Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Математически нам нужно ваять сумму двух косинусов и как-то ее перестроить. Для этого потребуются некоторые полезные соотношения между косинусами. Давайте получим их. Вы знаете, конечно, что е«а+ и а<аз<а (48.1) и что вещественная часть экспоненты е" равна сова, а мнимая часть равна а<па. Если мы возьмем вещественную часть ехр( — <(а+Ь)), то получим сов(а+6), а для проиаведення е"е< =(сова+ <в(па)(сов 6+< з)п Ь) мы получаем соз а соз Ь вЂ” з)п а з)п Ь плюс некоторая мнимая добавка. Сейчас, однако, нам нужна только вещественная часть. Таким образом, соз (а+ 6) == соз асов Ь вЂ” з<п а з1п 6.
Если теперь изменить знак величины Ь, то, поскольку косинус прн этом не изменяет анака, а синус изменяет знак на обратный, мы получаем аналогичное выражение для косинуса равности соз (а — 6) соз а соз 6 +з1п а з1п 6. (48.3) После сложения этих двух уравнений произведение синусов сократится, и мы находим, что произведение двух косинусов равно половине косинуса суммы плюс половина косинуса разности соз а соз Ь =- — сов (а+ Ь) д- —, соз (а — Ь). (48.4) 1 1 Теперь можно обернуть это выражение и получить формулу для соз««+сов(1, если просто поло>нить и= а+ Ь, а )> = а — Ь, т. е.
а=>>>«(>»+))), а Ь=',',(я — р): соз а+ соз (3 == 2 соз —, (с« -,'- 'р) соз —, (а — р). (48.5) 1, 1 2 2 Но вернемся к нашей проблеме. Сумма созе»1 и сов>о»1 равна 1 1 созе»1-, 'созо>.,1=-2соз —,(о»+о>«)1соз —,(ю,— с>«) 1. (48.6) Пусть теперь частоты приблизительно одинаковы, так что >Яо»+<о») равна какой-то средней частоте, которая болев или менее та же, что и каждан из пих.
Но разность ю — ю, гораздо меньше, чем >о> в юю поскольку мы предположили, что о» и о>«приблизительно равны друг другу. Это означает, что результат сложения можно истолковать так, как будто есть косинусообразная волна с частотой, более или менее равной первоначальным, но что «размах» ее медленно меняется: он пульсирует с частотой, равной >/»(«о> — о>>).
Но та ли зто частота, с которой мы слышим биения? Уравнение (48.6) говорит, что амплитуда ведет себя как соз>/»(о» вЂ” о>»), и это надо понимать так, что высокочастотные колебания заключены между двумя косинусондами с противоположными знаками (пунктирная линия на фиг. 48А). Хотя амплитуда действительно меняется с частотой >/»(о» вЂ” <о»), однако если речь идет об интенсивности волн, то мы должны представлять себе частоту в два раза большую. Иначе говоря, модуляция амплитуды в смысле ее интенсивности происходит с частотой ໠— ю„хотя мы и умно>каем на косинус половинной частоты. Пренебрегая этими небольшими усложнениями, мы можем заключить, что если складывать две волны с частотами э>, и ю„то получим волну с частотой, равной средней частоте '~.,(«о>+ю»), «сила» которой осциллирует с частотой о> — ю,. Если амплитуды двух волн различны, то можно, конечно, повторить все вычисления снова, умножив предварительно косинусы на равличные амплитуды А н А» и производя массу всяких математических вычислений, перестроек и т.
п. с использованием уравнений, подобных (48.2) — (48.5). Однако есть н другой, более легкий путь провести этот же аналиа. Известно, гьг и ь, вд.х, Реьдльтат сложения дедя комгглексних векторов с равнылги частотами. например, что гораздо легче работать с экспонентами, чем с синусами и косинусами, поэтому можно представить 1, сов иггг как реальную часть акспоненты А,ехр (1ыгт). Подобным гке образом вторая волна будет реальной частью Аьехр(гогзг). После слолгения этих экспонентА,ехр (геггт)+Акехр (гигь1) и выделении н качестве множителя экспоненты со средней частотой мы получим т.
е. снова оказывается, что высокочастотная волна модулируется малой частотой. ф М. Оекоторьее неьмечаитвя о бтвеньвяж и льойулягрить Предполон нм теперь, что нас интересует интенсивность волны, описываемой уравнением (48.7). Чтобы найти ее, нугггно взять квадрат абсолютной величины либо правой, либо левой части этого уравнения.
Давайте возьмем левую часть. Интенсивность при этом будет равна У=А', )-А'с+ 2А,А, сов(агг — ы,)1. (48.8) Видите, интенсивность возрастает и падает с частотой го — гоь, изменяясь в пределах между (А, + А,)' и (А, — А,)'. Если Аг~А„ то минимальная интенсивность не равна нулю. Те гке результаты ыоягно получить и другим путем — с помощью схем, подобных фиг.
