Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Эти результаты эквивалентны следующему утверждению: волна, достигнув ващемленного конца струны, отражается от него с изменением анака. Таков отражение всегда можно по- 186 нять, если представить себе, как нечто дошедшее до конца струны вылетит затем из-за стены «вверх ногамию Короче говоря, если мы предположим, что струна бесконечна и что, где бы нн находилась волна, бегущая в одном направлении, всегда существует симметричная ей относительно точки х=О другая волна, бегущая в противоположном направлении, то в самой точке х=О никакого перемещения не будет, а поэтому безразлично, защемлена ли струна в этом месте илн нет. Следующий наш пример — отражение периодической волны.
Предположим, что волна, описываемая функцией Р(х — с1), гредставляет собой синусоидальную волну, которая затем отрая~ается. Тогда отраженная волна — Р( — х — с~) тоже будет синусондальпой волной той же частоты, но пойдет она в противополо«кком направлении. Эту ситуацию проще всего описать с помощью комплексных функций г (т.
с$) емк-мм н р'( х с~) — сьчп+х/и Нетрудно убедиться, что если подставить их в выражение (49.2) и полол«ить х=О, то в любой момент времени ~ перемещение будет равно нулю и, следовательно, необходимое условие окажется выполненным. Воспользовавшись теперь свойством экспоненты, можно записать результат в более простом виде: у енк (е-««мс е««мс) — 2«емка)п * (49 3) с ' Х=-— 2л« О) (49.4) Неподвижные точки удовлетворяют условию з1п(юх/с) =О, которое означает, что ах/с=О, я, 2л, ..., лл, ....
Эти точки называются узлами. Каждая точка между двумя соседними узлами движется синусоидально вверх и вниз,но способ ее движения остается фиксированным в пространстве. Это основная характеристика того, что называется собственным колебанием, $67 Мы получили нечто новое и интересное. Из этого решения ясно, что если мы посмотрим на любучо точку х нашей струны, то увидим, что она осциллирует с частотой в.
Совершенно невавшо, где находится эта точка, все равно частота будет той же самой! Однако на струне есть такие места (где з1а (юх/с).=0), которые вообще не перемещаются. Более того, если в л|обой момент времени ~ сделать моментальный снимок колеблющейся струны, то на фотографии получится синусоидальная волна, но величина ее амплитуды будет аависеть от времени ~, Из вырви«ения (49.3) можно видеть, что длина одного цикла синусоидальной волны равна длине какой-либо из волн; гармоникой или модой. Если движение обладает тем свойством, что кюкдая точка предмета движется строго синусоидально и все точки движутся с одинаковой частотой (хотя одни, может быть, болыпе, а другие меньше), то мы имеем дело с собственным колебанием. ф М.
Волньс в огра»гнчен»гом»»роси»ра»»стае и собстеен»гые часнго»ньс Перейдем к обсуждению следующей интересной задачи. Что произойдет, если струну закрепить с двух концов, ска;кем в точках х.=О н х=Е'. Дананге начнем с идеи отражения волны, с некоего горба, движущегося в одном направлении. С течением времени этот горб подойдет к одному концу струны и в конце концов превратится в небольшой всплеск, поскольку здесь он складывается с перевернутым ответным горбом, идущим с другой стороны. Наконец первый горб совсем исчезнет, а в обратном направлении побежит другой, «ответный» горб, н весь процесс повторится уже на другом конце. Как видите, задача решается совсем просто, впрочем здесь возникает интересный вопрос: можно ли в этом случае получить синусоидальную волну (только что описанное решение яериодичио, но, разумеется, не сикусоидально периодично).
Давайте попытаемся «вставить» в нашу струну синусоидально периодическую волну. Если один конец струны закреплен, то мы знаем, что должно получиться нечто похожее на наше предыдущее решение (49.3). Но то л«е самое дол»кно получиться и у второго конца, ведь он тоже закреплен. Поэтому единственная возможность получить периодическое синусондальпое движение — это взять волну, которая в точности укладывается на длине струны. В противном случае мы не получим собственной частоты, с которой струна могла бы продолжать свои колебания.
Короче говоря, если по струне пустить синусоидальную волну, которая в точности укладывается на ее длине, то она сохраняет свою идеальную синусообразную форму и будет гармонически колебаться с некоторой частотой. Математически мы можем задать форму волны в виде функции э(пкх, где к=со/с, как и в уравнениях (49.3) и (49.4). Эта функция обращается в нуль при х=О, однако то же условие должно выполняться и на другом конце струны. Дело в том, что й уже не будет произвольным, как в случае полуограннченной струны. Оба конца могут быть закреплены при одном-единственном условии, что з(пкь' =О.
Но чтобы синус был равен нулю, его угол должен быть кратен целому числу я, например О,я, 2я и т. д. Поэтому уравнение (49.5) 188 в зависимости от того целого числа, которое мы подставим в него, дает полный набор различных чисел й. При этом каждому числу й соответствует частота о>, которая по формуле (49.3) равна просто спс о>:=-. йс = — . 1, (49. Г>) 189 Итак, мы нашли, что синусоидальные колебания струны могут происходить польке с неко>порылш определенными частотами. Это — наиболее важная характеристика волн в ограниченной области.
