2). Посмотрим, почему это так. Начнем с В,. Раз В, встречается только в Н„и Нан то все будет в порядке, если взять о2 =-1, а -О, 11 12 о2 =О, ы2 =---1. 21 22 Мы часто пишем матрицу Н1у в виде таблички такого рода: ~12 Для гамильтовнана частицы со спнном 1/2 в магнитном поле  — зто все равно что 1' 1( — рВ, — )2(„— 1В ) ( — )2(В„-~-2В ) -(-р,В, Точно так же и коэффициенты о2~~ можно записать в виде матрицы (9.5) Расписывая коэффициенты прн В„, получаем, что элементы матрицы я„дол2кны иметь вид к к о„=О, а1,=1, к 2 с„= 1, 22„= О.
Или сокращенно: (9.6) И наконец, глядя на В , получаем о~,=- О, или (9.7) Если так определить трк матрицы сигма, то уравнения (9.1) в (9А) совпадут. Чтоо оставить место для индекс ю г и у. мы отметили, какая о стоят про какой к япюпенте Н. пос1а,яв индексы х, у, г сверху. Обы'жо, однако, 1п 1 отбрж:ьпапот (пх легко сабе и так вообрааить), а индексы х, у и з ставят внизу. Тогда (9.4) записывается так: 11=- - .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