48.2. Изобразим одну нз волн в виде вектора длиной А, в комплексной плоскости, вращающегося с угловой скоростью юг. Вторую волну изобразим другим вектором, длина которого А„а угловая скорость вращения «г . Если эти частоты в точности равны между собой, то мы получим вращающийся вектор, длина которого все время постоянна. Так что интенсивность в этом случае будет все время постоянной фиксированной величиной. Если, однако, частоты хоть немного отличаются одна от другой, то эти два вектора будут крутнтьсл с различными скоростями.
На фиг. 48.3 показано, как выглядит вся картина «с точки зрения» вектора Агехр(»со,~). Мы видим, что вектор А» медленно «отворачивается» от вектора А„так что амплитуда, получаемая прн сложении этих векторов, сначала велнка, а затем, когда второй вектор совсем «отвернется» в другую сторону, т. о.
когда угол между ними станет 180', она будет особенно мала, и т. д. Вектор крутится, амплитуда суммы векторов становится то больше, то меньше, а интенсивность пульсирует. Идея сравнительно простая, и ее можно реализовать множеством различных способов. Этот эффект очень легко наблюдать экспериментально. Можно установить, например, два громкоговорителя, каждый из которых связан со своим генератором колебаний и может давать свой собственный тон. Таким образом, мы принимаем один сигнал от первого источника, а другой сигнал от второго.
Если частоты этих сигналов в точности одинаковы, то в результате в каждой точке пространства получится эффект определенной силы. Но если генераторы немного расстроить, то мы услышим некоторые изменения интенсивности. Чем болыпе мы расстраиваем генераторы, тем болев быстрыми будут изменения силы звука. Однако уху становятся трудно уследить за изменениями, скорость которых превышает 10 колебаний в секунду нли что-то около этого. Тот же эффект можно наблюдать и на осциллографе, который просто показывает сумму токов двух генераторов.
Если частота пульсаций сравнительно мала, то мы просто видим, как на экране перед нами проходят сннусоидальные волны, амплитуда которых пульсирует, но если сделать пульсации более быстрыми, то мы увидим нечто похожее на то, что показано на фнг. 48.1. По мере увеличения разницы между частотами «вершины» сближаются все болыпе и болыпе. Если амплитуды не равны друг другу, если мы один сигнал сделаем слабее другого, то образуется волна, амплитуда которой, как Ф и г. вд.у.
Реоулчтат сложения Ее двум комклексныл векторов с равличными частотами во вращаеощейся систелсе отсчета нервого векаеора. Повелены Оеелтч а слевоваиилвник ж. ложениа ли»ленка вращаеощегоел ееко1ора. 170 й а е. ао.«. Медее.еяэая яесуивей волны. Настом атматиоеснпм Гесс«нас отношение ылыт ЕЕ настояасеа Гатшеолне ~Гыт т~««. это и ожидается, никогда не становится равной нулю. Все получается так, как нужно, независимо от того, электричество зто или звук. Но возможно и обратное явление! Прн радиопередаче используют так называемую азгяяитрднрю лзое)рляцию (АМ). Вот как зто делается. Радиопередатчик возбуждает электрические колебания очень высокой частоты.
Для радиовещания, например, используется частота 800 ига. Если включен этот иесрн(ий сигнал, то передатчик будет излучать волны с частотой 800 000 колебаний в секунду, причем амплитуда их постоянна. Информация же (зачастую совершенно бесполезная, вроде того, какую марку автомобиля вам следует приобрести) передается следующим образом: когда кто-то говорит в микрофон, амплитуда несущего сигнала изменяется «в ногу» с колебаниями звука, приходящего в микрофон. Возьмем простейший с точки зрения математики случай, когда певица берет безупречную ноту с бозупречным синусоидальным колебанием голосовых связок, причем получается сигнал, сила которого меняется, как зто показано на фиг. 48.4. Изменения слышимой частоты принимаются затем приемником; мы избавляемся от несущей волны и смотрим просто на «обертку», которая представляет собой колебания голосовых связок, нли звук голоса певицы.
Громкоговоритель жо производит колебания той же частоты в воздухе, и в принципе слушатель не может обнаружить разницы меявду настоящим голосом певицы и передачей, слышимой по радио. В действительности же из-за некоторых искажений и других тончайших эффектов мо»кно все же определить, слышим ли мы радио или «живой» голос певицы; в других же отношениях все происходит так, как мы описали. ф З..в»окова«е т»олось« Описанную выше модулированную волну математически можно записать в виде Я=((+Ь сов се„г) созю,г, (48.9) где ю,— несущая частота, а ю — частота слышимого звука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
