Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вторая гармоника короткой струны будет иметь ту же самую частоту, что и третья гармоника длинной струны. (Легко показать или просто поверить, что, задев струну, мы возбуждаем несколько сильных нижних гармоник.) По-видимому, справедливо следующее правило: ноты звучат гармонично, когда у них есть гармоники с одинаковой частотой. Ноты диссонируют, если их в»«вшие гармоники имеют частоты, близкие друг к другу, но достаточно отличающиеся для того, чтобы между ними возникали быстрые биения.
Однако, почему биения звучат неприятно и почему унисон высших гармоник звучит приятно, мы не умеем ни определить, ни о«?исать. Исходя из наших знаний, мы не можем сказать, чтб должно приятно звучать, так же как, например, что должно приятно пахнуть. Иными словами, наше понимание этого явления не идет дальше простого утверждения, что когда ноты звучат в унисон, то это приятно. Но отсюда, кроме свойства гармонии в музыке, нам ничего не вывести, Гармон»«ческие соотношении, которые мы только что описали, легко проверить, проделав несложный опыт на фортепьяно.
Давайте обозначим три последовательные иоты до в середине клавиатуры через до, до' и до", а трн последовательные ноты соль, расположенные непосредственно выше их, через соль, соль' и соль". Основные гармоники при этом будут иметь следующие относительные частоты: До — 2 Соль — В До' — 4 Соль' — 6 До" — 8 Соль" — 12 Вот как можно продемонстрировать зти гармонические соотношения.
Давайте л«едленно нажмем клавишу до' так, чтобы она не зазвучала, но чтобы демпфер приподнялся. Если теперь на- жать до, то вл»есте с основной гармоникой будет возбуждена и вторая гармоника, которая возбудит основную гармонику струны до'.
Если теперь отпустить клавишу до (оставляя нажатой клавишу до'), то демпфер заглушит струну до, и мы можем услышать, как аамирает тихип звук струны до'. Точно таким же образом третья гармоника до может вызвать звучание струны соль' или шестая гармоника до (которая звучит гораздо тише) может вызвать колебание основной гармоники струны соль". Совершенно друтой результат получится, если мы сначала потихоньку нажмем соль, а затем ударим по клавише до'. Третья гармоника до' будет соответствовать четвертой гармонике соль, так что будет возбуждена только четвертая гармоника соль.
Мы можем услышать (если слушать очень внимательно) звук соль", который на две октавы выше, чем соль, которую мы нажали! Ъ|ожно придумать еше очень много комбинаций атой игры. Попутно заметим, что мажорный лад можно просто определить условием, что каждый ич трех мажорных аккордов (фа— ля — до), (до — ми — соль) и (соль — си-бемоль — ре) представляет последовательность тонов с отношением частот (4: 5: 6). Эти отношения и тот факт, что в октаве (до — до', соль — соль' и т. д.) частоты относятся как 1: 2, определяют в «идеальном» случае весь строй, который называется «натуральным, или ппфагорийским строем».
Но обычно клавишные инструменты типа фортепьяно не настраиваются таким образом, а устраивается небольшая «подтасовка», так что для всех возможных начальных тонов отношение частот тольно приблизительно верно. Прн таком строе, названном «темперированным», окгана (для которой отношение частот по-прежнему равно 1: 2) делится на 12 равных интервалов, так что отношение частот для каждого интервала равно (2)'' . Для квинты отношение частот будет уже не »7», а (2)ч =1,499, но для большинства людей оно достаточно близко к »1'»э. '" В основе.
делеппя октазь» па 12 ступ«пой лежит открытие Пифагора. Он брал струну, зажимал се посредине в получал звук на октаву выше, чэм звук и«зажатой струны. Затем половину струны он опять зажимал посреднно н получал звук еще на октаву выше н г. д. Точно так же, зажимая последовательно струну на '7 длины, он каждый раз получал авук выше па квинту. И зот оказалось, что 12 квант почти точно укладываются иа интервала з 7 октав (т. с. 2' (»7»)'»). Коли же таперь от каждой квинты отложить целое число октав вверх н знпз, то каждая перзопачальная октава рааделитсл на 12 частей.
Так возник лиф«горийский строй. Однако беда з том, что 12 квинт только ариелиеиж«лько равны 7 октавам, поэтому в разных местах диапазона «лес«яки» получались неровные. Прн развитии мелодии зти неточности вакапливались и возникали противные уху интервалы, так называемые «волкн», которые страшно досаждали музыкантам. «!когда дело доходило до курьезов. Рассказывают, что иазестный композитор Жак Рамо сумел так ловко извлекать из оргйна 207 Итак, мы установили правила благозвучия через совпадение гармоник. Может быть, это совпадение и является причиной благозвучия? Кто-то утверждал, что два абсолютно чистых тона, т.
е. тщательно очищенных от высших гармоник, ие дают ощущения благозвучия или неблагозвучия (диссонанса), когда их частоты равны или приблизительно равны ожидаемому отношению. (Вто очень сложный эксперимент, поскольку приготовить чистые тоны очень трудно по причинам, которые мы увидим далыне.) Мы не можем с уверенностью сказать, сравнивает ли ухо гармоники или занимается арифметикой, когда мы решаем, что звук нам нравится. 5 4. КоэфЯ««гр«ент»»»я Фурье Вернемся теперь к утверждению о том, что каждую ноту, т. е. любое периодическое колебание, можно представить в виде надлежащей комбинации гармоник.
