Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Если речь идет о звуке, то зто скорость звука, если о свете — то зто скорость света. Мы показали, что для звуковой волны перемещения частиц должны распространяться с некоторой скоростью. Но избыточное давление, как н избыточная плотность, тоже распространяется с некоторой скоростью. Таким образом, можно ожидать, что и давление будет удовлетворять этому же уравнению. Так оно и есть на самом деле, однако докажите это самостоятельно. Указание: р„пропорционально скорости изменения )( с расстоянием л. Следовательно, продифференцпровав волновое уравнение по х, мы немедленно обнару~ням, что д2!дз удовлетворяет тому же самому уравнению.
Другими словами,р„ удовлетворяет тому же самому уравнению. По Р„ пропорционально р„ поэтому и Р„ удовлетворяет тому же самому уравнению. Таким образом, и давление, п перемещение — все описывается одним и тем же уравнением. Обычно волновое уравнение для звука записывается через давление, а не через перемещение. Это проще, потому что давление — сьаляр и не имеет никакого направления. Но перемещение есть вектор, и поэтому лучше иметь доло с давлением. Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, относится к волновому уравненшо з трехмерном пространстве.
Мы знаем, что звуковая волна в одномерном пространстве описывается решением ехр[[(<И вЂ” йг)1, где со=йс,. Кроме того, нам известно, что в трех измерениях волна описывается выражением схр[[(юà — lс„х — йзу — Л,г)1, я в этом случае сэ'= — йзс~ [сокращенная запись (из+я, 1-1с',)с',1. Сейчас мы хотим просто угадать вид волнового уравнения в трехмерном пространстве. Естественно, что в случае звука это уравнение можно получить с помощью тех же самых динамических соображений, но уже в трехмерном пространстве. Однако мы не будем сейчас делать этого, а просто напишем ответ: уравнение для давления или перемещения (или чего-то другого) имеет вид (48.23) дх~ + дг' ' дз' з Шэ с правильность этого уравнения может быть легко проверена подстановкой в него функции ехрИ(юг — й г)1.
Ясно, что при каждом дифференцировании по х происходит умножение на — й,. Если мы дифференцируем дважды, то зто эквивалентно умножению на — к„так что для такой волны первый член получится равным — й Р„. Точно таким же образом второй член окажется равным — 1" Р„, а третий — равным — Й;Р„.
С правой же стороны мы получим — юстас,'Р,. Если мы вынесем за скобку Р„и изменим знаки всех членов, то увидим, что между й н ю как раз получится желаемое соотношение. Возвращаясь назад, мы должны прийти к основному уравнению, соответствующему дисперспонному соотношсни ю (48.22) для квантовомеханической волны. Если ~р — амплитуда нахождения частицы в момент г в точке с координатами х, у $8$ и з, то основное уравнение квантовой механики для свободной частицы имеет вид д'ср д'ср д'ср $ д'ср т'с' — + —,+ —,— — — = — ср.
да2 др' д ' с' дс' й~ (48.24) Прежде всего заметим, что релятивистский характер этого уравнения гарантируется появлением координат х, у, г и времени г в такой удачной комбинации, что она автоматически учитывает принцип относительности. Кроме того, это уравнение волновое. Если подставить в него плоскую волну, то как следствие мы получим равенство — й'+со",сз=вс'с',ссз, которое дол>вне вьшолняться в квантовой механике. В этом волновом уравнении содержится еще одна фундаментальная вещь: любая суперпозиция воли также будет его решением. Таким образом, это уравнение опирается на восо квантовую механику и всю теорию относительности, которая уже обсуждалась нами до сих пор, по крайней мере когда мы имели дело с едияственной частицей в пустом пространстве без всяких потенциалов и воздействующих на нее сизс1 й", Х.
Собетвенньсе колебания Вернемся теперь к другим очень любопытным примерам биений, которые немного отличаются от того, что мы рассматривали до сих пор. Представьте себе два одинаковых маятника, которые связаны между собой слабой пружинкой. Длины их должны быть одинаковыми с возможно большей точностью. Если мы оттянем один маятник и отпустим его, то он будет начаться взад и вперед и будет тянуть то взад, то вперед связывающую пручкинку, т.
е. получится устройство, создающее силу с собственной частотой второго маятника. Можно заключить из анакомой нам теории резонансов, что если к какому-то предмету прикладывать с надлежащей частотой силу, то она будет двигать этот предмет, Таким образом, ясно, что один маятник, двигаясь взад н вперед, будет раскачивать второй. Однако при этих условиях происходит некое новое явление, связанное с тем, что энергия системы конечна. Первый маятник постепенно растрачивает свою энергию, вызывая движение другого маятника, и в конце концов полностью отдаст свою энергию и остановится.
Вся энергия теперь будет сосредоточена во втором маятнике. Но пройдет немного времени и все будет происходить наоборот: энергия из второго маятника будет перекачиваться назад, в первый маятник. Это очень интересное и аанимательное явление. Мы сказали, что оно связано с теорией биений, и сейчас мы должны показать, как можно понять это явление с точки арения этой теории. 483 Обратите внимание, что движение каждого из двух маятников — это колебания с циклически изменяющейся амплитудой. Поэтому двиясение одного из маятников можно, очевидно, рассматривать с различных точек зрения, в частности как сумму двух одновременных колебаний с мало отличающимися частотами.
Таким образом должно быть возможно обнаружить в отой системе два других движения и утверждать, что поскольку система наша, безусловно, линейная, то мы видим суперпозицию этих двух решений. Действительно, легко найти два способа так запустить нашу систему, что каждый из нпх даст в результате идеальное абсолютно периодическое колебание с одной частотой. Движение, с которого мы начали, не строго пориодично, оно не продолжается все время(один маятник постепенно передает сво|о энергию другому и изменяет свою амплитуду), но есть способы так начать движение, что не будет никаких подобных изменений.
