Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Например, написанная ранее формула для показателя п говорит, что й есть определенная известная функция частоты <е. Для большей определенности давайте выпишем формулу зависимости й и ео в данной частной задаче: и а А .== — —— с ок (48.14) где а=)Уд',!2е„т — постоянная. Во всяком случае, мы хотим сложить такие две волны, у которых для каждоп частоты существует определенное волновое число.
Давайте сделаем зто точно так же, как и при получении уравнения (48.7): еж '-ь ю+е'кж-ь ю =е ми" +зп ' — и '"*~ м х к (воз ца,-н*) ~-(м — мм -)- е-ьч ка~ — ип ~-м~-4~) м). (48. 15) Таким образом, снова получается модулированная волна, распространяющаяся со средней частотой и средним волновым числом, однако сила ее меняется в соответствия с выражеяием, зависящим от разности частот и разности волновых чисел. Рассмотрим теперь случай, когда разности мея<ду двуми волнами относительно малы. Предположим, что мы складываем две волны с приблизительно равными частотами, при этом (ю,+ю,)72 практически равно каждой из частот ю. То же можно сказать и о (й,+йт)/2. Таким образом, скорость волны, быстрых осцилляций, узлов действительно остается равной сьев.
Но смотрите, скорость распространения модуляций не та же самая! Как нужно изменить х, чтобы сбалансировать некоторую величину времени й Скорость этих модулирующах волн равна и,— бэ, Ю ж — з, у,, (48.16) зм в гр лз' (48.17) Другими словами, чем медленнее модуляции, тем медленнее и биения, и вот что самое удивительное — существует опреде- Скорость движения яшдуляций иногда называют групповой скоростью. Если мы возьмем случай относительно малой разности между частотами и соответственно относительно малой разности между волновыми числами, то зто выражение переходит в пределе в с о гр 1+— со 2 (48.
18) что меныпе, чем с! Таким обрааом, хотя фазы могут бежать быстрее скорости света, модулирующие сигналы движутся медленнее, и в этом состоит разрешение кажущегося парадокса! 177 ленная скорость нх распространения, которая не равна фазовой скорости волны. Групповая скорость равна производной со по 4н а фазовая скороюпь равна отношению эзар. Посмотрим, можно ли понять, почему так происходит.
рас смотрим две волны с несколько различными длинами, как это покааано на фиг. 48.1. Они то совпадают по фазе, то различаются, то снова совпадают и т. д. Однако теперь эти волны в действительности представляют волны в пространстве, распространяющиеся с немного различными скоростями. Но поскольку фазовая скорость, скорость узлов этях двух волн, ве в точности одинакова, то происходит нечто новое.
Предположим, что мы едем рядом с одной из волн н смотрим на другую. Если бы онп двигались с одинаковой скоростью, то вторая воляа оставалась бы относительно нас там же, где и была с самого начала, поскольку мы едем как бы на гребне одной волны и индии гребень второй прямо около себя. Однако в действительности скорости не равны. Частоты немного отличаются друг от друга, а поэтому немного отличаются и скорости. Из-за этой небольшой разницы в скоростях другая волна либо медленно обгоняет нас, либо отстает. Что же с течением врел1ени происходит с узлом? Если чуть-чуть продвинуть одну из волн, то узел при атом уйдет на значительное расстояние вперед (или назад), т. е.
сумма этих двух волн имеет какую-то огибающую, которая вместе с распространением волн скользит по ним с другой скоростью. Групповая скорость является той скоростью, с которой передаются модулирующие сигналы. Если мы посылаем сигнал, т. е. производим какие-то изменения волны, которые могут быть услышаны и расшифрованы кем-то, то это является своего рода модуляцией, ио такая модуляция при условии, что она относительно медленная, будет распространяться с групповой скоростьн1 (быстрые модуляции аначительно труднее аналиаировать). Теперь мы лгожелз показать (наконец-то!), что скорость распространения рентгеновских лучей в куске угля, например, не больше, чем скорость света, хотя фазовая скорость больше скорости света.
Чтобы сделать это, нужно найти соотношение г?го/глк, которое мы вычислим дифференцированием формулы (48.14): с??с?г?го=1/с+а?голе. Л групповая скорость равна обратной величине, т. е. Разумеется, в простейшем случае ю=пс групповая скорость в7ю7ввй тоже равна с, т. е. когда все фазы движутся с одинаковой скоростью, естественно, и групповая скорость будет той же самой. ф Ю. Лмплигтгудвх оерояпгноопги вгасгмтц Рассмотрим еще один необычайно интересный пример фазовой скорости.