Сколь бы сложна нп была система, всегда оказывается, что в ней могут быть чисто синусоидальные колебания, но частота их определяется свойствами данной системы и природой ее границ. В случае струны возможно множество различных частот, каждой из которых соответствует определенное собственное колебание — движение, синусоидально повторяющее самое себя. На фпг. 49.2 показаны первые три собственные гармоники нашей струны. Длина волны ), первой из них равна 2Ь.
В етом легко убедиться, иродов>кив волну до точки х=2Ь и получив полный цикл синусоидальноп волны. Угловая частота ю равна в общем случае 2лс, деленному на длину волны А, а поскольку сейчас у нас 2=2Л, то частота будет равна яс/Е, что согласуется с формулой (49.6) при п=1. Обозначим эту частоту через о>,. Следующая собственная гармоника напоминает бантик из двух петель с узлом посредине. Ее длина просто равна Е.
Соответствующая величина )с, а следовательно, и частота о> должны быть вдвое болыпими, т. е. частота равна 2ш,. Частота третьей собственной гармоники оказывается равной Зь>, и т. д. Таким образом, различные собственные гармоники кратны целому числу низшей частоты с>,, т. е. ы„2ш„ Зс>> и т. д. Вернемся теперь к общему движению струны.
Оказывается, что любое возможное движенио можно рассматривать как одновременное действие некоторого числа собственных колебаний. На самом деле для описания наиболее общего движения должно быть одновременно возбуждено бесконечное число собственных гармоник. Чтобы получить некоторое представление о зом, что происходят при таком сложении, давайте посмотрим, чтб получится при одновременном колебании двух первых собственных гармоник. Пусть первая из них колеблется так, как это показано в ряде схематических чертежей фиг. 49.3, где изображены отклонения струны через равные промежутки времени на протяя~ении полуцикла низшей частоты.
Предположим теперь, что одновременно с первой собственной гармоникой работает и вторая. Последовательные положения струны при возбуждении атой собственной гармоники Ф и г. 42.2. Первые три евр. в~еники нвлеблюиеейсл струны. показаны тоже на фиг. 49.3 пунктирной линией. По отношению к первой гармонике онн сдвинуты по фазе на 90'. Это означает, что в начальный момент никакого отклонения не было, но скорости двух половинок струны направлены в противоположные стороны. Вспомним теперь общий принцип лпнейных систем: если взять любые два ршпсния, то сумма их тоже будет решением.
Поэтому перемещения, полученные сложением двух решений, показанных на фиг. 49.3, будут третьим возможным решением. На этом же рисунке показан и результат сложения, который начинает напоминать горб, пробегающий взад к вперед по струне от одного конца до другого, хоти с помощшо только двух собственных гармоник нельзя построить достаточно хорошей картины такого движения; их нужно гораздо больше. Этот результат представляет на самом деле частный случай основного принципа линейных систем, который гласит: Любое движение можно рассматривать как составленное из различнь х собственных гармоник, взятых с надлежащими амплитудами и фазами. Значение этого принципа обусловлено тем фактом, что каждое собственное колебание — очень простая вещь — зто просто синусоидальное движение во времени.
По правде говоря, даже общее движение струны — еще не самая сложная вещь; существует движение куда более сложное, скауьем такое, как вибрация крыльев самолета. Тем не менее даже у крыльев самолета можно обнаружить некие собственные кручения с определенными частотами.
А если так, то полное движение можно 190 щг=о бг и г. бу.СС. Дее гармоники, наноминающие нри Олоокении бегущую волну. ЭГ г Зя 4 согс я — Первая гармоника Резулотот — - Вторая гармоника ок оооо<ения рассматривать как суперпозицию гармонических колебаний (за исключением тех случаев, когда вибрация настольно велика, что система уже не может рассматриваться как линейная). ф 3. Двумерные собс~гвенньсе колебсгния Сейчас мы перейдем к рассмотрению очень интересного поведения собственных гармоник в двумерных колебаниях. До сих пор мы говорили только об одномерных колебаниях: натянутой струне илн звуковых волнах в трубе.
В конце концов мы должны добраться до трех измерений, но сначала давайте остановимся на более легком этапе — этапе двумерных колебаний. Возьмем для большей определенности прямоугольяыи резиновый барабан, перепонка которого закреплена по краям так, что на прямоугольном крае барабана она перемещаться не может. Пусть размеры прямоугольника будут равны а и Ь, как зто показано на фнг. 49.4. Прежде всего, каковы характеристики возможного движения? Можно начать с того же, с чего мы начали, когда рассматривали пример со струной. Коля бы никакого закрепления не было вовсе, то можно было бы ожидать появления волн, бегущих в некотором направлении, например синусоидальной волны, описываемой функцией ехр(йог) ехр( — г(й„х)+с(неу)), направление движения которой зависит от относительной величины чисел й„и й„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