Как тольковы узнаете, что это за способы, то сразу же поймете почему, Коли, например, мы запустим оба маятника одновременно, то, поскольку длина их одинакова и пружинка в этом случае бездействует, оба маятника так и будут продолжать качаться все время вместе. (Разумеется, если нет трения и все достаточно хорошо подогнано.) С другой стороны, существует еще одна возможность создать строго периодическое движение, которое также имеет определенную частоту,— когда маятники, оттянутые вначале в разные стороны на точно равные расстояния, движутся в противоположных направлениях. Нетрудно сообразить, что пружинка немного увеличивает «восстанавливающую силу», возникающую из-за действия силы тяжести, и система колеблется с несколько большей частотой, чем в первом случае,— вот и все.
Почему с большей? Да потому что пружинка тянет, помогая силе тяжести, и это делает систему более юкесткой», так что частота такого колебания чуть-чуть больше. Итак, создать колебания с постоянной амплитудой в нашей системе можно двумя способами: либо оба маятника качаются все время вместе с одной частотой, либо опи качаются в противополонсных направлениях с несколько болыней частотой. Действительное же движение системы, поскольку она линейна, можно представить в виде суперпозиции этих двух способов. (Напомним, что предметом этой главы являются эффекты сложения двух движений с различнымн частотами.) Давайте подумаем, что произошло бы, если бы мы сложили эти два решения. Ксли в момент »=0 запустить ооа эти движения (причем с равными амплитудами и одинаковой фазой), то сумма этих двух движений означает, что один маятник, на который каким-то образом воздействовало первое движение и противоположным образом воздействовало второе, должен оставаться на месте, тогда как другой маятник, двигаясь одинаково при 183 обоих способах движения, качается о удвоенной амплитудой.
С течением времени, однако, оба зти основных дв женил, существуя независимо одно от другого, медленно сдвигаются по фазе одно относительно другого. Это означает, что после достаточно большого промежутка времени, такого, что в первом двиягении произойдет, скажем, 900,5 колебания, а во втором— только 900, относительная фаза станет как раз обратной по отношению к тому, что оыло вначале. Иначе говоря, маятник, имевший вначале большую амплитуду, остановится, тогда как маятник, неподвижный вначале, начнет качаться изо всех сил~ Итак, мы видим, что такое сложное движение моя~но рассматривать в рамках идеи резонансов, когда энергия от одного маятника переходит к другому, нли как суперпозицию двух движений с постоянной амплитудой и разлвчнымн частотами. т'л и в гг 4О СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1.
Отражение воли Ф 1. Оггг)гпзгсегггге волн В этой главе мы рассмотрим ряд замечательных явлений, возникающих в результате «заключения» волны в некоторую ограниченную область. Сначала нам придется установить несколько частных фактов, относящихся, например, к колебанию струпы, а затем, обобщив зти факты, мы придем, по-видимому, к наиболее далеко идущему принципу математическои физики. Первый пример волн в ограниченном пространстве — это волны в пространстве, ограниченном с одной стороны. Даваихе возьмем простой случая одномерной волны на струне. Можно было бы рассмотреть плоскую звуковую волну в пространстве, ограниченном с одной стороны стенкой, кли какис-то другие примеры той яге природы, но для наших теперешних целей вполне достаточно простой струны. Предполо;кпм, что один конец струны закреплен, ну, например, вмурован в «абсолютно жесткуюа стенку.
Математически это можно описать, указав, что перемещение струны у в точке х=О должно быть нулем, ибо конец струны пе может двигаться. Далее, если бы в этом деле не участвовала стенка, то, как мы знаем, общее решение, описывающее движение струны, можно было бы представить в виде суммы двух функций Р(х — сг) и С(х+ сг), причем первая описывает волну, бегущую по струне в одну сторону, а вторая — в другую, так что у=У (х — сг) + С (х+сг) (49,1) будет общим решением для любой струны. По нам, помимо этого, нужно еще удовлетворить 2. Волны в ограни генном пространстве п собствшгные частоты 3 Дву«при«ге собственные колеоанпя 4.
Связанные маятники б. Линейные системы р -х+с« Ф и г. бУЛ. Отралеение от стенки как сукеркоеиуик двух бегужих волн. условию неподвижности одного конца. Если в уравнении (49.1) мы положим х=О и посмотрим, какие будут у з любой момент 1, то получим у=г( — сс)+6(+се). Но эта сумма должна быть нулем в любой момент времени, а зто означает, что функция 6(+се) должна быть равна — Р( — сг).
Другими словами, функция С от некоторой величины должна быть равна функции — Р от той же величины со знаком минус. Подставляя снова полученный результат в уравнение (49.1), находим решение поставленной задачи: у = Р (х — сЕ) — Р ( — х — с»). (49.2) Ясно, что это выражение всегда даст у=О, если х положить равным нулю. На фиг. 49.1 представлена волна, идущая в отрицательном х-направлении вблизи точки х=О, и гипотетическая волна, идущая в противоположном направлении с обратным знаком и с другой стороны от начала координат. Я сказал «гипотетическая», потому что с другой стороны, конечно, никакой колеблющейся струны нет. Истинное же двюкевие струны должно рассматриваться как сумма этих двух волн в области положительных х. Достигнув начала координат, онн в точке х=О полностью уничтожат друг друга, а затем вторая (отраженная) волна, пдущая, разумеется, в противоположном направлении, окажется единственной волной в области положительных х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
