Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

50.1,а. (Такой шум может, например, вызвать топание ногой.) А музыкальный звук имеет другой характер. Музыка характеризуется наличием более или менее длительных тонов, или музыкальных «нот». (Кстати, музыкальные инструменты тоже умеют производить шу»й) Тон может длиться сравнительно недолго, например когда мы ударяем по клавише фортепьяно, нли неопределенно долго, когда, скажем, флейтист берет длинную ноту.

В чем состоит особенность музыкальной ноты с точки зрения давления воздуха? Музыкальный звук отличается от шума тем, что график его периодичен. Форма колебаний давления воздуха со временем пусть даже какая-то неправильная, но она должна повторяться снова и снова. Пример зависимости давления от времени для музыкального звука показан на приведенной выше фиг. 50.1,б.

Обычно музыканты, говоря о музыкальном тоне, опреде. ляют три его характеристики — громкость, высоту и «качество». «Громкость», как известно, определяется величиной изменения давления. «Высоте» соответствует период времени повторения основной формы давления («низкие» ноты имеют более длинный период, нежели «высокие»). А под «качеством» тона. понимается разница, которую мы способны уловить между двумя нотами одинаковой громкости и высоты.

Мы прекрасно различаем звучание гобоя, скрипки или сопрано, даже если высота издаваемых ими звуков кажется одинаковой. Здесь уже дело идет о структуре периодически повторяющейся формы. Давайте кратко рассмотрим звук, производимый вибрирующей струной.

Если оттянуть струну, а затем отпустить ее, то последующее движение будет определяться волнами, которые мы возбудили. Эти волны, как вы знаете, пойдут в обоих направлениях по струне, а затем отразятся от ее концов. Так онн будут бегать взад и вперед довольно долго. И сколь бы сложны ни были эти волны, они будут повторяться периодически снова н снова. Период этих повторений равен просто времени Т, которое требуется волне, чтобы пробежать диан«ды всю длину струны. Ведь это как раз то время, которое необходимо для того, чтобы любая волна, отразившись от каждого конца, вернулась в начальное положение и продолжала движение в первоначальном направлении.

Время, необходимое для того, чтобы волна достигла конца струны в любом направлении, одинаково. Каждая точка струны после целого периода возвращается в свое исходное положение, затем опять отклоняется ог него н снова, спустя период, возвращается, и т. д. Возникающий при этом звук тоже дол»кен повторять те же колебания; вот почему мы, тронув струну, получаем музыкальный звук. 202 Я З..Ряд Фурье В предыдущей главе мы познакомились с другой точкой зрения на колеблющуюся сллстему.

Мы видели, что в струне возникают различные собственные гармоники и что любое частное колебание, которое только возможно получить из начальных условий, можно рассматривать как составленную в надлежащей пропорции комбннацллю нескольких одновременно осциллнрующих собственных гармоник. Для струны мы наш»ли, что собственные гармоники имеют частоты в„2в„Зв„.... Поэтому наиболее общее движение струны складывается нз спнусоидальных колебаний основной частоты в„затем второй гармоники 2в„затем третьей гармоники Зв, и т.

д. Основная гармоника повторяется через каждый период Тл=-2я!в«, вторая гармоника — через каждый период Т.==2п(2в«; она повторяется л»анже и через каждый период Т,=2Т„т. е. посче двух своих периодов. Точно таким же обрааом через период Т, повторяется и третья гармоника. В этом отрезке укладывалотся три ее периода. И снова мы понимаем, почему задетая струна через период Т, полностью повторяет форму своего движения.

Так получается музыкальный звук. До спх пор мы говорили о движении струны. Однако гаук, который представляет собой движение воздуха, вызванное движением струны, тояле должен состоять нз тех же гармоник, хотя здесь мы уже не можем говорить о собственных гармониках воздуха. К тому же относительная сила различных гармоник в воздухе может быть совсем другой, чем в струне, особенно если струна «связана» с воздухом посредством «звучащей доски».

Разные гармоники по-разному связаны с воздухом. Если для музыкального тона функция р(л) представляет давление воздуха в зависимости от времени (скажем, такая, как на фиг. 50.1,б), то можно ожидать, что р(г) записывается в виде суммы некоторого числа простых гармонических функций от времени (подобных созв1) для каждой из различных гармонических частот. Если период колебаний равен Т, то основная угловая частота будет в=2п/Т, а следующие гармоники будут 2в, Зло и т. д.

Здесь появляется небольшое усложнение. Мы не вправе ожидать, что для каждой частоты начальные фазы обязательно будут равны друг другу. Поэтому нужно польаоваться функциями типа сов(в»+лр). Вместо этого, однако, проще использовать для каждой частоты как синус, так и косинус. Напомним, что соз(вл+~р) =сов р сов ⻠— з)п ~р з)п вл, (50.«) а поскольку лр — постоянная, то любые синусоидальные колебания с частотой в могут быть записаны в виде суммы членов, в один из которых входит злпвц а в другой — созвл. 203 У0) Ф и г. бо.е.