Он относится к области квантовой механики. Известно, что амплитуда вероятности найти частицу в данком месте изменяется при некоторых обстоятельствах в пространстве и времени (давайте возьмем одно измерение) следующим образом: 3)в = 4св (нв-аю (48 19) где ю — частота, связанная с классической энергией, Е=угю, а й — волновое число, которое связапо с импульсом соотношением р=Ы. Мы говорим, что частица имеет определенный импульс р, если волновое число в точности равно Й, т, е. если бежит идеальная волна повсюду с одинаковой амплитудой. Выражение ~48.19) дает амплитуду вероятности, но если мы возьмем квадрат абсолготной величины, тополучнм относительную вероятяость обнаружения частицы как функцию положения и времени.
В данном случае она равна постоянной, что означает вероятность обнаружить частицу в любом месте. Рассмотрим теперь такой случай, когда известно, что обнаружить частицу в каком-то месте более вероятно, чем в других местах. Подобную картину мы описываем волной, которая имеет максимум в данном месте и сходит на нет по мере удаления в стороны (фиг. 48.6). (Это не то >ко самое, что изображено на фиг. 48 1, где волна имеет целый ряд максимумов, но сяими вполне можно расправиться, сложив несколько волн с приблизительно одинаковыми значениями ю и вь Хаким способом можно избавиться от всех максимумов, кроме одного.) При этих обстоятельствах, поскольку квадрат выражения (48.19) представляет вероятность найти частицу в некотором месте, мы знаем, что в данный момент больше гвансов найти частицу вблизи центра «колокола», где амплитуда максимальна.
Ф а в. йв.й. 7аналаввванннй волновой аанвт. 178 Если подождать немного, то волна передвинется, и по прошествии некоторого промежутка времени «колокол» перейдет в какое-то другое место. Зная, что частица вначале где-тобыла располоясена, мы ожидали бы, согласно классической механике, что она будет где-то и позднее, ведь есть же у нее скорость и импульс в конце концов. При этом квантовая теория дает в пределе правильные классические соотношения »~ежду энергией, импульсом и скоростью, если только групповая скорость, скорость модуляции, будет равна скорости классической частицы с тем же самым импульсом. Сейчас необходимо показать, так ли это на самом деле илп нет.
Согласно классической теории, энергия связана со скоростью уравнением т«» (48. 20) Точно таким же образом импульс равен (48.2)) Как следствие отсюда после исключения э получается Е' — р'с' = и»с«, т. е. р р =т». Это величайший результат четырехмерья, о котором мы уже говорили много раз, устанавливающий связь меясду энергией и импульсом в классической теории. Теперь же, поскольку мы собираемся заменять Е и р на ю и й с помощью подстановки Е=Ьэ и р=Ь7«, он означает, что в квантовой механике должна существовать связь (48.22) Таким образом, возникло соотношение между частотой и волновым числом квантовомеханической амплитуды, описывающей частицу с массой т.
Из этого уравнения можно получить т. е. фазовая скорость юй снова больше скорости света! Рассмотрим теперь групповую скорость. Она должна быть равна скорости, с которой движется модуляция, т. е. Иа»Я/с. 179 Чтобы найти ее, нужно продифференцировать квадратный корень; это дело нехитрое. Производная равна Но входящий сюда квадратный корень есть попросту юус, так что зту формулу можно записать в виде йод с'вайо. Далее, так как й!со равно р,'Е, то азд гР 8 По, согласно (48.20) п (48.21), с'р,'Е равно и — скорости частицы в классической механике. Таким образом видно, что, принимая во внимание основные квантовомеханические соотношения Е=лез н р=Ы, определяющие ю и й через классические величины Е и р п дающие только уравнение оз' — й'с'= =тзсЧйз, теперь можно понять также соотношения (48.20) н (48.21), связывающие Е и р со скоростью. Групповая скорость, разумеется, должна сыть скоростью частиц, если зта интерпретация вообще имеет какоп-либо смысл.
Пусть в какой-то момент, как мы полагаем, частица яаходится в одном месте, а затем, ска;кем через 10 минут, — в другом. Тогда, согласно квантовой механике, расстояние, пройденное «колоколомэ, разделенное на интервал времени, догпкно равняться классической скорости частицы. 8 6. Ло.зим е мрострамозпве трех измеретаззй Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими общими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, призванные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претендуют на то, чтобы вы поняли их сразу; они должны скорее показать, как будут выглядеть все эти вещи, когда вы несколько больше познакомитесь с волнами. Мы уже записали уравнение для распространения звука в одном измореяии: д'Х 1 д Х дз' ын дм здесь с — скорость того, что мы назвали волнами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
