Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Результат таков: т Ьг= — ~ 1 (г) з(п 7вг г)г. (50.10) о В предыдущих главах для описания простого гармонического движения было удобно пользоваться экспоненциальной функцией. Вместо сов ю» мы использовали Ве ехр(»ю1) — действительную часть экспоненцнальной функции. В этой главе мы использовали синус и косинус, потому что с ниг«и, пожалуй, немного проще проводить доказательства. Однако наш окончательнып результат, уравнение (50.13), можно записать в более компактной форме: ц) Во~а (50.17) ь=» где а„— комплексное число а„— 1Ь„(с Ь,=О). Если мы всюду будем пользоваться одним и тем же обозначением, то должны такя«е написать г а„= — „~ / (1) е-""' «М (и - 1).
а (50.18) 2И Итак, теперь мы умеем раскладывать периодическую волну на ее гармонические компоненты. Эта процедура называется разяолеением в ряд Фурье, а отдельные члены называются фурье-компонентами. Однако до сих лор мы не показали, что, определив все фурье-компокенты и затем сложив их, мы действительно придем назад к нашей функции )(~).
Математики доказали, что для широкого класса функций (в сущности, для всех функций, интересных физикам), которые можно проинтегрировать, мы снова получаем )(»). Но есть одно небольшое исключение. Если функция з(г) разрывна, т. е, если она неожиданно прыгает от одного аначения к другому, сумма Фурье такой функции даст в точке раарыва значение, лежащее посредине между верхним и нин«ним значениями. Таким обрааом, если у нас есть странная функция 1(г)=0 для Ов 'г(г«и ~(г) =1 для г»ЯР=Т, то ее сумма Фурье всюду даст нам правильную величину, за исключением точки»», где вместо единицы получится '/з. Во всяком случае, физически даже нельзя требовать, чтобы функция была всюду нулем вплоть до точки»», а в самой точке ~«вдруг стала равной единице.
Может быть, стоило бы специально для физиков издать такой «указ», что любая разрывная функция (которая может быть только упрощением настоящей физической функции) в точке разрыва должна принимать среднее значение. Тогда любая такая функция, с любым конечным числом «ступенек», как и все другие интересные для физики функции, будет правильно описываться рядом Фурье. В качестве упражнения предлагаем читателю найти ряд Фурье для функции, показанной на фнг.
50.3. Поскольку эту функцию нельзя записать в точной алгебраической форме, то брать интеграл от 0 до Т обычным способом невозможно. Однако чг и г, 50.3. Стуигнчатая ьрун- нч з<ь< —, . т т' т —,<ь<т. т «ь>г-вь азя Нь>= — ь аая осли разделить его па две части: по интервалу от 0 до Т(2 [на котором функция )(~) =-1) и по интервалу от Т)2 до Т (на котором ~(~) = — 11, то интеграл легко берется. В результате долькно получиться 1(1) = — (з(п ю(+ —. 5(п Зю(+ —.5(п 5ю(+...), (50.19) 4/. 1 ., 1 — я(, 3 5 где ю=2яььТ.
Таким образом, оказывается, что для нашей ступенчатой волны (со специально выбранной фавой) будут только нечетные гарыоннки, причем нх амплитуды обратно пропорциональны частотам. Давайте проверим, что для некоторого значения 1 результат (50.19) действительно дает снова ~(~). Возьмем(= Т/4 или ю(=я/2. Тогда ь" (1)= — ( з!и 3 + 3 з)п — „+ 5 з(п 3 +...), (50.20) 4г.я(.зя,1.5я 4 / 1 1 1 (50.21) Сумма этого рядаз равна л/4, а, стало быть, /(Т)=1. ф о.
Теорельа об нтьергыы Энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды. Для сложной волны энергия за один период пропорциональна г 7з (1) г(1. Эту энергию можно связать с коэффнциентальи Фурье. г а Ее можно вычислить следующим образом. Во-первых, заметны, что 31г к ь(х((1+ хь) =згс(я х. Во-вторых, разложив подынтегральное выражение з в ряд, получим 1/(1+ха)=1 — ха+ха — хг+....
Интегрируя аатем почленно втот ряд (от нуля до х), получаем агсьях=1 — кх/3+ха/5 — х'/7+..., а положив х=-1, мы докажем использованный реаукьтат, поскольку агсья 1=яь4. Напишем т $ уэ(8) вгс= ~~а,+ ч", а„соя вас+ ~ Ь„ягп пагс1 с(с. о о .-г л= 1 (50.22) После раскрытия квадрата в правой части мы получим сумму всевозможных перекрестных членов типа а;соя 5ю1 Ьг соя Тюг.
Однако вынсе мы уже показали (уравнения (50.11) н (50.12)1, что интегралы от всех таких членов по одному периоду равны нулю, так что останутся только квадратные члены, подобные а,'соя'бюс. Интеграл от любого квадрата косинуса нли синуса по одному периоду равен Т(2, так что получаем ~ / (1) с( Г = Та, '+ — (а'г + а' ,+...
+ Ь'„+ Ьа +... ) = ю Ф = Таг + — ~Ч~~ (аз + Ь ) и л=с (50.23) Это уравнение называют «теоремой об энергииь, которая гово- рит, что полная энергия волны равна просто сумме энергий всех ее фурье-компонент. Применяя, например, эту теорему к ряду (50.19), мы получаем Т вЂ” ( — )(1 — + — + — + ..) поскольку [с(г)1'=1. Таким образом мы узнали, что сумма квадратов обратных нечетных чисел равнал'с8. Точно так жэ, выписав сначала ряд Фурьедля функции и используя затем теорему об энергии, можно доказать результат, понадобившийся нам в гл. 45, т.