Хотелось бы знать, как можно найти нужную долю каждой гармоники. Конечно, если нам даны все коэффициенты а и Ь, то, пользуясь формулой (50.2), легко подсчитать функцию )(~). Теперь же вопрос состоит в том, как можно найти коэффициенты при различных гармониках, если нам задана функция )(~)» (Нетрудно испечь пирог, если есть рецепт, но как, отведав пирог, написать его рецепт») Фурье открыл, что на самом деле сделать это не очень трудно.
Член а„уж наверняка нетрудно найти. Мы говорили, что он равен среднему значению )(0 на протяжении одного периода (от «=0 до ~=Т). Легко увидеть, что это действительно так. Среднее значение синуса или косинуса на протяжении одного периода равно нулю. На протяжении двух, нлн трех, или другого целого числа периодов опо тоже равно нулю. Таким образом, среднее значение всех членов с правой стороны (50.2), за исключением только а„равно нулю. (Напомним, что мы должны выбрать ш=2л)Т.) Далее, поскольку среднее значение суммы равно сумме средних, то среднее значение функции ~(0 равно просто среднему от а,. Но ведь а, — просто постоянная, и ее среднее значение ° волчья» звуки, что ода»жди, »вез«я отказаться от должности церковного органиста, привел своей ангрой» в ужас святых отцов в убедил ях в своев «бесталзвяоств», Много свл было потрачено яз язгяаяве «волков».
Этим, в частности, безуспешно ззнямались такие умы, кая Кеплер я Эйлер. Однако сделать зто удалось яе фвзяку в ве математику, а органисту Андрею Веркмейстеру. Решевяе его гела»льве просто: ся отказался от частых квинт, укоротив ях кзк раз настолько, чтобы дюжина вместилась в 7 октав, и несовместимое совместилось, а «волкл» ясчезля.
Тзк возвяк современный темперированный строй.— Прим. ред. 20й равно ей самой. Вспомяная определение среднего, мы получаем г ав= у~1(т) «T. о (50.3) Найти остальные коэффициенты ненамного труднее. Чтобы сделать это, используем один фокус, открытый самим Фурье. Предположим, что мы умножили обе стороны уравнения (50.2) на какую-то гармоническую функцию, скажем на соя 7юп Прн этом получается ! (1) соя 7ы1 = аь соз 7ю1+ ; а, соз ют соя 7 ют ле б, з1п юг соя 7ьн+ + а, соз 2юссоз 7а1+ 5, з!и 2Ы соя 7ю1+ + + + а, соя 7ю1соз 7ют+ Ь, з1п 7ао1 соя 7ю1+ (50.4) А теперь усредним обе стороны равенства. Среднее от члена авсоя7ют по периоду Т пропорционально среднему от косинуса по семи его периодам.
Но последнее просто равно нулю. Среднее почти всех остальных членов тоже будет равно нулю. Действительно, давайте рассмотрим член с аы Мы знаем, что в общем случае соя А соя В = —, соз (А + В) + —, соя (А — В), (50.5) 1 так что член с а, равен —, а, (соз 8ю1+ соз бю1). 1 (50.6) Косинус нуля равен единице, а среднее от него, разумеется, тоже равно единице. Итак, мы получили, что среднее от всех членов с косинусами уравнения (50.4) равно т/ а,. Таким образом получаются два косинуса: один с восемью полными периодами, а другой с шестью.
Оба они равны нулю. Поэтому среднее значение этого члена тоже равно нулю. Для члена с аз мы получаем соя 9ют и сов быт, каждый из которых при усреднении превратится в нуль. Для члена с а, получится соя16ю1 и соя( — 2ю1). Но соя( — 2ю1) — это то же самое, что соя 2<от, так что опять оба члена дадут при усреднении нуль. Ясно, что все слагаемые с косинусами, ва исключением одного, дадут при усреднении нуль. Этим единственным слагаемым будет член с а,. Для него же мы получим —.
а, (соз 14Ы + соз О). (50.7) Еще легче расправиться с синусами. Когда мы умножаем их на косинус типа соз ивг, то таким же методом могкно показать, что все они при усреднении обращаются в нуль. Мы видим, что способ, придуманный Фурье, действует как своеобразное сито. Когда мы умноягаем на соз 7вг и усредняем, то все члены, кроме а„отсеиваются и в результате остается Сролвее (г (1) соз 7Ы) = —,', (50.8) илн а„= — ~ г (1) соз 7в1сгг. 2 Г о (50.9) Но то, что верно для 7, очевидно, верно и для любого другого целого числа. Теперь мы запишем результат нашего доказательства в следующей, более элегантной математической форме.
Если тп и п — целые отличные от нуля числа и если в=2л7Т, то г 1. ~ з|п п вг сов т вг т)г =О. о т П. ~ соз гг вг соуп вг г(г = о т П1. ) з(пггвг з(пег вг ой= о 1гг. /(1) =аз-)- '>', а„сов п вг+ ~'„Ь„з)п гг в1. о=г о=г т 1г. а = —.~1(г) агг. о т а„= —,~ г (г) соз и вг г)1. 2 Г » — т1 о т 2 г 'г г~ г ( ) з'" " в~ о (50. 11) О, если и+гп г — если и =т 2 (50.12) (50.13) (50.14) (50 15) (50.16) 210 Пусть читатель сам докажет, что коэффициенты Ьг, например, находятся с помощью умножения (50.2) на в1п 7вг и усреднения обеих частей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