Любая аериодическая функция д») равна сумме аросеиыя гармонические функций. ! а, т+ с Ь + иле.д + и т.д. Итак, мы приходим к заключению, что любая периодическая функция )(») с периодом Т математически может быть записана в виде у (с) = по + + а, соз «ог+ Ь, згп саг+ +а»сов 2о»~+ Ь, з1п 2со~+ + аз созЗМ+ Ьз з1п Зсо~+ + + (50. 2) где ю=2я~Т, а а и Ь вЂ” числовые постоянные, указывающие, с каким весом каждая компонента колебания входит в общее колебание Д!).

Для большей общности мы добавили в нашу формулу член с нулевой частотой аю хотя обычно для музыкальных тонов он равен нулю. Это просто сдвиг средней величины звукового давления (т. е. сдвиг «нулевого» уровня). С этим членом наша формула верна для любого случая. Уравнение (50.2) схематически показано на фиг. 50.2. Амплитуды гармонических функций а„и Ь„выбираются по специальному правилу. На рисунке они показаны только схематически без соблюдения масштаба.

(Ряд (50.2) называется рядом Фурье для функций )(!).) Мы сказали, что любую периодическую функцию можно написать в таком виде. Следует внести неболыпую поправку и подчеркпуттп что в такой ряд можно разложить вообще любую ввуковую волну или любую функцию, с которой мы сталкиваемся в физике. Математики, конечно, могут придумать такую функцию, что ее нельзя будет составить пз простых гармонических (например, функцию, которая «заворачивает» назад, так что для некоторых величин г она имеет два значения!). Однако здесь нам не стоит беспокоиться о таких функциях. ф 3. Бачестпво и га«»мо»»««я Теперь мы уже можем описать, чем определяется «качество» музыкального тона.

Оно определяется относительным количеством различных гармоник, т. е. относительными величинами а и Ь. Тон, содержащий только первую гармонику, называется «чистым», а тон с несколькими сильными гармониками называется «богатымм Скрипка дает гарл<ониьи в одной пропорции, а гобой — в другой. Можно «изготовить» различные музыкальные тоны, если подсоединить к громкоговорителю несколько «осцилляторов». (Осци«<«<ягор обычно дает приблизительно чистые простые гармонические колебания.) В качестве частот осцилляторов мы выберем и, 2<э, 3<з и т.

д. Приделав к каждому осциллятору регулятор громкости, можно смешивать гармоники в любой желаемой пропорции и тем самым создавать звуки различного качества. Примерно так работает электрический орган. Клавиши выбирают частоту основного осциллятора, а педали контролируют относительную пропорцию различных гармоник. С помощью этих регуляторов можно заставить орган звучать как флейту, или как гобой, или как скрипку.

Интересно, что для получения такого «искусственного» авука нет никакой необходимости разделять осцнлляторы на «синуспые»и «косинусные» вЂ” для каждой частоты нам достаточно только одного осциллятора. Наше ухо не очень чувствительно к относительной фазе гармоник. Оно воспринимает «синусную» и «косинусную» части частоты в целом.

Поэтому наш анализ более точен, чем это необходимо для объяснения субъективной стороны музыки. Однако реакция микрофона или другого физического инструмента все-таки зависит от фазы, и наш полный анализ для таких случаев просто необходим. «Качество» разговорной речи определяется гласными звуками. Форма рта определяет частоты собственных гармоник колебаний звука в нем. Некоторые из этих гармоник возбуя<- даются звуковыми волнал<и от голосовых связок.

Таким способом происходит усиление одних гармоник по сравнению с другими. Когда мы меняем форму рта, мы даем преимущество гармоникам разных частот над другими. Благодаря этому эффекту, например, имеется разница между звуком «о — о — о» и звуком «а — а — а». Всем известно, что каждый гласный звук, скажем «о — о — о», когда мы говорим или поем, всегда похож сам на себя как при высоких, так и при низких частотах. Из описанного нами механизма мы бы ожидали, что когда мы открываем рот и произносим звук «а — а — а», то тем самым мы выделяем какие-то определенные частоты, которые не должна изл«енитьсл при повышении голоса.

Таким образом, с изменением высоты отношение важных гармоник к основному тону, т. е. то, что мы называем «качеством», должно как будто нвменяться. Очевидно, механизм, с помощью которого мы узнаем ввуки речи, основан но на соотношении различных гармоник, Что же можно теперь сказать об открытии Пифагора? Мы понимаем, что основные частоты двух струн, длины которых относятся как 2: 3, тоже будут относиться как 3: 2. Но почему же вместе они «приятно звучат»? Разгадку, по-видимому, нужно искать в частотах гарлюник.

Характеристики

Список файлов книги