е. что 1+ —,„+ — „,+... равно ягг'з0. 2!3 ф 6. Неигсгьетсия угсгигсцгся Наконец, в теории гармоник есть одно очень важное явление, которое необходимо отметить, учитывая его практическую важность, но зто уже относится к области нелинепных эффектов. Во всех рассмотренных нами до сих пор системах все предполагалось линейным; реакция на действие силы, например перемесцение или ускорение, всегда была пропорциональна силам. Токи в электрической цепи были тоже пропорциональны напряжениям и т. д. Теперь мы хоткм рассмотреть случаи, когда строгая пропорциональность отсутствует. Представим на минуту устройство, реакция которого х,„„„=: — х, „в момент 1 определяется внешним воздействием х„„, = — х,„в тот же момент Ф и г.
40.4. Реа»сии. а — ла»е«»ая, х =ах вы» в»' 6 †не»ев»а», Например, х,„может быть силой, а х,„„— перемещением, пли х⻠— ток, а х„„„— напряжение. Если бы устройство было линейное, то мы бы получили (50. 24) хвы» (1) =- Кхв» (1) где К вЂ” постоянная, не зависящая ни от 1, ни от х,„. Предположим, однако, что устройство только приблизительно линейное, т. е. на самом деле нужно писать х,„» (1) =К (х„„(С)+е х,'„(1)), (50.25) где з мало по сравнению с единицей.
'1'акие линейная и нелинейная реакции показаны на фнг. 50.4. Нелкнепная реакция приводит к нескольким важным практическим следствиям. Некоторые иэ них мы сейчас обсудим. Посмотрим сначала, что получается, если пропустить через подобное устройство «чистый» тон. Пусть хв„=сов ю1. Если мы построим график зависимости х„,„от времени, то получим сплошную кривую, показанную на фнг. 50.5. Для сравнения там же проведена пунктирная кривая, представляющая реакцию линейной системы.
Мы видим, что на выходе получается уже не косинусообразная функция. Она более острая в вершине и более плоская в основании. Поэтому мы говорим, что выходной сигнал искажен. Однако, как известно, такая волна не будет уже чистым тоном, а приобретает какие-то высшие гармоники. Можно найти зти гармоники. Подставляя х,„=сов юг в уравнение (50.25), получаем хвы» = К (соз 031+ е соз юг). (50,26) Используя равенство соз'0='~в (1 — соз20), находим х,ы„= К(соз ю1+ — ' — — соз 2ю1) . 2 (50. 27) Таким образом, в выходвщей волне присутствует не только основная компонента, которая была во входящей волне, но и неко- 214 й» и г.
Бд.й. Реакция нелинейного йстройстеа на входящий сигнал соз ца для сравнения нокоеоно лике«ноя реоо.. торая доля второй гармоники. Кроме того, в выходящей волне появился постоянный член К(е/2), который соответствует сдвигу среднего значения, показанному на фнг. 50.5. Эффект возникновения сдвига среднего значения называется выпряллениелк Нелинейное устройство будет выпрямлять н давать на выходе высшие гармоники. Хотя предположенная нами нелинейность только добавляет вторую гармонику, нелинейность высшего порядка, например х,', илн х,'к, даст уже более высокие гармоники. Другим результатом нелинейной реакции является еводуля«(из.
Если входящая функция содержит два (или больше) чистых тона, то на выходе получатся не только их гармоники, но и другие частотные компоненты. Пусть хг„=А соз ю,с+В соз ю«Г, причем ю„и «ог нс находятся в рациональном отношении друг к другу. Тогда в дополнение к линейному члену (равному произведению К на входящую волну) на выходе мы получим х„, = Ке (А соз ю,г+ В сов ю«1)», (50.28) х„н, = Ке (А' созг ю,1+ В' соз' юг»+ 2АВ соз ютг соз югг). (50.29) Первые два члена в скобках уравнения (50.29) — старые знакомые. Они дают нулевую и вторую гармоники, но последний член — зто уже нечто новое.
На »тот новый «перекрестный член» АВ соз со,1 соз юг» можно смотреть с двух сторон. Во-первых, если две частоты сильно отличаются друг от друга (например, ю, много больше юя), то мы мо'кем считать, что перекрестный член представляет косинусообразные колебания с перемолкой амплитудой. Я имею в виду такую заплетя (50.30) АВ соз ю,с соз юг» = С (е) соз ю,г, С (1) = А В соз со я Г. где (50.31) Мы говорим, что амплитуда колебаний солю«лсодулируепгся с частотой юз. Во-вторых, этот же перекрестный член можно рассматривать с другой точки зрения: АВсозю,гсозю»г= — (сов(ю,— ог»)г+соз(ю,+ю»)т), (50.32) АВ т. е. можно сказать, что возникают две новые компоненты, одна из которых равна сумме частот н, +с»„а другая — разности ю» юг Таким оораэом, существуют два различных, но эквивалентных способа толкования одного н того я«е явления. В предельном случась|>)сг» можно связать эти две различные точки зрения, заметив, что поскольку (о»т +о»г) и (о,— отг) близки друг к другу, то ыентду ними должны наблюдаться биения.
Но эти биения дают в результате модуляцию амплитуды колебаний со средней частотой аю половинкой разности частот 2юг. Теперь вы видите, почему эти два описания эквивалентны. Итак, мы обнаружили, что нелинейная реакция дает несколько эффектов: выпрямление, возникновение гармоник и модуляцию, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
